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Differentielle totale



  1. #1
    dalfred

    Differentielle totale


    ------

    Bonjour, j'ai juste besoin d'un petit renseignement etant donné que nous ne l'avons pas vu en classe: comment si une forme differentielle est une differentielle totale en d'autres termes comment retouver une fonction a partir d'une differentielle Par exemple j'ai (differentielle)F= x² dx +2xy dy. Comment savoir rapidement si c'est une differentielle totale et si oui comment retrouver l'equation de cette fonction.
    Merci

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    LPFR

    Re : Differentielle totale

    Bonjour.
    Dessinez un joli devant chacun des termes et trouvez la primitive.
    Au revoir.

  4. #3
    dalfred

    Re : Differentielle totale

    En effet c'est ce que j'etais en train de faire mais je voulais savoir s'il y avais une methode plus rapide ou une autre. Merci de votre reponse. D'ailleurs pour l'exemple que j'ai mis il n'y a pas d'equation possible.

  5. #4
    Amanuensis

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    Bonjour, j'ai juste besoin d'un petit renseignement etant donné que nous ne l'avons pas vu en classe: comment si une forme differentielle est une differentielle totale en d'autres termes comment retouver une fonction a partir d'une differentielle Par exemple j'ai (differentielle)F= x² dx +2xy dy. Comment savoir rapidement si c'est une differentielle totale et si oui comment retrouver l'equation de cette fonction.
    Merci
    On peut savoir rapidement qu'elle n'est pas exacte en calculant les dérivées secondes croisées. Ici d(x²) = 0 dy +... et d(2xy) = 2y dx + ..., les dérivées secondes croisées sont différentes, la différentielle n'est donc pas exacte, donc n'est pas totale (toute différentielle totale est exacte).

    Autre exemple... prenons 2xydx + x²dy. On a comme dérivées secondes croisées 2x et 2x, égales, donc la forme est exacte, donc possiblement (et si la différentielle est sur tout R², nécessairement) totale. Je ne connais pas de règle pour trouver la fonction dont ce serait la différentielle, c'est un système d'équa diff à résoudre.

    Dans le cas indiqué c'est simple, la dérivée partielle en y ne dépendant pas de y, la fonction est de la forme x²y+c(x), et en entrant ces solutions dans l'autre on obtient c constante.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  6. #5
    LPFR

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    ... D'ailleurs pour l'exemple que j'ai mis il n'y a pas d'equation possible.
    Re.
    Il y en a, et on peut la trouver de tête.
    A+

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    dalfred

    Re : Differentielle totale

    Pour l'exemple que j'ai donné vous dites que c'est simple pourtant les derivées croisées secondes sont differentes pour x² en y on a 0 et pour 2xy en x on a 2y donc c'est different. Pouvez vous me dire ou je me trompe. Merci

  9. Publicité
  10. #7
    LPFR

    Re : Differentielle totale

    Re.
    Je ne vois pas ce que viennent faire les dérivés secondes.
    Voir la définition de différentielle totale dans wikipedia.
    A+

  11. #8
    invite39876
    Invité

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Re.
    Je ne vois pas ce que viennent faire les dérivés secondes.
    Voir la définition de différentielle totale dans wikipedia.
    A+
    Bonjour
    C'est juste qu'une forme differentielle quelconque, n'est pas en general une differentielle totale, une condition necessaire pour ca est qu'elle soit fermée, c'est a dire que les derivées partielles croisées soient egales (comme l'a dit amanuensis), ou plus generalement que la differentielle de la forme soit nulle.
    Si ca n'est pas le cas, il n'y a aucun espoir de trouver de fonction f tel que la forme s'ecrive df.
    J.

    Amanuensis: Juste un point de vocabulaire, exact et totale c'est la meme chose, le terme adequat est fermé (pour une forme de diff nulle).
    Dernière modification par invite39876 ; 06/11/2011 à 11h19.

  12. #9
    Amanuensis

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    les derivées croisées secondes sont differentes pour x² en y on a 0 et pour 2xy en x on a 2y donc c'est different. Pouvez vous me dire ou je me trompe. Merci
    C'est ce que j'ai indiqué (premier paragraphe de mon message !

    Pour l'exemple que j'ai donné vous dites que c'est simple pourtant
    C'est dans la deuxième partie de mon message (après "Autre exemple") que je parle de "simple", et cela concerne l'exemple que j'ai donné, moi, exemple qui est diférent.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #10
    dalfred

    Re : Differentielle totale

    Oui, mais dans l'exemple que j'ai mis les derivee croisée sont differentes alors qu'il a dit qu'on pouvait en trouver une ? Je ne comprends pas comment

  14. #11
    Amanuensis

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par Bloupou Voir le message
    Amanuensis: Juste un point de vocabulaire, exact et totale c'est la meme chose, le terme adequat est fermé (pour une forme de diff nulle).
    Oops, désolé. Remplacer "exacte" dans mes messages précédents par "fermée".

    -----

    Pour aider à suivre :

    Une n-forme F est fermée si dF=0.

    Une n-forme F est totale s'il existe une (n-1)-forme f telle que df=F

    où "d" est l'opérateur "différentielle extérieure", et avec la convention qu'une 0-forme est un champ scalaire.

    Toute forme totale est fermée.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  15. #12
    Amanuensis

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    Oui, mais dans l'exemple que j'ai mis les derivee croisée sont differentes alors qu'il a dit qu'on pouvait en trouver une ? Je ne comprends pas comment
    Vous avez mal lu mon message.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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  17. #13
    dalfred

    Re : Differentielle totale

    En effet je viens de comprendre. Merci

  18. #14
    LPFR

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    Oui, mais dans l'exemple que j'ai mis les derivee croisée sont differentes alors qu'il a dit qu'on pouvait en trouver une ? Je ne comprends pas comment
    Re.
    Appliquez la définition de différentielle totale de wikipedia à la fonction
    F = (1/3)x3 + xy² + C
    et regardez ce que vous obtenez.
    A+

  19. #15
    invite39876
    Invité

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par dalfred Voir le message
    Oui, mais dans l'exemple que j'ai mis les derivee croisée sont differentes alors qu'il a dit qu'on pouvait en trouver une ? Je ne comprends pas comment
    Non, tu ne pourras pas trouver de telle f, si tu veux te convaincre par exemple, intègre ta forme sur un carré (par exemple le carré (0,1,1+i,i), ou je vois le plan comme C).
    Si tu pouvais trouver un F tel que ta forme soit un dF alors l'intégrale devrait etre nulle, or ici ca ne sera pas le cas (sauf erreur de ma part).

  20. #16
    Amanuensis

    Re : Differentielle totale

    Par ailleurs, dire "dérivées secondes croisées" est impropre comme vocabulaire. En gros, "si on suppose que la différentielle est exacte, alors on peut s'intéresser aux dérivées partielles secondes croisées, et elles seraient égales".

    En pratique, et dalfred l'a bien compris, il s'agit de dériver le coefficient de dx par rapport à y, de dériver celui de dy par rapport à x et comparer.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  21. #17
    invite39876
    Invité

    Re : Differentielle totale

    Citation Envoyé par LPFR Voir le message
    Re.
    Appliquez la définition de différentielle totale de wikipedia à la fonction
    F = (1/3)x3 + xy² + C
    et regardez ce que vous obtenez.
    A+
    Y a un y²dx en trop dans la differentielle.

  22. #18
    dalfred

    Re : Differentielle totale

    Pour repondre a LPFR j'obtient y²+x² dx + 2xy dy et alors ?

  23. Publicité

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