resolution de l'equation de diffusion en 2D

[invite9c7554e3]

Salut tous,

je voudrais résoudre la loi de Fick en deux dimension par séparation de variable. Pourriez vous m'aidez svp :

(1)

apparemment j'ai compris que pour faire ceci il faut poser un changement de variable : afin de se ramener à ceci :

(2)

es ce obligatoire de procéder comme ceci afin d'arriver à une solution analytique ? pourquoi procéder comme ceci? (car dans le document que je lis ils procédent comme ceci)
quelle hypothèses cela sous entends?

merci d'avance pour votre aide

ps: pour la suite je pense que ça ira mais j'ai deja à comprendre le départ de la démonstration. Notamment comment passer le l'equation (1) à l'equation (2)....

j'espere que vous pourrez m'aider
-----

[invite14e30298]

bonjour,
je n'ai jamais regardé la démonstration de la loi de fick mais dans le cadre de la séparation de variables, l'intérêt ici est que l on la passe de 3 à 2 variables, ce qui rend la résolution de l'équation beaucoup plus simple.
Apres, la nouvelle variable u= x - vt va permettre d'obtenir une solution du type f(x-vt) qui est une onde progressive, ce qui tombe bien puisque ça représente une diffusion

[invite9c7554e3]

merci d'avoir pris le temps de m'aider.

- je ne me rappel plus des ondes progressive je regarderai ce f(x-vt)

- Pourrais tu donner les details pour passer de l'equation (1) à (2) s'il te plait car je n'arrive pas ....

ps: si on aurait pas fait ce changement de variable on aurait trouver le meme résultat mais plus difficilement ou on n'aurais pas pu trouver le résultat ?

[invite14e30298]

en fait pour u=x-vt, on a avec
de même avec on en déduit que

je ne sais pas si d'autres changements de paramètres ont déjà étaient étaient étudiés pour cette équation? peut être que d'autre forumeurs ont la réponse?
pour ma part je pense que dans ce cas précis, ce changement (u=x-vt) est utilisé car il a un sens physique pour la propagation (et donc la diffusion) d'une particule dans un liquide par exemple(j'ai étudié la loi de fick en mécanique des fluides)

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Apres, la nouvelle variable u= x - vt va permettre d'obtenir une solution du type f(x-vt) qui est une onde progressive, ce qui tombe bien puisque ça représente une diffusion

Dans le cas d'une équation d'onde , on fait les deux changements de variables et , et on arrive à . Si on ne fait qu'un seul changement de variable, je doute qu'on arrive à bout des calculs et de toute façon, on perd la moitié des solutions.

C'est pour cela que je me demande s'il n'y a pas un autre chagement de variable à faire ici (pas en raison de l'irréversibilité du phénomène et de la non invariance par renversement du temps de l'équation de diffusion).

Bonne soirée.

[albanxiii]

Re,

J'ai oublié : si vos conditions aux limites ont une symétrie cylindrique, passez en coordonnées polaires et vous retrouverez une équation de diffusion 1D. Mais j'imagine que vous y avez déjà pensé....

Bonne soirée.

[invite14e30298]

je pense que mathématiquement c'est toujours possible mais après est-ce que cela aurait un "sens physique" , là je ne sais pas..
et pour le changement de variable c est vrai que je n'avais pas détaillé..

[invite9c7554e3]

merci pour votre aide. Je vous confirme que c'est bien ce changement de variable qui permet de tomber sur une solution acceptable physiquement.

je viens de trouver des details de calculs mais le document n'est pas diffusable...
à partir de la séparation de variable on obtient (ça j'ai compris on regroupe les "f" et les "e" chacun d'un coté de l'équation par contre je ne vois pas l'intérêt de ceci ...) :




"où b est une constante de séparation"

------- les problemes commences --------

ensuite on doit trouver que :

avec
et


ensuite on a notre solution Z qui respect cette equation (<souligne>je ne comprends pas non plus</souligne>) :


après il y a d'autres details mais je n'arrive deja pas a tout comprendre ici

[invite9c7554e3]

es ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment on passe de la première équation de mon dernier message au reste ? et surtout d'où sort cette sommation avec une orne infinie ??

merci d'avance pour votre aide

[invite6f25a1fe]

Ils nous manquent beaucoup de choses pour répondre à ta question, notamment le contexte : c'est quoi e et f ? C'est quoi les conditions aux limites de ton équation ? C'est quoi cette notation en ? C'est censé être des dérivées ?

Si c'est le cas, alors e et f suivent toutes les deux des équations différentielles d'ordre 2 que l'on sait résoudre. A ce propos tu dois avoir une erreur de signe pour f non ? Il faut pour obtenir une solution en A.cos(by)+Bsin(by). Il te manque alors quelque chose pour dire que tu ne t'inéresse qu'à la fonction cos() et pas sin() => probablement une conditions aux bords, non ?

Ensuite on ne sais pas ce que c'est que ton A(b) ni ton Z et Z0, donc on peut pas trop t'aider là ...
En général, après avoir obtenu les solutions pour e et f on utilise les conditions aus bords qui amène souvent à utiliser les transformées de Fourier

Bref, donne un peu plus d'info sur ton problème...

[invite9c7554e3]

salut tous et merci de prendre le temps de m'aider

désolé pour le changement mais je vais redéfinir le problème avec les notations de mon document support

je veux résoudre :


avec le changmeent de variable :



j'ai repris sur un document en PJ les calculs de diffusion dont je vous ai parlé et j'arrive à une équation :


attention les notations ont changées (pour que je sois conforme avec mon document support)

à partir de là, le document support que j'ai, donne comme solutions :

1°)
avec

Le soucis est que je ne comprends pas pourquoi on conserve cette solution qui à l'air de correspondre
à un et pourquoi on rejete la solution (par contre je comprends que car ça n'a pas de sens physiquement). Je ne comprends pas non plus comment on à ramené notre somme de deux exponentielles à une exponentielle ??

2°)

la non plus je ne comprends pas trop comment on peut se ramener à ceci ???


==> il y a quelque chose qui peut être utilisé : et

pourriez vous m'éclaircir ceci s'il vous plait à partir du support que j'ai mis en PJ ?

merci beaucoup

Pièce jointe supprimée à la demande de 21did21

[invite9c7554e3]

je me permet un petit up