Propagation d'un onde de choc

[invitede568556]

Bonjour, je suis bloqué sur un problème, pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

C'est un piston dans un tuyau cylindrique lancé à la vitesse u(T)=u0*exp(-T/tau). Il faut trouver l'équation de l'onde progressive v(x,t), vitesse d'un élément du fluide.

J'ai trouvé:

La vitesse du fluide est une équation d'Alembert, elle a donc une solution générale : v(x,t)=f(x-ct) (car x croissants).

Comme conditions initiales, on a donc au niveau du piston v(0,0)=u0 et v(X,T)=u0*exp(-T/tau)

J'ai essayé d'intégrer u : (X'(T)=u(T))
X(T)=-u0*tau*(1-exp(-T/tau))

Alors j'ai essayé de faire
v(X,T)=f(X-cT) donc
u0*exp(-T/tau)=f(-u0*tau*exp(-T/tau)-u0*tau-c*T)

f(x)=-x/tau conviendrait, mais il manque la variable t. En plus ça aboutirait au résultat c*t/tau=u0, donc c variable, or c est sensé être une constante!

J'ai donc essayé par un autre moyen:

si X(T)=-u0*tau*(1-exp(-T/tau))
et donc T(X)=-tau*ln(1-X/(u0*tau))
Ce qui combiné à v(X,T)=u0*exp(-T/tau) donne v(X,T)=u0-X/tau ...
et là j'ai dû me planter quelque part (mais je ne vois pas où!) parce que pour X>u0/tau, v(X,T)<0, ce qui est contradictoire avec v(X,T)=u0*exp(-T/tau) qui est toujours positive!

Et de toute façon, je ne vois pas comment je peux trouver v(x,t) même avec les conditions ci-dessous:
(1) v(X,T)=u0*exp(-T/tau)
(2) v(X,T)=u0-X/tau
(3) v(x,t)=f(x-ct) => v(U+ct,T+t)=v(U,T)
(Où alors il faudrait ajouter un (4) et chercher les équations solutions de l'équation d'Alembert d²v/dt²=c²*d²v/dx² ? Mais à chaque fois dans le cours et les exos j'ai eu des fonctions sinusoïdales, ce qui n'est visiblement pas le cas ici???)

Merci d'avance pour votre réponse.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Il faudrait que vous arrêtiez de faire des maths (qui ne fonctionnent pas) et reveniez au problème physique.
La propagation de l'onde dépend de "l'élasticité du milieu". Elle dépend des coefficients élastiques s'il s'agit des solides ou liquides, et des propriétés du gaz (c'est un processus adiabatique).
La vitesse de propagation est v = 1/sqrt(b)
et 'b' est le rapport entre les variation de densité du milieu et la pression qui les produit.
Dans un gaz, 'b' ne peut être considéré comme constant que si les variations de pression sont petites par rapport à la pression moyenne. Si ce n'est pas le cas, la vitesse dépend de la température du front d'onde: c'est une onde de choc qui se propage à vitesse supersonique (par rapport au son "normal").
Au revoir.

[invitede568556]

Ce qu'on me demande c'est v(x,t) qui la vitesse d'un élément (infinitésimal, ou presque) de fluide (par rapport à l'équilibre), qui n'est pas la vitesse de propagation ou célérité (qui est bien c=1/sqrt(rho*chi), considérées constantes dans ce problème).

[invitede568556]

Personne?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8f6d0dd4]

Tu connais la vitesse du fluide au niveau du piston qui est égale à celle du piston.
Tu as donc: v(x=0,t) = u(t) (j'ai supposé que le piston bougeait infiniment peu).
Ensuite, v(x,t) = f(x-c*t) = v(0,t-x/c), tu remplaces et tu en déduis v(x;t).

Essaies de faire un truc analogue dans le cas où ton piston ne bouge pas infiniment peu.
Si tu ne trouves toujours pas, j'ai mis en dessous la "solution".

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Si maintenant ton piston ne bouge pas infiniment peu:
Soit X la primitive de u(t) (tu la choisis telle que X=0 à t=0 pour simplifier).

tu as donc v(X;t)=u(t).
v(x;t)=f(x-ct)=v(X,X/c+(t-x/c))

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