Problème du poids subit par le support pour un pendule simple

[bl71]

Bonjour à tous,

Lorsqu’on prend un pendule simple et qu’on le lance à partir de -90°. La force centripète que subit la tige est de T = 3*m*g*cos(x).

http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_simple

Pour obtenir la force équivalente verticale que subit le support on multiplie par sin(x). Donc pour obtenir le poids équivalent que « voit » le support on intègre de 0 à 90 ° (en absolue). L’intégrale donne pour une masse de 1 kg et une longueur de tige de 1 m : 9.37 N or le poids est de 9.81 N. Qu’est ce qui ne va pas dans mon raisonnement.

Merci pour votre aide.
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[LPFR]

Bonjour et bienvenu au forum.
Wikipedia ne dit pas que les 3*m*g*cos(x) soient la force centripète, mais la tension de la tige ou de la ficelle.
Et pour avoir la composante verticale in faut multiplier par cos(x) et non sin(x). Faites un dessin.

Cette force verticale est variable dans le temps. Si vous voulez calculer le force verticale moyenne il faut de vous intégriez par rapport au temps et non par rapport à l'angle (et que vous divisiez par la période, évidemment).
Et vous devez obtenir le poids du pendule.
Au revoir.

[bl71]

merci !

est ce que je peux intégrer ceci (g=10, m=1kg):

30*cos(x)*cos(x)/sqrt(20*sin(x))/T ?

En fait, je divise par la vistesse chaque force et je divise par la période ? car je ne sais pas comment obtenir la force selon le temps, je n'y arrive pas.

[LPFR]

Re.
Vous pouvez intégrer ça. Cela vous fera un bon exercice d'intégration. Mais le résultat n'aura aucun sens physique ni aucun intérêt.

C'est normal que vous ne trouviez pas l'expression de la position en fonction du temps. Regardez ce que dit wikipedia :
- puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de Jacobi K, sn, cn, dn.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[bl71]

Mais le résultat n'aura aucun sens physique ni aucun intérêt.

Je me disais que la force vue par le support était la tension de la tige sur l'axe y divisée par la vitesse (en chaque instant) et comme la période est connue pour l'angle de 90° cela donnait le poids. Qu'est ce qui n'a pas de sens physique, si vous pouvais détailler ?

C'est normal que vous ne trouviez pas l'expression de la position en fonction du temps. Regardez ce que dit wikipedia :
- puis en traitant le cas général, qui nécessite l'utilisation des fonctions elliptiques de Jacobi K, sn, cn, dn.

Donc on ne peut pas calculer ? Il n'y a pas une autre formule ? J'avoue que je ne comprends pas bien cet aspect mathématique.

[LPFR]

Je me disais que la force vue par le support était la tension de la tige sur l'axe y divisée par la vitesse (en chaque instant) et comme la période est connue pour l'angle de 90° cela donnait le poids. Qu'est ce qui n'a pas de sens physique, si vous pouvais détailler ?
Donc on ne peut pas calculer ? Il n'y a pas une autre formule ? J'avoue que je ne comprends pas bien cet aspect mathématique.

Re.
Effectivement, vous avez raison en mettant 'dt' en fonction de 'dθ', ça doit être faisable.

Toutes les équations différentielles ou les intégrales, n'ont pas de solution analytique, et même celles qui les ont se sont pas toujours exprimables simplement.

Ici on a une équation qui mélange les angles avec les sinus. C'est vraiment une équation pourrie.
A+

[bl71]

J'ai intégré avec l'applet:

http://www.wiley.com/college/mat/ant...1/applet1.html

et avec Wxmaxima et cela donne les mêmes résultats. C'est vrai que l'intégrale n'est pas donnée par Maxima, il n'arrive pas à la calculer par contre en numérique je peux intégrer.

