Fonction génératrice, mécanique classique

[arbolis87]

Bonjour a tous,
Je bloque a nouveau sur un exercice de mécanique classique. Le voici:
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Montrez que la transformation , est canonique. Trouvez une fonction génératrice.
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J'ai réussi a montrer que la transformation est canonique en utilisant le crochet de Poisson.
Par contre j'ai du mal a trouver une fonction génératrice.
Aparemment je dois partir de et .
J'obtiens et . La je ne comprends pas trop ce que je fais, je prends la dérivée totale de F: .
A partir de la, je crois que l'idée c'est d'écrire dF en fonction d'un seul différentiel et d'intégrer. J'ai et .

Donc . Je ne vois pas comment intégrer F a partir d'ici... c'est ici que je suis bloqué.

J'ai trouvé un site sur internet qui offre une solution que je ne comprends pas du tout (ici: http://astarmathsandphysics.com/univ...formation.html)
et une solution dans un livre qui ressemble a la mienne. A un moment donné ils écrivent . Comment ils ont trouvé ca? Je n'arrive meme pas a voir que cette relation est vraie. Alors une fois que j'ai ca, c'est facile, j'integre et je trouve .
J'aurais besoin d'aide pour comprendre comment trouver F, la fonction génératrice. En gros comment écrire une somme de 2 différentiels en un seul différentiel.
Merci d'avance.
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[vaincent]

Par contre j'ai du mal a trouver une fonction génératrice.
Aparemment je dois partir de et .

Il est logique de partir de ces équations aux dérivées partielles car elles sont dues à la construction même des fonctions génératrices de 1ère espèces, qui d'ailleurs sont liées au critère de canonicité : pdq - PdQ est une différentielle exacte.

La je ne comprends pas trop ce que je fais, je prends la dérivée totale de F: .

C'est effectivement une méthode possible. C'est celle employée dans le livre dont tu parles plus loin.

A partir de la, je crois que l'idée c'est d'écrire dF en fonction d'un seul différentiel et d'intégrer.

Là par contre non, ce n'est pas l'idée.

Donc . Je ne vois pas comment intégrer F a partir d'ici... c'est ici que je suis bloqué. [...]et une solution dans un livre qui ressemble a la mienne. A un moment donné ils écrivent . Comment ils ont trouvé ca? Je n'arrive meme pas a voir que cette relation est vraie.

Tu es arrivé à une bonne forme de la différentielle. La solution provient de la formule bien connue de Leibniz : . On pose et . Alors et .. On a donc bien la formule obtenue.

Alors une fois que j'ai ca, c'est facile, j'integre et je trouve .
[...]
.J'ai trouvé un site sur internet qui offre une solution que je ne comprends pas du tout (ici: http://astarmathsandphysics.com/univ...formation.html)

Le résultat obtenue dans le livre est la même que celle obtenue sur le site si l'on remplace la variable P par Q en utilisant la transformation canonique proposée. Cependant la méthode du site est différente de celle du livre. Ils partent des 2 équations aux dérivées partielles(EDP) :

et

Il y a donc 2 façons de trouver F. On intègre soit la 1ère, soit la 2ème, et ce, "partiellement"(revoir le cas échéant les méthodes de résolutions des EDP). Prenons la 1ère par exemple. F est une fonction de q et Q. Si on intègre F par rapport à q, alors on obtient :

(sur le site il ont oublié de mettre f(Q) dès la 1ère ligne, mais cela est rétabli juste après)

Effectivement, si l'on redérive cette expression par rapport à q on obtient bien p.

En utilisant l'expression de p en fonction de q et Q, et la formule de Leibniz, ils parviennent à calculer (on arrive au même résultat en effectuant une intégration par parties, plus facile à voir je pense).
Voilà, et comme dit plus haut les résultats obtenus sont les mêmes, ce qui peut-être démontré en remplaçant P par Q.

[arbolis87]

Premierement, merci beaucoup pour ta réponse détaillée.

Là par contre non, ce n'est pas l'idée.

