Bonjour!
Dans ma quete pour essayer de comprendre comment faire un lien entre mecanique quantique sans gravitation et geometrie non commutative, j'en suis venu a me poser des questions, qui me semble assez pointues, sur la base de la mecanique quantique, auxquelles je ne trouve pas de reponse dans mes bouquins.
Mes questions posent sur le concept de mesure et d'observable.
On se place dans l'espace des etats, qui est l'espace de Hilbert complexe separable de dimension infinie (c'est donc l²(C), mais on s'en servira pas trop) et que je noterai H.
La dessus une observable c'est un operateur hermitien, et les mesures possibles de cet observables sont les "valeurs propres" de cet operateur.
Dans la plus part des cas on travaille sur un sous espace de dimension finie de H, et il n'y a pas trop d'ambiguité dans ce qui est ecrit au dessus.
Mais la j'essaie de saisir les choses en toute generalité, et j'aimerai des precisions sur le type d'observable que l'on choisit, et sur les resultats de mesure possibles.
Est ce que l'on prend n'importe quel type d'operateur hermitien sur H dans le cas general? Ne doit on pas se limiter par exemple aux operateurs compacts (je dirai pourquoi plus loin)?
Si on prend des operateurs les polus generaux possibles alors quels sont les resultats des mesures possibles, le spectre tout entier, les valeurs propres, ou uniquement les valeurs apparaissant dans la decomposition en projecteurs spectraux (ce serait donc les valeurs propres mais uniquement pour les operateurs qui admettent une telle decomposition, donc par exemple les operateurs compacts)? Encore plus restricitif on pourrait se limiter au operateurs qui agissent trivialement sur un sous espace fermé de codimension finie, et donc qui se factorise a travers un quotient fini.
Ces questions me semblent un peu compliquées (surtout que je subodore qu'en fait on devrait uniquement travailler sur des operateurs autoadjoints non bornés et non partout definis), mais j'en ai besoin pour savoir exactement quelle algèbre d'operateur agit sur mon espace de Hilbert (ce qui est clé dans la vision triplet spectral de la chose). J'ai dans l'idée que l'on dervait prendre uniquement les operateurs compacts hermitiens (et donc le probleme spectre vs val propres ne se poserait plus trop, il y aurait juste eventuellement 0 a regarder de plus pres).
Merci!
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