Le problème est que si j'intègre (masse = 1kg, g=10 m/s²) :

30*cos(x)*cos(x)/sqrt(20*cos(x))/0.57366

Le résultat de l'intégrale donne 10.2 N, est-ce vraiment des Newtons ? C'est presque 10 N mais vu le nombre de pas (100000) je me dis que le résultat devrait être plus précis que cela, donc soit j'ai mal intégré soit c'est l'équation de base qui est fausse. Si vous pouvez m'aider à l'écrire de manière précise ?

Pour obtenir le 0.57366, j'ai intégré 1/sqrt(20*cos(x)) entre 0 et PI/2 cela donne la durée et cela correspond exactement aux valeurs données dans Wikipédia sur le pendule pesant.

bye

[bl71]

Je me suis trompé, c'est

30*cos(x)*cos(x)/sqrt(20*sin(x))/0.573728 de 0 à pi/2 et cela donne 20.2 ? je me dis que c'est trop loin de la valeur du poids donc mon intégrale n'est pas bonne, si vous avez une idée ?

[bl71]

voilà avec le bon coef: 0.584663 on obtient 20 N ? pourquoi c'est le double quel coefficient j'ai oublié ?

[LPFR]

Re.
Je pense que vous avez à nouveau mis un sinus à la place d'un cosinus.
La vitesse angulaire est sqrt(2g cosθ/R). Elle passe par un maximum pour θ = 0.
A+

[bl71]

Oui, exact, je ne m'étais pas trompé dans le message #7 avec

30*cos(x)*cos(x)/sqrt(20*cos(x))/0.57366 et cela donne 10.2 N pas 10 N au vu du nombre de pas vous avez une idée de l'erreur ?

[LPFR]

Re.
Je ne connais pas votre site pour les intégrations.
Essayez wolframalpha pour voir si ça fait une différence.
Regardez à la fin des résultats, l'intégrale définie.
A+

[bl71]

Oui, ca marche comme cela j'avais arrondi PI/2...
Sinon, je cherche toujours à calculer le poids du pendule en partant de 180° (en haut) avec une vitesse initiale de 10 m/s.

J'ai intégré les vitesses:

1/sqrt(100+20*(1-cos(x))) de 0 à PI/2 => 0.151s
puis
1/sqrt(100+20*(1+sin(x))) de 0 à PI/2 => 0.136s

Cela donne une période de 0.57s ce qui correspond à ce que je trouve sur le net.

Mais quand je fais l'intégrale de la force perçue je trouve 36 N

2*(100+20*(1-cos(x)))*cos(x)/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151848 de 0 à PI/2, Deux fois car on a deux fois la même chose dans le quart supérieur cela donne 134 N

Puis

2*(100+20*(1+sin(x)))*sin(x)/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.136 de 0 à PI/2, idem cela donne 170 N

La différence est de 36 N, je ne trouve pas mon erreur, peut être encore un pb de cos ???

Si vous pouvez m'aider ?

[bl71]

J'ai multiplié par 2 l'intégrale mais j'ai oublié de multiplié le temps par 2 aussi. La différence est encore importante, je trouve 18 N pour une masse de 1kg, lg = 1m et une vitesse initiale de 10 m/s. J'ai vérifié les vitesses et les forces, cela semble cohérent. Une piste ?

[bl71]

J'ai utilisé ceci:

Vsup = 1/sqrt(100+20*(1-cos(x))
Fsup = 2*(100-20*(1-cos(x)))*cos(x)/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.272908

Vinf = 1/sqrt(100+20*(1+sin(x)))
Finf = 2*(100+20*(1+sin(x)))*sin(x)/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.303696

Cela donne 8N en différence on se rapproche...

[bl71]

Cela semble donner 16N sur un tour. Vue la grosse différence, il y a certainement un pb avec le cos/sin ou alors la mise une constante. Cela peut-il venir de la vitesse initiale ? J'ai peut être pas le droit de calculer ainsi ?

[bl71]

J'ai inversé les durées pour les intégrales:

1/sqrt(100+20*(1-cos(x)))

(100-20*(1-cos(x)))*cos(x)/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151149

1/sqrt(100+20*(1+sin(x)))

(100+20*(1+sin(x)))*sin(x)/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.135939

Cela donne sur un demi tour 23.5 N

Si quelqu'un voit mon erreur ?

