Carré de la fonction de dirac

invite76543456789 · 17/12/2011, 15h29

Bonjour,
J'ai une petite question sur la fonction de dirac, en effet si $\text{[math]}$ est la fonction de dirac sur R, alors $\text{[math]}$ , puisque elle vaut 0 partout sauf en 0 ou elle vaut l'infini, et l'infini au carré c'est l'infini.
Mais il parait que ce raisonnement n'est pas valide.
D'où ma question, combien vaut $\text{[math]}$ .
Il me semble que si on dérive $\text{[math]}$ on trouve $\text{[math]}$ et donc ca vaut 0 partout, sauf en 0 au ca vaut l'infini. Et donc la derivé de $\text{[math]}$ c'est $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ ce serait la fonction echelon plus une constante?

invite8cc8b94d · 17/12/2011, 16h02

Salut,
il faut pas voir le delta de dirac comme une fonction mais comme une distribution.
Et une distribution au carré, c'est pas aussi évident que pour une fonction.

C'est un peu vieux dans la tête les distributions, faut voir sur quoi on l'applique.

lazar

**doul11** · 17/12/2011, 16h24

Bonjour,

Envoyé par MissPacMan

puisque elle vaut 0 partout sauf en 0 ou elle vaut l'infini,

Il manque une définition, l'aire d'un dirac est égale a 1 : $\text{[math]}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_d...on#Definitions

**coussin** · 17/12/2011, 16h37

Je dirais que $\text{[math]}$ . En tout cas, $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite76543456789 · 17/12/2011, 16h47

J'ai pas trop compris ici, que signifie $\text{[math]}$ , j'ai l'impression que c'est $\text{[math]}$ ?
Mais dans ce cas la je suis pas trop vos calculs.
Mais effectivement on pourrait calculer $\text{[math]}$ et ca vaudrait quoi?

**coussin** · 17/12/2011, 16h51

Envoyé par MissPacMan

Mais effectivement on pourrait calculer $\text{[math]}$ et ca vaudrait quoi?

f(0) selon moi…

$\text{[math]}$ signifie la distribution $\text{[math]}$ appliquée à la fonction f (parce que c'est ça une distribution : ça s'applique à une fonction). La seule chose dont je ne suis pas sûr dans mon message précédent, c'est la toute première étape : $\text{[math]}$ ?

invite76543456789 · 17/12/2011, 17h08

Ben dans ce cas la ce serait plutot delta rond delta? et pas delta carré.

**coussin** · 17/12/2011, 17h10

C'est mon problème : je ne sais pas ce qu'est le carré d'une distribution. J'ai fait une analogie avec les opérateurs (un opérateur au carré est un opérateur appliqué deux fois de suite).

invite76543456789 · 17/12/2011, 17h11

Pour ma part je ne sais même pas vraiment ce qu'est une distribution, mis a part une "fonction généralisée".

invite8cc8b94d · 17/12/2011, 20h46

Pour ma part je ne sais même pas vraiment ce qu'est une distribution, mis a part une "fonction généralisée".

La définition exacte serait de dire qu'une distribution est une fonctionnelle linéaire et continue sur un espace test T.
Les distributions forment un espace vectoriel qui est le dual de T ->T*

Une fonctionnelle est une espèce de "fonction de fonction", c'est peut être à ça que tu pensais lorsque tu parlais de fonction généralisée.
L'espace test c'est l'ensemble des fonction C infini et à support borné.

lazar

**doul11** · 17/12/2011, 21h54

Je propose de passer par transformation de fourrier :

$\text{[math]}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_d...rier_transform

http://en.wikipedia.org/wiki/Convolution_theorem

a condition que $\text{[math]}$ ?

