Flux de charges, analyse vectorielle

[invite476719f2]

Bonjour,

Voilà je cherche une interprétation concrète de la divergence d'un flux. Par exemple, si on considère un volume mésoscopique dV et qu'on s'intéresse à la variation temporelle de sa densité de charge, on écrit que dµ/dt+div(j)=0 où j est le vecteur densité de flux. Si on considère un régime permanent, dµ/dt=0 et donc div(j)=0

Comment interpréter cette dernière relation? De mon point de vue, j'aurais dit que j=0 car il faut bien que le flux algébrique total soit nul pour que µ ne varie pas, donc je me demande ce que signifie la divergence?

Si quelqu'un peut m'aider, merci beaucoup.
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[invite1228b4d5]

salut,

Peut être que regarder en basse dimension peut être utile ici pour comprence ce qu'il se passe :
supposons que J ne dépende que d'une coordonnée cartésienne : x et soit dirigé selon ex.
On prend un couche entre x et x+dx
on à, en régime permanent :
Ce qui sort = ce qui rentre
ie j(x+dx)=j(x)
ou encore, ce qu'on peut écrire dj/dx=0 (c'est la divergence pour un problème à une dimension)

Le raisonnement à 3dimension est en fait le même que celui ci sauf qu'on passe par des calcul d'intégrales sur des volumes / surface et on utilise les théorème d'ostrogradski.
Regarde ces théorème et re regarde la démo de la conservation de la charge via ces méthodes

[invite476719f2]

Merci beaucoup, c'est déjà bien plus clair. Mais pour revenir au problème à une dimension, peut-on considérer le flux algébrique total passant entre x et x+dx? Je sais qu'on peut le faire pour une surface fermée moyennant une intégration mais dans ce cas je ne vois pas. Autrement dit je voudrais savoir si on peut écrire la conservation de la charge simplement en disant j=0
Merci encore

[interferences]

Bonjour

(C'est peut être une explication vaseuse)
Ben div(j)=0 cela signifie que j est conservatif.
Au niveau macroscopique cela se traduit par le fait qu'il y en a autant qui rentrent et qui sortent.
En gros ton champ est un océan de fluide incompressible(peut être mauvaise explication parce que les océans sont limités en profondeur et autre mais bon) avec des courants.
Généralement un courant fait bouger l'ensemble de ton océan mais tu peux aussi avoir des tubes de courants fermés (tores).
C'est cela la traduction d'un divergent nul.
Si tu n'as pas de courant (j=0) alors il y a conservation de la quantité d'eau dans un volume pris au hasard dans ton océan.
Mais si tu as des courants (j!=0) aussi.
div(j)=0<=>tu as un océan.

Au revoir

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Vous trouverez des interprétations physiques du gradient, divergence, rotationnel, etc., dans ce fascicule:
http://forums.futura-sciences.com/at...aire-nabla.pdf
Au revoir.

[invite1228b4d5]

Autrement dit je voudrais savoir si on peut écrire la conservation de la charge simplement en disant j=0
Merci encore

Cette relation est fausse : div j =0 ne signifie pas que j est nulle.
On peut avoir une divergence nulle sans pour autant que le vecteur soit nulle (il suffit par exemple de prendre j=constante)
Dire qu'on a conservation de la charge donc que j=0 est faux ! on peut par exemple avoir conservation de la charge, mais les charges peuvent se ballader. Du moment que dans un volume élémentaire, il en entre autant qu'il n'en sort.

La méthode rigoureuse de démontrer ces choses est de considérer un volume élémentaire et de regarde ce qui sort et ce qui rentre et ce qui est crée.
Pour mieux comprendre, je vous invite à faire la demarche suivant vous même en comprenant chaque étape :

On prend un volumen élémentaire V, ayant pour surface S

ce qui sort/rentre, c'est le "flux" il faut donc faire une intégrale sur la surface de notre petit volume : ce qui est crée à l'intérieur de V = Somme de ce qui sort - somme de ce qui rentre = intégrale sur la surface S de J.dS

Grace au théorème d'Ostrogradoski ( cf http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...lux-divergence ) je peux transformer mon intégrale de surface en une intégrale de volume

on rentre le terme instationnaire sous le signe intégrale du volume.

On a l'intégrale sur un volume d'une quantité est nulle. Ceci étant vrai quel que soit le volume, on peut enlever le signe intégrale.

C'est de là que sort l'équation de conservation de la charge ! Et c'est l'approche la plus naturel !

Pour s'en convaincre, prenez l'exemple de, vous verrez qu'il y a conservation de la charge en tout point, mais j n'est pas nul

[invite476719f2]

Merci LPR pour cet excellent article. Sinon sailx, je suis d'accord avec vous, mais en fait je pensais que pour un volume élémentaire uniquement, dire que le flux dans ce volume est nul c'est dire que div j=0.

[LPFR]

Bonjour.
Petite correction de sens.
On ne peut pas dire "le flux dans un volume" mais "le flux qui sort ou qui rentre d'un volume". Ou "le flux qui traverse une surface".
Mais je pense que c'est ça que vous pensiez.
Au revoir.