Systèmes couplés et équations de Lagrange

[invite02195890]

Bonjour,

j'ai un problème à comprendre l'utilité des équations de Lagrange car pour moi dériver le Lagrangien par rapport à une variable est impossible car les autres variables dépendent de cette première (dépendance qu'on ne connait pas a priori).

Je donne un exemple :
On a une masse M sur un support horizontale reliée à un ressort de raideur k, une tige avec une masse m au bout est accrochée au centre de masse de la masse M et vient osciller. Je vous passe les calculs mais on obtient Ec= 1/2 M x'² +1/2 m(x'² L²O'² +2LO'x'cosO) et Ep=1/2 k x² + mgL(1-cosO)
Avec O l'angle entre la verticale et la tige, L la longueur de la tige

selon moi O' va dépendre de x' donc on est bloqué si on veut par exemple effectuer la dérivée partielle de Ec par rapport à x'

D'ailleurs le fait qu'on obtiennent deux équations différentielles couplées à la fin montrent bien que x' dépend de O' non ?
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[invitef17c7c8d]

L'ambition des équations de Lagrange n'a jamais été de découpler des variables.

C'est une méthode énergétique (tu vois bien que tu es emmené à calculer des énergies) et globale (toutes les variables sont couplées et sont regroupées sous forme d'un système linéaire)

C'est le rôle du calcul matriciel de trouver des variables décorrélées (en diagonalisant une matrice), physiquement cela revient à remplacer tes deux systèmes masse-ressort par deux autres systèmes indépendants l'un de l'autre.

[philou21]

...car pour moi dériver le Lagrangien par rapport à une variable est impossible car les autres variables dépendent de cette première...

les dérivées partielles y arrivent très bien ...

[invite02195890]

Comment ça les dérivée partielles y arrivent très bien ? Si on reprend mon exemple comment dérives-tu partiellement Ec par rapport à la variable x' ? On ne connait pas les dépendance de O' en x' donc comment dériver O' par rapport à x' ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[philou21]

sans présumer de la validité de tes formules...

L=1/2 M x'² +1/2 m(x'² L²O'² +2LO'x'cosO) - 1/2 k x² - mgL(1-cosO)
drondL/drondx'=Mx'+m(x'L²O'²+LO'cosO)

[invite02195890]

Quand tu fais cela, ça sous entend que O' est indépendant de x'. Pourtant il n'a rien qui puisse justifier cette indépendance, j'aurais meme tendance à dire (intuitivement) que O' dépend de x'.

[philou21]

je ne comprends pas trop le montage mais si tu peux faire osciller ta tige en maintenant le ressort fixe, les 2 variables sont indépendante (les vitesses aussi d'ailleurs)
Ce n'est pas parce que des variables se retrouvent dans une même équation (l'équation horaire par exemple) qu'elles sont dépendantes.

[albanxiii]

Bonjour,

Si cela peut aider : extrait du livre de Claude Gignoux

"Une notion en général assez difficile intégrer pour un néophyte est que la vitesse, et par conséquent, l'énergie cinétique doivent être comprises, dasn la formulation lagrangienne, comme fonctions des variables , considérées comme indépendantes, alors que, dans l'obtention de (1.1) veut dire et semble donc clairement lié à ."

[invite02195890]

Effectivement je n'arrive pas à comprendre. Par exemple si q(t)=Rcoswt dq/dt=-Rwsintwt si maitenant q(t)=R'coswt dq/dt change... Donc il y a bien une dépendance. Qu'on les considère indépendante parcequ'elles peuvent variées indépendamment d'accord mais je ne vois pas au niveau de la dérivation comment cela peut se justifier. Mathématiquement c'est incorrect non ?

[albanxiii]

Bonjour,

Je n'ai rien à redire sur vos exemples.

Par contre, quand vous considérez un lagrangien et les équations de Lagrange il faut considérer les composantes des vecteurs et comme idépendantes.

Par exepmple, si alors et .

[invite02195890]

D'accord merci