[bl71]

Pour L=1m, M=1kg, g=10m/s², V0=10m/s, départ en haut, j'obtiens l'intégrale suivante pour le poids subit par le support :

(-(100-20*(1-cos(x)))*cos(x)+10*cos(x))/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151149+((100+20*(1+sin(x)))* sin(x)+10*sin(x))/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.135939

Ce qui donne 36 N sur 180°.

Je ne vois où est mon erreur, mais je me dis que peut être je ne dois pas obtenir 10 N si ?

[bl71]

Bonjour,

Bon, je vais détailler mes calculs peut être que cela pourra vous aider à trouver plus facilement l'erreur ?

C'est un pendule avec une vitesse initiale de 10m/s. L=1m, m=1kg, g=10m/s², V0=10m/s pour simplifier l'exemple.

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[du point haut à la moitiée]
J'intègre de 0 à pi/2 l'inverse de la vitesse pour obtenir la durée du trajet en secondes :

Intégrale de : 1/sqrt(100+20*(1-cos(x))) = 0.151149 s

Maintenant, j'intègre de 0 à pi/2 la force / vitesse / durée ::

Intégrale de : (-(100-20*(1-cos(x)))*cos(x)+10*cos(x))/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151149 = -55.6 N

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[du point moitiée en bas]
J'intègre toujours de 0 à pi/2 (j'ai fait un changement de variable mais en fait c'est pour la zone pi/2 à pi) l'inverse de la vitesse:

Intégrale de : 1/sqrt(100+20*(1+sin(x))) = 0.135939 s

Et j'intègre de 0 à pi/2 la force / vitesse / durée :

Intégrale de : ((100+20*(1+sin(x)))*sin(x)+10 *sin(x))/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.135939 = 92

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Différence de 36 N

La période est bonne 2*0.13+2*0.15 = 0.57 s (je multiplie par 2 car je ne calcule l'intégrale que pour 0 à pi, j'ai utilisé ce site http://gilbert.gastebois.pagesperso-...t/pendule.html pour vérifier la période). Donc, les vitesses doivent être bonnes (j'en ai vérifié quelques unes). J'ai aussi vérifié les points hauts et bas des forces ce qui permet de vérifier les cos et sin.

Voilà, c'est sans doute une erreur d'inattention ou alors je n'ai pas le droit de calculer comme cela ou alors je ne dois pas obtenir 10 N mais dans ce cas combien et pourquoi ?

Merci d'avance

[bl71]

Hello,

Avec un pendule sans vitesse initiale, j'ai trouvé la bonne intégrale mais ici, avec une vitesse initiale, peut on utiliser cette méthode ?
Doit-on toujours trouver 10 N sur un tour ?

[bl71]

J'ai repris mon équation j'avais mis un signe - au lieu d'un plus mais je trouve toujours pas 10 N mais 30 N

(-(100+20*(1-cos(x)))*cos(x)+10*cos(x))/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151149+((100+20*(1+sin(x)))* sin(x)+10*sin(x))/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.135939

[bl71]

personne pour un coup de main ? Il y a un coef 3 mais comment le trouver ?

[obi76]

Bonjour,

disons qu'écrire une formule littérale comme ça :
- fait mal aux yeux
- rend difficile la compréhension de votre cheminement, vu que certaines variables ont été remplacées par leur valeur et pas d'autres.

Faites comme je l'ai toujours demandé à mes étudiants : faire tout le développement formellement, écrivez le résultat littéral, et ENSUITE seulement remplacez les variables par leur valeur ("application numérique").

Ecrivez les 2 (avec latex, ça sera encore mieux) et quelqu'un se penchera surement dessus...

