systèmes oscillatoires couplés

[yootenhaiem]

Bonjour,
On dispose d'un cerceau de rayon R, sur lequel son posées trois masses égales(M1,M2,M3) reliées par des ressorts de même raideur.
Le cerceau est pose a plat contre terre, de telle sorte a annuler l'effet du poids.
Je dois trouver un système linéaire liant les 3 angles Q1,Q2,Q3 (Qi l'angle est celui formé par un axe fixe note Ox et le rayon passant pas Mi, on tiendra compte de leurs signes).

Le PFD a la première masse M1donne cela selon mon bouquin:
m.(Q1)^(2)=k(Q2-Q1)+k(Q3-Q1)
et cela selon moi:
m.(Q1)^(2)=k(Q2-Q1)+k(Q3-Q1)-2*pi*k.

Je pense que sur le livre ils ont considéré que la longueur de l'arc est R(Q3-Q1), or ça devrait être l'autre longueur(dans l'autre sens) ou M2 n'y est pas.
Des avis?
De plus, on devait trouver les pulsations propres du système, cependant qu'en est il sil'ont a dans les 3 équations couplées des termes qui ne dépendent éventuellement ni de Q1,Q2,Q3? On ne considérera que la matrice du système?
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[LPFR]

Bonjour.
Il n'est pas dit comment sont "branchés" les ressorts. S'ils étaient branchés "en l'air" entre deux masses, alors l'allongement du ressort ne sera pas proportionnel à l'angle entre les deux masses et le problème devient non linéaire (et merdique à souhait).
Donc, il faut supposer que ce sont des ressorts hélicoïdaux enroulés autour du cerceau. Avec ça le problème devient linéaire et identique à trois masses et des ressorts dans une tige droite.
Évidemment, on suppose qu'il n'y a pas de frottements.
Le force sur un ressort est de la forme , où est la longueur au repos.
Finalement, vous avez la possibilité que l'ensemble des masses se déplace le long du cerceau. Ce déplacement sera à vitesse (angulaire ou tangentielle) constante pour le centre de masses des trois masses. Ce mouvement ne présente aucun intérêt, car il suffit de le rajouter à la fin des calculs. La "morale" de ça est qu'il doit être plus avantageux de faire la calcul par rapport à un repère lié au centre de masses.
Au revoir.

[yootenhaiem]

Bonsoir,
Oui bien sur les ressort sont enroulées autour du cerceau. Je n'ai pas pensé a utiliser le centre de masse car ça me fera beaucoup d'embrouilles puisqu'il change des qu'une masse bouge. Mais sinon si je trouve le système linéaire avec un vecteur constant, est-ce que les valeurs propres de la matrice associée seront en l’occurrence les pulsations propres?

[LPFR]

...Je n'ai pas pensé a utiliser le centre de masse car ça me fera beaucoup d'embrouilles puisqu'il change des qu'une masse bouge...

Re.
Eh non!
Quand une masse bouge, le centre de masses ne bouge pas. Ce sont les autres masses qui sont "obligées" de bouger aussi pour que le centre de masses ne change pas.
A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[yootenhaiem]

Re,
Ah je vois. Mais vous parlez de situations ou les ressorts ont même élongation, chose qu'on rencontre a l’équilibre(i.e. même vitesse angulaire des 3 masses). Et s'ils ont même élongation alors on aura que faire de l'allongement des 3 ressorts, chose a laquelle on s’intéresse le moins. je souhaite etudier le mouvement des 3 masses qui devrait être oscillants(selon biensur les conditions initiales). Est-ce que vous voyez ce que je veux dire?

[LPFR]

Re,
Ah je vois. Mais vous parlez de situations ou les ressorts ont même élongation, chose qu'on rencontre a l’équilibre(i.e. même vitesse angulaire des 3 masses)....

Bonjour.
Non. Je parle d'une des principales conséquences des lois de Newton: en absence de forces extérieures, le moment linéaire, et ici, le moment angulaire, se conserve.

Ceci est indépendant de la valeur des masses ou de la nature des forces entre les masses. C'est aussi valable pour le système solaire que pour une galaxie ou pour un amas de galaxies.
Au revoir.

