Evolution de Température dans tubes/cylindres concentriques

[Torseur06]

Bonjour à tous,

Je souhaite avoir quelques renseignements sur un problème que je me pose en Thermique.
D'abord en régime stationnaire pour simplifier avec deux tubes/cylindres concentriques.

Soit un Cylindre C1 de rayon intérieur R1 et extérieur R2. (épaisseur R2-R1=e1)
Et un Cylindre C2 de rayon intérieur R2 et extérieur R3. (épaisseur R3-R2=e2)
En gros ces cylindres sont concentriques et chaque cylindre a une conductivité thermique qui lui est propre lambda1 et lambda2.

On laisse fixe la température T1 à l'intérieur des cylindres concentriques et T2 à l'extérieur des cylindres concentriques.

En gros j'aimerais connaitre la répartition de la température au sein de chaque section de tube cylindrique.

J'ai essayé de rapprocher ce problème a un problème en 1D de deux poutres de longueur L1 et L2 en contact de même section et sur lesquels on fixe de chaque coté une température T1 et T2.
La répartition de température est linéaire dans chaque tube car la dérivée seconde de la température par rapport à l'axe des poutre est nulle.
On trouve aisément la température de jonction : Tj = ((lambda1*T1/L1) + (lambda2*T2/L2))/((lambda1/L1) + (lambda2/L2))

Mais là il faudrait raisonner en coordonnées cylindriques j'imagine et j'ai un peu de mal et j'aurais besoin d'un petit coup de main.

Merci d'avance pour votre aide.
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[Torseur06]

J'ai peut être une réponse pour moi même, à vous de me dire si c'est cohérent et juste surtout.

Pour un cylindre seul j'ai pu voir la répartition de la température dans la litérature :
T= T1 - ((T1-T2)ln(r/r1))/(ln(r1/r2)

Donc on peut utiliser cette équation pour le cylindre intérieur en considérant la température de jonction égale à T2
Ensuite j'ai supposé qu' on pouvait considérer les cylindres comme associés en série.
D'où l'égalité de la puissance thermique à leur interface (longueur des cylindres considérés égales).
Soit : 2*Pi*lambda1 (T1-T2)/(ln(r2/r1)= 2*Pi*lambda2 (T2-T3)/(ln(r3/r2))

On en déduit la température de jonction T2 et l'évolution de la température en fonction de l'épaisseur des cylindres.
Ai-je bon ou pas ?

J'ai cependant une autre question, imaginons que mes résultats sont corrects comment cela se fait-il que la capacité calorifique des différents matériaux ne rentrent pas en compte dans le calcul ?

Merci de votre aide

[Fanch5629]

Bonsoir.

A défaut de vérif précise, je pense que c'est correct.

Effectivement, à l'interface des 2 tubes, il doit y avoir continuité de la température et du flux de chaleur.

La capacité calorifique n'intervient qu'en régime transitoire, pas en régime permanent.

[Torseur06]

Merci pour ta réponse Fanch5629.

Qu'entend-on par régime transitoire ?
C'est à dire que si la température à l'intérieur des tubes ou à l'extérieur des tubes n'étaient pas constantes (T1(t) et T2(t)) alors nous sommes en régime transitoire et les capacités calorifiques apparaissent dans les équations ?

Sinon vous m'avez dit qu'à première vue le raisonnement semblait être bon.
Je me heurte cependant à un autre problème. Lorsque je veux ajouter un troisième cylindre concentrique, c'est à dire de rayon intérieur r3 et extérieur r4, je n'arrive plus à trouver les 2 températures de jonction (T2 et T3) avec ma méthode des résistances thermiques en série. J'ai 2 équations et 3 inconnues.
Avec vous une idée pour ce cas là ?

