Le Principe des Travaux Virtuels ou des Puissances Virtuelles

[invite45b1e47b]

Bonjour,

Ce n'est pas la documentation qui manque sur la toile concernant le PTV ou PPV appliqué à la mécanique des milieux continus (MMC) mais j'ai un peu de mal à comprendre ce principe notamment pour des raisons de vocabulaire et aussi de mathématiques.

Afin d'avoir une base de discussion j'ai sélectionné ce document qui présente brièvement la PTV de la page 30 à la page 34 :

http://www.scorec.rpi.edu/~remacle/pdf/main.pdf

Toute autre référence qui pourrait aider dans la compréhension reste cependant la bienvenue.

Dans la référence sélectionnée, les explications sont courtes (ce qui ne me semble pas plus mal) et on se limite à de la statique, qui est certainement plus simple à comprendre dans un premier temps.

Pour commencer, voici quelques questions que je me pose :

1) Personnellement je connais les équations ff.1-ff.5 et je n'ai aucun problème à les comprendre. Il est dit cependant qu'il s'agit la de la “forme forte (ou locale) du problème” or j'avoue que c'est une notion floue pour moi. Ma première question est donc, sans entrer dans les détails, quelle est la différence entre une forme forte et une forme faible?

2) Un peu plus loin on parle d'espace fonctionnel. Là encore je ne vois pas c'est quoi. Une recherche rapide sur le net nous donne “ensemble de fonctions ayant les mêmes ensembles de départ A et d'arrivée B, pouvant être muni de structures induites par celles existant sur B”. Si quelqu'un pouvait me vulgariser un peu ca.

3) Cet espace fonctionnel U doit de plus être suffisamment continu. Encore une fois je ne vois pas du tout ce que cela signifie.

4) Et pour terminer sur ces espaces fonctionnels, je ne comprends absolument pas à quoi correspond le (compris dans et auquel appartient ).

Merci par avance pour vos premiers éclaircissements.
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[Burakumin]

Bonjour. Ca fait bien longtemps que je n'ai pas touché à de la MMC et je n'en suis certainement pas un grand connaisseur. Mais je peux proposer quelques éléments à tes questions.

1) Personnellement je connais les équations ff.1-ff.5 et je n'ai aucun problème à les comprendre. Il est dit cependant qu'il s'agit la de la “forme forte (ou locale) du problème” or j'avoue que c'est une notion floue pour moi. Ma première question est donc, sans entrer dans les détails, quelle est la différence entre une forme forte et une forme faible?

Il s'agit de vocabulaire originaire de la théorie des equations aux dérivées partielles (EDP). Pour essayer de ne pas faire trop compliqué et en espérant ne pas trop raconter de bétises, ton problème de MMC peut se modéliser (comme présenté dans ton document) comme un ensemble d'équations liant différentes fonctions. Ces fonctions correspondent à des propriétés physiques (contraintes, déformations etc ...) associées à chaque point de ton système physique. Les équations sont dites locale pour cette raison : en chaque point la dérivée de la contrainte est égale à blablabla ... Pour ce type de problème mathématique, il est possible de trouver une autre formulation (= une autre façon de modéliser mathématiquement). Celle-ci ne sera pas locale mais globale : on fera apparaitre des intégrales sur des ensembles de point. Les solutions possibles de la première formulation sont nécessairement solutions de la seconde formulation. Par contre l'inverse n'est pas forcément vrai : la deuxième formulation peut faire apparaitre des solutions nouvelles. Elle est donc moins stricte, plus "faible" que la première (mais peut etre plus simple à résoudre). D'où les termes fort et faible.

2) Un peu plus loin on parle d'espace fonctionnel. Là encore je ne vois pas c'est quoi. Une recherche rapide sur le net nous donne “ensemble de fonctions ayant les mêmes ensembles de départ A et d'arrivée B, pouvant être muni de structures induites par celles existant sur B”. Si quelqu'un pouvait me vulgariser un peu ca.