[bl71]

Ok, je pose le problème de manière générale J’ai fait le calcul avec cette méthode pour un pendule de -90° à 90° sans vitesse initiale et je trouve les bonnes valeurs P=10N. Avec une vitesse initiale de 10m/s j’ai vérifié les valeurs des vitesses et de la période pour mon application numérique (site web précédemment cité) et cela semble correct.
Je m’intéresse au poids que subi le support pour un pendule avec une vitesse initiale non nulle arrivant par le dessus du pendule sur un axe horizontal.

Je pose :
Masse de la masse en rotation : m
Longueur de la tige ou rayon : R, masse négligeable
Force de gravitation : g
Vitesse de départ : V0

Arbitrairement, le signe + est vers le bas et le – vers le haut en ce qui concerne les forces.

J’imagine la masse du pendule arrivant de la droite vers la gauche en haut du pendule (souvent noté 180°). Le premier quadrant (1 quadrant = 90°) c’est la partie du cercle en haut à gauche. Le 2° quadrant c’est la partie en bas à gauche du cercle (le 2° quadrant doit normalement être plus rapide). Les deux autres quadrants possèdent les mêmes forces, je multiplie donc le résultat final par 2.

1° QUADRANT
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L’énergie se conserve, on peut donc écrire :

Au départ l’énergie cinétique vaut :

L’énergie potentielle vaut :

Pour obtenir la vitesse à chaque instant :
Attention, est l’angle entre l’axe VERTICAL et l’axe du pendule qui descend.

J’intègre l’inverse de la vitesse de 0 à , cela donne la durée pour parcourir le 1° quadrant.



La force centripète vaut :


Sur l’axe y cela donne :


J’ajoute le poids sur l’axe y :


Pour avoir le poids ressenti par le support je prends la force centripète sur l’axe Y, je la divise par la vitesse et par la durée de parcours


Pour obtenir la force totale j’intègre :


2° QUADRANT :
----------------------------------------
Je fais la même chose pour le 2° quadrant, je fais un changement d’axe pour n’avoir qu’à intégrer de 0 à
Attention, est l’angle entre l’axe HORIZONTAL et l’axe du pendule qui descend.



Avec

J’intègre :



------------------------------------
Application numérique :

m=1kg, R=1m, g=10m/s²,

1° Quadrant :




2° Quadrant :





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Résultats (je mets les formules directes pour intégrer):
Tq1 = intégrale de 1/sqrt(100+20*(1-cos(x))) => 0.151149 s
Fq1 = intégrale de (-(100+20*(1-cos(x)))*cos(x)+10*cos(x))/sqrt(100+20*(1-cos(x)))/0.151149 => -61 N
Tq2 = 1/sqrt(100+20*(1+sin(x))) => 0.135939 s
Fq2 = ((100+20*(1+sin(x)))*sin(x)+10 *sin(x))/sqrt(100+20*(1+sin(x)))/0.135939 => +92 N

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Au final le poids du pendule fait 2*(92-61) = 62 N c’est encore pire que ce que je pensais. Il est tard et j’espère ne pas avoir fait d’erreur en recopiant.

[bl71]

Je me disais que peut être je ne dois pas diviser chaque intégrale par la durée, mais plutôt ajouter les 2 intégrales puis diviser par la période totale.



Mais je trouve 11.5N toujours pas 10 N

[bl71]

11.41 N précisément, je n'arrive pas à trouver 10 N. D'où pourrait venir mon erreur ?

[bl71]

Voici l'équation complète, peut être que l'erreur est plus visible:



Je trouve 11.36 N et ce qui est marrant c'est qu'avec une vitesse de 100m/s c'est aussi 11.36 N. Est ce une bonne méthode pour calculer le poids ?

[bl71]

Vraiment personne pour un petit coup de main ? Il faut expliquer davantage mon raisonnement ?

[bl71]

Je me suis trompé dans la formule générale j'ai mis "m" à la place de "R" pour la vitesse mais cela ne change pas l'application numérique car R=1m et m=1kg. Voici la formule:

[bl71]

c'est bon, j'avais oublié de multiplier par cos et sin pour le poids à cause de l'angle de la tige, l'équation est :



Et je trouve 10.04N ce qui doit correspondre aux approximations avec les intégrales.