Merci de votre aide...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Fanch5629]

Qu'entend-on par régime transitoire ?
C'est à dire que si la température à l'intérieur des tubes ou à l'extérieur des tubes n'étaient pas constantes (T1(t) et T2(t)) alors nous sommes en régime transitoire et les capacités calorifiques apparaissent dans les équations ?

Oui, c'est exactement cela.

Sinon vous m'avez dit qu'à première vue le raisonnement semblait être bon.

Je n'ai pas vérifié l'exactitude vos équations, mais leur allure est vraisemblable pour un problème à symétrie cylindrique. La méthode de résolution est bonne.

Je me heurte cependant à un autre problème. Lorsque je veux ajouter un troisième cylindre concentrique, c'est à dire de rayon intérieur r3 et extérieur r4, je n'arrive plus à trouver les 2 températures de jonction (T2 et T3) avec ma méthode des résistances thermiques en série. J'ai 2 équations et 3 inconnues.

Je ne comprends pas où sont vos trois inconnues. Pour moi, les deux seules inconnues sont les températures aux interfaces des tubes et les deux équations sont les contraintes de continuité du flux aux interfaces.

Il se fait un peu tard pour ce genre de chose en ce qui me concerne. On en reparle demain si vous voulez.

[Torseur06]

Oui on en reparlera demain.
En tout cas merci pour votre aide.
J'ai du faire une petite erreur dans mes calculs je clarifierai et je compléterai mes dires demain avec vous.

Merci et bonne fin de soirée.

[Fanch5629]

Bonjour.

Il n'y a pas de source de chaleur dans les tubes. Le flux thermique qui traverse n'importe quelle section cylindrique de rayon r est donc indépendant de r.

On peut donc écrire :



système de 2 équations linéaires à 2 inconnues, T2 et T3.

Cordialement.

[Torseur06]

Bonjour,

EXACT ! Merci beaucoup Fanch5629 il me semblait bien que j'avais fait une erreur dans mes calculs. C'est cool ça me permet de généraliser à 'n' couches le problème.

Tant que j'y suis, autant rentré plus profondément dans le problème avec vous en vous posant quelques questions supplémentaires.

Je me suis intéressé ici à la conduction thermique mais si je veux faire apparaitre des termes de convexion voire de rayonnement.
En supposant qu'un gaz circule à une certaine vitesse et à une certaine température dans le tube intérieur il me semble que l'on peut modéliser un flux convectifs avec un coefficient d'échange convectif 'h'.
Phy = h*2*Pi*r1*L(Tf1-T1) --> T1 température de paroi et Tf1 température du fluide

2 problèmes. Déjà comment calculé h ? Il y a une formule qui relierait les paramètres du gaz circulant et h ?
Puis la formule (si elle est juste) suppose que la température de paroi est différente de la température du gaz circulant. Comment connaitre la température de paroi pour faire mon calcul d'évolution de température dans mes différentes couches de tube ?

Puis au niveau du rayonnement thermique de la même manière il y a une formule qui relie le flux thermique rayonnant :
Phy = Sigma*Epsilon*2*Pi*r1*L(T⁴-Tr⁴)
Sigma est la constante de Stefan, Epsilon est l'émissivité comprise entre 0 et 1, Tr la température moyenne de la paroi.

J'ai beaucoup plus de mal à comprendre cette formule et comment je vais l'intégrer pour calculer ma répartition de température.
Si vous pouviez m'aider là dessus je vous en serai encore reconnaissant.

Merci de votre aide...

[Torseur06]

Je réponds à une de mes questions.

Si on considère qu'il y a continuité du flux thermique entre toutes les couches et notamment avec le terme de convection alors nous pouvons remonter à la valeur de la température de paroi T1.

h*2*Pi*r1*L(Tf1-T1)=2*Pi*lambda1 (T1-T2)/(ln(r2/r1)= 2*Pi*lambda2 (T2-T3)/(ln(r3/r2))

Encore faut-il connaitre h....
Je continue à réfléchir pour voir si je peux m'autorépondre...