La résolution de beaucoup de problèmes physiques consiste en fait à trouver des fonctions. Considère les problèmes archi-classiques de trajectoire de projectile. Ce qu'on cherche à trouver là c'est une fonction qui associe à un instant quelconque t du temps, la position P(t) du projectile. Il faut donc trouver la fonction P. Mais comme le projectile ne va pas en général se téléporter subitement, cela a un impact sur la nature de la fonction P : dans ce cas précis elle doit être continue. L'ensemble des fonctions continues (du temps dans l'espace 3D) sont un exemple de ce qu'on appelle un espace fonctionnel. Il y en a des tas d'autres. Lorsque tu cherches une fonction solution d'un problème physique, tu peux en générale t'attendre à ce qu'elle ait certaines propriétés (= qu'elle appartienne à un certain espace).

3) Cet espace fonctionnel U doit de plus être suffisamment continu. Encore une fois je ne vois pas du tout ce que cela signifie.

Ce n'est pas trés explicite dans ton document mais l'auteur insiste sur le fait que la nature de l'espace n'a pas beaucoup d'importance. Ce qu'il faut comprendre par là c'est sans doute : un espace dont les fonctions ont suffisament de bonnes propriétés pour qu'on ait pas des milliards d'exceptions à traiter et de précautions à prendre.

4) Et pour terminer sur ces espaces fonctionnels, je ne comprends absolument pas à quoi correspond le (compris dans et auquel appartient ).

correspond à un certain espace fonctionnel contenant des champs de déplacement possibles. Autrement dit un élément associe à chaque point géométrique d'un corps physique déformable, un vecteur correspondant au déplacement que ce point subi sous l'effet des forces. Il y a des chances pour que les élements de ne soient pas n'importe quels champs de vecteur (qu'ils soient suffisament "réguliers"), mais le papier ne demande pas d'en savoir plus. c'est l'espace fonctionnel des élements de qui par ailleurs doivent prendre des valeurs bien précises en certains points. Imagine que ton corps déformable soit solidement attaché en certain endroit, tu peux donc affirmer que quel que soit le déplacement de ses points en général, le déplacement aux points d'attache doit être nul par définition.

[invite45b1e47b]

Bonjour,

Merci pour ces premières explications qui sont très claires.

Pour continuer dans les petits détails que je ne comprends pas, il y a aussi :

1) Le sens de la barre verticale dans l'expression : .
2) De même que le passage où il est écrit "fonctions à valeurs vectorielles dont la trace est nulle". Il est bien question de trace de vecteur?
Ce n'est pas plutôt simplement des fonctions à valeurs vectorielles dont le résultat est un vecteur nul sur ?

Sinon je pense saisir à peu près le développement jusqu'à l'équation 3.4 (en ayant combiné ça avec d'autres documents).

Si toutefois il est bien expliqué dans le document que cette dernière équation est à la fois globale et équivalente aux 5 premières équations locales, j'ai encore quelques difficultés à comprendre comment on s'en sert ensuite concrètement... Je continue donc mes différentes lectures avant d'en demander davantage...

[Burakumin]

1) Le sens de la barre verticale dans l'expression : .

On ne peut pas isoler la barre verticale ici. Elle intervient en générale dans le symbole plus général : l'ensemble des objets x tels que la propriété P(x) soit vraie. C'est ce qu'on appelle une description d'ensemble par intention qui se fait donc en utilisant des accolades. L'auteur du document utilise des parenthèses. C'est inusuel.

2) De même que le passage où il est écrit "fonctions à valeurs vectorielles dont la trace est nulle". Il est bien question de trace de vecteur?
Ce n'est pas plutôt simplement des fonctions à valeurs vectorielles dont le résultat est un vecteur nul sur ?

Effectivement je pense que c'est comme ça qu'il faut le comprendre ici. Pas de lien avec les traces de l'algèbre matricielle.

Sinon je pense saisir à peu près le développement jusqu'à l'équation 3.4 (en ayant combiné ça avec d'autres documents).

Si toutefois il est bien expliqué dans le document que cette dernière équation est à la fois globale et équivalente aux 5 premières équations locales, j'ai encore quelques difficultés à comprendre comment on s'en sert ensuite concrètement... Je continue donc mes différentes lectures avant d'en demander davantage...

Bon courage.

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