Bonjour,
Je suis actuellement en train de faire un exercice sur la circulation des fluides et je rencontre un problème.
L'énoncé est le suivant:
On considère un récipient ayant une symétrie de révolution autour d'un axe vertical Oz
Le rayon intérieur du récipient r(z) à la forme suivante: r'z)= a.z^n où a et n sont des coefficients positifs. Le fond du récipient, situé au point O, est percé d'un orifice circulaire de très faible section s. A l'instant t=0 où commence la vidange, la hauteur d'eau dans le récipient est égale à H et à un instant t, elle devient z. On suppose que l'eau est un fluide incompressible et non visqueux.
Pour les calculs, on prendra racine de 2g= 4,5 pi= 3 et s= 2/3 cm carré
Question 1:
Quelle est l'expression de la vitesse de l'écoulement au point O ?
Pour ceci j'utilise la relation de Bernouilli entre la surface et la sortie du récipient.
Je pose vs= vitesse à la surface et v(t)= vitesse à la sortie et Po la pression atmosphérique.
J'ai donc 1/2.ro.vs^2+Po+ ro.g.z= 1/2.ro.v(t)^2+Po+ ro.g.0 (puisque on est à l'altitude 0 selon l'axe établi)
Donc ro. vs^2/2+Po+ ro.g.z= ro. v(t)^2/2 +Po
Je simplifie par Po.
Donc ro.vs^2/2+ro.g.z=ro.v(t)^2/2
En multipliant par 2 j'obtiens
ro.vs^2+2ro.g.z=ro.v(t)^2
Ensuite par la loi de la conservation du débit j'ai:
S(surface).vs=v(t).s
Donc vs= (v(t).s)/S(surface)=(v(t).s)/Pi.r(z)^2
En élevant au carré j'ai: vs^2= (v(t)^2.s^2)/Pi^2.r(z)^4
ro.vs^2+2ro.g.z=ro.v(t)^2
donc v(t)^2= vs^2+2gz
Je remplace vs et au final je trouve v(t)^2= (v(t)^2.s^2)/(Pi^2.r(z)^4) + 2gz
Donc v(t)= Racine de (v(t)^2.s^2)/(Pi^2.r(z)^4) + 2gz.
Le problème en fait est que d'après la correction le résultat est v(t)= racine de 2gz/ 1- (s^2/Pi^2.r(z)^4)
Je pense ne pas être bien loin du résultat mais je ne vois pas comment y accéder !
Je suis sur cet exercice depuis une heure... impossible de trouver...
Merci d'avance de votre aide,
Bonne journée
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