**LPFR** · 18/12/2011, 07h31

Bonjour.
Il me semble que c'est une bonne démonstration.
Il faut signaler que le produit entre crochets est un produit de convolution et non un produit ordinaire. La transformée d'un produit est le produit de convolution des transformées.
Mais dans ce cas-ci les deux produis donnent le même résultat.
Au revoir

**stefjm** · 18/12/2011, 08h59

Une discussion analogue ici :
http://forums.futura-sciences.com/ph...-de-dirac.html

**doul11** · 18/12/2011, 09h28

XXXXXXXX réponse à un message supprimé XXXXXXXXXXX

Envoyé par LPFR

Il faut signaler que le produit entre crochets est un produit de convolution et non un produit ordinaire. La transformée d'un produit est le produit de convolution des transformées.
Mais dans ce cas-ci les deux produis donnent le même résultat.

je ne suis pas sur de comprendre, dans wiki ils parlent bien de point-wise multiplication, en plus quand j'essaye de calculer la convolution 1*1 l'intégrale diverge, c'est peut être moi qui me trompe car je suis loin de maitriser ces notions.

**LPFR** · 18/12/2011, 10h21

Envoyé par doul11

je ne suis pas sur de comprendre, dans wiki ils parlent bien de point-wise multiplication, en plus quand j'essaye de calculer la convolution 1*1 l'intégrale diverge, c'est peut être moi qui me trompe car je suis loin de maitriser ces notions.

Re-bonjour Dul11.
Moi non plus je ne domine pas le sujet.
Mais dans Wikipedia, quand ils parlent de "point-wise multiplication" c'est dans cette formule:
$\text{[math]}$
dans laquelle l'astérisque indique le produit de convolution.
Alors que dans la formule précédente:
$\text{[math]}$
il suffit d'appliquer la transformée inverse des deux côtés.

Vous avez parfaitement raison sur le produit de convolution de deux fonctions égales à 1. Il est bien infini. Du coup, cela non seulement invalide votre démonstration que je croyais bonne, mais démontre que le delta de Dirac au carré c'est quelque chose de bizarre. Je n'imagine pas la transformation de Fourier inverse d'une fonction infinie partout.

Je crois que nous avons besoin d'un matheux qui domine les distributions.
Cordialement,

invite76543456789 · 18/12/2011, 11h28

Alors apparement, en allant voir des cours sur le net, ou la page wiki ici, il semblerait qu'il ne soit pas possible en général de définir le produit de deux distributions.
J'ignorais ce truc, c'est assez pénible en fait.
Je ne sais pas si on peut faire quelque chose pour la fonction de dirac.
D'autre part, je me demandais aussi du coup que valait la dérivée de la fonction de dirac, parce que du coup je ne suis plus sur de trop comprendre.
Et aussi j'aimerai bien savoir a quoi correspond le pv1/x qui apparaît dans la page wiki plus haut. En fait j'ai vu ça partout, apparemment la distribution 1/x, se note pv 1/x, y a t il une raison a cela?

**coussin** · 18/12/2011, 11h41

C'est la valeur principale (Principal Value).

Bon bah voilà, ça résout le problème : $\text{[math]}$ n'a pas de sens

Qu'est-ce qui t'avais amené à te poser cette question sur $\text{[math]}$ ?

La dérivée de delta est bien définie et est décrite dans la page wiki je crois

**albanxiii** · 18/12/2011, 11h42

Bonjour MissPacMan,

Pour votre produit de deux Dirac, la réponse a été donnée page précédente, en passant par la tranformée de Fourier du produit, qui est égale au produit de convolution des transformées de Fourrier.
Pour vos autres questions, dérivation et partie principale de Cauchy, je vous recommande de lire un cours sur les distributions par exemple, le chapitre 2 de http://fip.phys.ens.fr/spip.php?rubrique57 qui est un cours de maths pour les physiciens. Sinon, vous pouvez en trouver plein avec Google en tapant "mathématiques pour physiciens".

invite76543456789 · 18/12/2011, 11h48

Bonjour,
Mais la réponse donnée dans la page précédente n'est pas la bonne, non?
Puisqu'on calcule la convolution de deux Diracs et pas leur produit, et justement leur produit fait apparaître la convolution de 1 avec lui même, et ça diverge.
Je vais regarder un cours plus précis.
Merci.

**velosiraptor** · 18/12/2011, 12h58

Que veux tu dire par "ça diverge" ? Il s'agit de distributions, et non de fonctions .....
Ces distributions s'appliquent sur des fonctions tests qui sont très très sélectives (infiniment dérivables, on dit infiniment lisses et qui tendent très vite vers zéro aux infinis) si bien que la distribution garde un sens là où la fonction n'en aurait plus ...

