vitesse moyenne et vitesse instantannée...

[invite0a45097e]

Bonjour.
Dans un exercice de mécanique des fluides, on me demande de calculer la vitesse moyenne d'un fluide dans un écoulement de Poiseuille en tube.
J'ai donc comme expression de la vitesse :
v (r)=V max (1−r²/R²) R le rayon du tube cylindrique.
Ma question peut paraître bête mais, pour calculer la vitesse moyenne est il possible d'utiliser la formule de valeur moyenne d'une fonction f définie sur un intervalle [a,b] ?
Soit Valeur moyenne = 1/( b -a) * int ( f(x)dx ) pour x allant de a à b. Ce qui donnerait :
Vitesse moyenne = 1/R * int( v(r)dr ) pour r allant de 0 à R.
Ca me donne vitesse moyenne = 2/3 V max.
Pensez vous que cela soit juste ?
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[doul11]

Bonjour,

Cela me semble juste, tant au niveau du calcul que de la démarche. Peut être attendre d'autres avis pour confirmer.

[velosiraptor]

Hummm, j'ai un petit doute : une intégration de 0 à R ne prend pas en compte la totalité de la surface ......
La formule que tu proposes est bien cohérente du point de vue des unités, mais physiquement, v(r).dr ne représente rien. Par contre, essaie v(r).dS (dS surface élémentaire --> petite couronne comprise entre r et "r+dr") qui est le débit passant au travers de dS.
Ainsi : vmoy = (1/Stot).int[v(r).dS] avec dS = 2.Pi.r.dr (partiellement intégrée déjà du fait de la symétrie cylindrique)
Tu devrais obtenir : vmoy = vmax/2.

[doul11]

Hummm, j'ai un petit doute : une intégration de 0 à R ne prend pas en compte la totalité de la surface ......

Vu la symétrie du problème il n'est pas nécessaire de prendre en compte toute la surface. Un rayon suffit.

Tu devrais obtenir : vmoy = vmax/2.

ça serais vrais si la courbe était une droite, vu la forme de v(r) il est intuitif que la moyenne va "monter" par rapport vmax/2


On peut le voir sur un graphique, j'ai pris vmax =1, R=10, en rouge la moyenne, jaune les deux aires :

[A voir en vidéo sur Futura]

[velosiraptor]

Oui, tout à fait, vu la symétrie du problème, comme je le signale, l'élément dS se réduit à dS = 2.Pi.r.dr (au lieu d'un r.dr.dalpha).
Donc, seul l'intégration selon "r" subsiste.
Il s'agit d'un profil parabolique (v = Vmax.(1-(r/R)²) ) et je pense que la vitesse moyenne est Vmax/2.

Sur la formule que j'ai donné, j'aurai pu l'écrire : Qv,tot = Stot.vmoy = Int[v(r).dS] = Int[dQv] que j'arrive à concevoir physiquement.

Pour l'instant, je persiste sur ce résultat !

[velosiraptor]

Bon, je vois enfin ton image doul11. Elle montre bien la moyenne de la fonction v(r) en effet.
Mais le problème c'est qu'il faut la moyenne d'un truc en r.v(r), d'où ton erreur.

Vu la symétrie du problème il n'est pas nécessaire de prendre en compte toute la surface. Un rayon suffit.
Ben c'est très mal dit ton histoire là .......... Tu en as un contre-exemple sous les yeux !

ça serais vrais si la courbe était une droite, vu la forme de v(r) il est intuitif que la moyenne va "monter" par rapport vmax/2
Ben, question intuition y aurait à r'dire.

[doul11]

velosiraptor tu as peut être raison, mais sans plus d'explication je ne comprends pas, on a v(r) et la moyenne est celle que j'ai faite, pourquoi il faudrait un "truc" en r.v(r) ?

Si tu a des chose a dire, fait le, ça sera profitable a tout le monde, surtout pour DucK974.

[velosiraptor]

Ben, je crois bien les avoir dites.
Tu demandais d'autres avis pour confirmation, je t'ai donc donné le mien.
On veut la vitesse moyenne. C'est donc celle qui permet d'écrire : Qv = Vmoy.Stot (où Stot est la section totale Stot = Pi.R²)
Mais le débit total peut aussi être obtenu en sommant les débits élémentaires au travers de cette section : Qv = Int[dQv] = Int[v(r).dS] avec dS = surface élémentaire telle que la vitesse y est égale à v(r).

Cette section élémentaire est donc la couronne comprise entre les rayons "r" et "r+dr" et a donc pour valeur dS = 2.Pi.r.dr. La vitesse, sur cette surface élémentaire vaut v(r).
D'où l'intégrale mentionnée précédemment, effectuée entre les rayons r=0 et r=R .....

Certes le problème, pour une section circulaire, a bien un axe de symétrie, mais ça ne veut pas dire pour autant qu'il faille se débarrasser de la variable correspondante.

[doul11]

Bonsoir,

J'ai compris, il faut bien considérer un cercle, car plus on s'éloigne du centre plus le poids de la vitesse est important dans la moyenne, les vitesses faibles pèsent bien plus dans la moyenne, et donc a bien :




Par contre pas besoin de rajouter la notion de débit, on connait l’expression de v(r) c'est suffisant pour calculer la moyenne.

[velosiraptor]

Pour le calcul c'est ça, et, à mon sens, cette équation porte bien sur le calcul du débit total au travers de la section Stot.
Pour revenir à la question de DucK974, la vitesse moyenne est celle qui donne Q_V,tot = v_moy.S_tot, d'où le calcul que nous avons fait.

Si on fait abstraction du débit, alors, on retombe dans ton étonnement initial (pourquoi un "r.v(r)" ?).
D'ailleurs, a priori, la vitesse dans la formule Qv = S.v est cette vitesse moyenne, calculée comme ci-dessus alors que dans le théorème de Bernoulli ce n'est pas celle ci (mais elle en est très proche dans le cas d'un régime turbulent).