Ah bon? Il me semble que ca l'est... Une fois qu'on a dF en fonction de d[expression sans différentielle], on integre et on obtient F. Ou je me trompe?!

Tu es arrivé à une bonne forme de la différentielle. La solution provient de la formule bien connue de Leibniz : . On pose et . Alors et .. On a donc bien la formule obtenue.

Ok je vois, fallait avoir un oeil de lynx. J'ai essayé avec un autre exercice et j'ai pu trouver la fonction génératrice en passant par cette méthode, j'ai réussi a trouver une fonction telle que, lorsque on prend sa dérivée totale, on tombe sur l'expression sur laquelle on travaillait. Ensuite j'ai intégré et j'ai trouvé la fonction génératrice.

Le résultat obtenue dans le livre est la même que celle obtenue sur le site si l'on remplace la variable P par Q en utilisant la transformation canonique proposée. Cependant la méthode du site est différente de celle du livre. Ils partent des 2 équations aux dérivées partielles(EDP) :

et

Il y a donc 2 façons de trouver F. On intègre soit la 1ère, soit la 2ème, et ce, "partiellement"(revoir le cas échéant les méthodes de résolutions des EDP). Prenons la 1ère par exemple. F est une fonction de q et Q. Si on intègre F par rapport à q, alors on obtient :

(sur le site il ont oublié de mettre f(Q) dès la 1ère ligne, mais cela est rétabli juste après)

Effectivement, si l'on redérive cette expression par rapport à q on obtient bien p.

En utilisant l'expression de p en fonction de q et Q, et la formule de Leibniz, ils parviennent à calculer (on arrive au même résultat en effectuant une intégration par parties, plus facile à voir je pense).
Voilà, et comme dit plus haut les résultats obtenus sont les mêmes, ce qui peut-être démontré en remplaçant P par Q.

Merci pour la clarification, je n'avais vraiment pas remarqué quelle était la méthode. Cependant... je ne vois pas comment changer la variable Q par P mene a la meme solution.
Il me semble qu'avec ma méthode on obtiens une fonction de seconde espece, tandis que la leur est une de premiere espece, . La relation entre ces fonctions devrait etre de selon http://en.wikipedia.org/wiki/Generat..._%28physics%29 et Goldstein. Donc normalement si j'ajoute "+PQ" a ma fonction génératrice et si j'essaye de remplacer des variables pour n'obtenir que q et Q comme variables, je devrais tomber sur la solution du site. Quoique, je n'arrive pas a le faire.

[vaincent]

Premierement, merci beaucoup pour ta réponse détaillée.
Ah bon? Il me semble que ca l'est... Une fois qu'on a dF en fonction de d[expression sans différentielle], on integre et on obtient F. Ou je me trompe?!

Oui, mais ce que je voulais dire c'est que l'on ne peut pas obtenir dF en fonction d'une seule différentielle(par contre on peut en trouver la primitive grâce à la relation de Leibniz).

Merci pour la clarification, je n'avais vraiment pas remarqué quelle était la méthode. Cependant... je ne vois pas comment changer la variable Q par P mene a la meme solution.
Il me semble qu'avec ma méthode on obtiens une fonction de seconde espece, tandis que la leur est une de premiere espece, . La relation entre ces fonctions devrait etre de selon http://en.wikipedia.org/wiki/Generat..._%28physics%29 et Goldstein. Donc normalement si j'ajoute "+PQ" a ma fonction génératrice et si j'essaye de remplacer des variables pour n'obtenir que q et Q comme variables, je devrais tomber sur la solution du site. Quoique, je n'arrive pas a le faire.

Effectivement, je vois un problème. Toujours est-il que selon la solution du site on voit rapidement que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[arbolis87]

Ok merci encore.
Par contre je n'arrive pas a voir que . Et quand tu parles de probleme, quel probleme exactement?


Aussi si je n'ai que et que je veux trouver , j'emploie la relation . Il faut que je remplace les variables pour trouver une fonction de q et Q seulement. Ca m'a l'air "impossible". En théorie c'est possible ou je me trompe?