[yootenhaiem]

Re bonjour,
Ah je vois. C'est assez ingénieux de travailler sur le moment linéaire(quantité de mouvement, si j'ai bien pu comprendre).Mais dites moi, dans ce cas vous considerez le systeme des 3 masses+ les ressorts. Et si les ressorts ont des masses négligeables, cela revient toujours a considérer les 3masses et encore et toujours les ressorts, car si le système est formé des 3 masses, alors il y'a des forces extérieurs qui sont simplement les tensions des ressorts.
Je suis vraiment intéressé par votre argumentation qui me semble très physique et très "classe" (sans flatterie). Cependant si l'on considère le système 3 masses+ les ressorts(éventuellement ressorts de masses négligeables) ou qu'on considère le système formé des 3 masses (UNIQUEMENT), il y'aurait bien sur une différence dans le bilan des actions extérieures, bien qu'ils aient(les deux systèmes) le même centre de masse, vu que les ressorts sont de masses négligeables. Il me semble que l'approximation que les ressorts sont de masse négligeable ne marche pas si l'on se fie a votre méthode. Car dans mon énonce, on néglige leur masse.Une piste?

[LPFR]

Re.
Quand on parle de forces extérieures, ce sont des forces extérieures au système. Ici le système ce sont les trois masses avec les ressorts, qu'ils aient une masse ou non.
Il faut simplement que vous choisissiez comme origine des 'x' ou des angles, le centre de masse des positions initiales.

Si cela vous intéresse, vous pouvez trouver des choses dans ce fascicule (7Mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur:"Click here to download from freespace".

Mais si les ressorts n'ont pas une masse négligeable, alors le problème devient nettement plus lourd, car le ressort n'exerce pas la même force à chaque extrémité. Il faut traiter chaque ressort comme une infinitude de masses séparées par une infinitude de ressorts. Je ne pense pas que vous n'ayez envie de faire ça.
A+

[yootenhaiem]

Re,
Donc si je considère le système isolé, le centre de masse du système sera fixe puisque la dérivée de la quantité de mouvement est nulle(Ça résulte du PFD) & (il est confondu avec O, c'est le cas ici, le centre du repère galiléen et celui du cerceau si les masses sont égales et les ressorts de même raideur) . Mais si je travaille sur cela comment pourrais-je traiter les mouvements des masses, je trouverai la meme chose que ce que j'ai trouvé avant(Cf. 1er post). Voudrez vous donc vérifier mon calcul? Est-ce que les pulsations propres a chaque masse se trouve de la matrice du systeme linéaire même en présence de constantes ?

[yootenhaiem]

Mais sinon votre fasicule est tout simplement excellent. Bien qu'il dépasse légèrement mon niveau d'enseignement(Forces centripètes... etc.).

[LPFR]

Re.

Re,
Donc si je considère le système isolé, le centre de masse du système sera fixe puisque la dérivée de la quantité de mouvement est nulle(Ça résulte du PFD) & (il est confondu avec O, c'est le cas ici, le centre du repère galiléen et celui du cerceau si les masses sont égales et les ressorts de même raideur) . Mais si je travaille sur cela comment pourrais-je traiter les mouvements des masses, je trouverai la meme chose que ce que j'ai trouvé avant(Cf. 1er post). Voudrez vous donc vérifier mon calcul? Est-ce que les pulsations propres a chaque masse se trouve de la matrice du systeme linéaire même en présence de constantes ?

Comme je vous ai dit, il est plus facile de réfléchir au problème en le considérant linéaire sur une baguette droite.
Le résultat sera le même une fois que vous enroulez la baguette pour former un cerceau.
Et ce qui est la conservation du moment linéaire en absence de forces extérieures, se transforme en conservation de moment angulaire en absence de couples extérieurs.
Je ne travaille pas avec des matrices. Je ne peux pas vous répondre. Ça fait vraiment trop longtemps que j'ai vu ça (en tant qu'étudiant).
Vos calculs ne sont pas bons. Vous ne tenez pas compte qu'un ressort à une longueur non nulle au repos. Dans vos équations, les différences d'angles (Q1-Q2) ne peuvent être que positives (à zéro, les masses se rentrent dedans).
Mais les équations de basse sont bien F = ma, pour le cas linéaire et C = J.alpha, pour le cerceau.
Je ne vois pas d'où sort le m.(Q1)^(2). À la place du carré, je verrais plutôt une dérivée seconde.

Mais sinon votre fasicule est tout simplement excellent. Bien qu'il dépasse légèrement mon niveau d'enseignement(Forces centripètes... etc.).

Ravi qu'il vous plaise... et que vous me le fassiez savoir.
A+

[yootenhaiem]

Re,
Je m'excuse pour ma syntaxe qui laisse a désirer mais la puissance est entre parenthèse: ce n'est pas un carré mais une dérivée seconde. Ce que je vous présente est la forme finale, les longueurs des ressorts se simplifient car la même raideur est utilisée dans chacun d'entre eux. tous les angles dans mon expression sont positifs(dans le sens trigonométriques).
Merci de votre aide, LPFR.