**obi76** · 18/12/2011, 13h08

Juste un truc à rajouter, lorsque tu dis :

Envoyé par MissPacMan

Il me semble que si on dérive $\text{[math]}$ on trouve $\text{[math]}$ et donc ca vaut 0 partout, sauf en 0 au ca vaut l'infini.

Il y a quelque chose à éclaircir. En 0, la dérivée d'un Dirac, c'est 0, donc tu tombes sur une forme indéterminée. La conclusion que tu en tire serai donc fausse.

**LPFR** · 18/12/2011, 13h21

Re.
Oui. On ne dérive pas une distribution comme une fonction.
Je crois me souvenir d'une phrase du genre: "La dérivée d'une distribution est la dérivée au sens des fonctions plus delta de Dirac multipliée par la dérivée au sens des distributions". Mais ce ne sont probablement pas les termes exacts. Je ne me souviens que de la musique. Pas des paroles.
A+

**LPFR** · 18/12/2011, 13h39

Re.
J'ai cherché un peu d'autres forums sur le web et il semble avoir une unanimité que l'intégrale du delta de Dirac carré est bien infinie. Ce qui semble corroborer la conclusion à partir du calcul de Doul11 en utilisant la transformée de Fourier.
Ce serait donc bien une espèce de delta de Dirac dont la valeur à zéro ne serait pas infini mais (infini)², (si je peux me permettre cette hérésie). Ce qui correspond bien à l'image qu'un physicien peut se faire.
A+

invite3808862e · 18/12/2011, 14h02

Bonjour,

Au risque de dire ce que tout le monde sait déjà,

Une distribution est ne forme linéaire définie sur l'ensemble des fonctions d'une variable réelle qui sont indéfiniment dérivables et à supports compacts.

Si $\text{[math]}$ est une distribution et si $\text{[math]}$ est (...) et à support compact, alors $\text{[math]}$ est un nombre réel.

Trivialement, on peut additionner deux distributions et on peut les multiplier par des nombres réels. L'ensemble des distributions est un espace vectoriel réel.

Par définition : la dérivée de la distribution $\text{[math]}$ est la distribution $\text{[math]}$ qui est définie par la relation $\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est une fonction continue (ou simplement intégrable) d'une variable réelle, alors c'est une distribution au sens où on peut poser : $\text{[math]}$

Les deux dernière égalités font dire que la dérivée de $\text{[math]}$ au sens des distributions coïncide avec sa dérivée au sens des fonctions. Dans la généralité la dérivée d'une distribution est une distribution et dans le cas du dirac : $\text{[math]}$ . http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_de_Dirac

À priori, je peux définir le produit de deux distributions par la relation : $\text{[math]}$ mais je ne me souviens pas avoir déjà vue une chose pareille. C'est peut être parce que ça n'a pas d'intérêt puisqu'on ne saura pas inverser une distribution, car ce produit a de forte chance d'être continu pour la topologie dont est muni l'ensemble des fonctions régulières $\text{[math]}$ .

Cordialement,
Rommel Nana Dutchou

invite8cc8b94d · 18/12/2011, 14h03

Dans un vieux cours j'ai retrouvé pour la dérivée d'une distribution $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$

edit: grillé par rommelus qui la donne pour p=1

lazar

invite76543456789 · 18/12/2011, 14h15

Quand je disais ça diverge, je voulais dire la convolution de 1 avec elle même, avant d'en prendre la transformée inverse, il faut bien la calculer, or elle diverge, on ne peut pas la calculer.

Pour Rommelus, merci pour ce "digest" qui confirme ce que je suis en train de lire, l'ennui de ta définition pour le produit de deux distributions c'est que ça définit justement pas une distribution, c'est pas linéaire en phi ta formule.

En tout cas, apparemment la confirmation est qu'on ne sait pas définir ce que vaut delta carré.

invite3808862e · 18/12/2011, 14h32

Bonjour,

Envoyé par MissPacMan

l'ennui de ta définition pour le produit de deux distributions c'est que ça définit justement pas une distribution, c'est pas linéaire en phi ta formule.

Justement c'est ça qui m'échappait.

Merci.

Cordialement,
Rommel Nana Dutchou

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