Evolution de la pression en fonction du temps

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Je suis nouvelle sur le site et j'ai un problème que j'ai trouvé pendant mon pfe et que je veux partager avec vous.Il s'agit d'un volume de 7 cm3 qu'on a remplit avec de l'air jusqu'à avoir une différence de pression entre le volume et la pression atmosphérique de 16 mbar. Une fois on
atteint ce delta p on arrête de remplir le volume et la pression va diminuer en fonction de la taille de la fuite dans le volume.La question :
Comment la pression va évoluer en fonction du temps?
J'ai déjà trouvé quelques formules mais je pense que c'est pas très correcte :
On a dP/P=-dV/V
dP/P=-S*V*dt/Volume (1)
avec V la vitesse de l'air dans la fuite
théorème de Bernoulli:
V=√(2*ΔP/ᵨ)
Le problème c'est que la vitesse est une variable qui dépend de la pression.Je vois pas comment sera l'équation (1) si on tient compte du fait
que ΔP est variable dans le temps.
J’espère que le problème est plus ou moins clair,je suis fan de ce site et je suis sûre que vous pouvez m'aider.Je vous remercie d'avance et
j'attend vos réponses.
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[phys4]

Bonjour,

C'est une bonne idée d'utiliser Bernoulli pour la vitesse de l'air au niveau de la fuite.
Vous continuez votre équation, puis vous isolez les termes en P dans le membre de gauche.

Vous aurez alors une équation différentielle qui vous donnera une fonction de P à gauche et une fonction de t à droite.
Bonne chance.

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Je vous remercie de m'avoir répondu c'est gentil ,j'ai fait ce que vous m'avez proposé, j'ai mis les éléments en P d'un coté et le t dans l'autre coté,après pour trouver une expression de P j'ai intégrer.Le problème c'est que j'ai trouvé une fonction bizarre :la pression est le carré de tan t alors que normalement P doit être une fonction exponentielle pas carré de tangent .Est ce que j'ai fait une erreur en intégrant ou c'est le raisonnement qui est fausse dés le début j'ai pas posé les bonnes équations?
J'ai vraiment besoin de votre aide car ça fait un bon moment que ce problème m'embête.
Merci à vous.

[phys4]

Pouvez vous écrire ce que vous avez trouvé ?

Je pense qu'il faudrait prendre des approximations, en tenant compte de la faible surpression, il faudrait prendre une variable p qui représente la différence en considérant la pression totale P comme une constante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Merci encore de m'avoir répondu.
Du coté pression j’ai trouvé l’intégral de 1/ (P*√(P-P0))
J’ai fait de changement de variables et j’ai obtenu :
Arctan (√ (P-P0)/P0)=(-S*√2)/( Volume*t)
Normalement je dois trouver une fonction exponentielle et ce n’est pas le cas .

Pour les approximations ça donne de la fonction exponentielle si on prend P-P0 une constante mais mon tuteur en stage n’accepte pas cette approximation.

J’ai trouvé une discussion qui rejoint mon sujet voilà le lien pour la voir :

http://forums.futura-sciences.com/ph...de-moteur.html

Pensez que je dois utiliser la même méthode que dans le lien ?

j’attends vos réponses et merci d'avance.

[phys4]

Vous ne devriez pas vous cacher derrière les équations : trop d'équations finissent par cacher la réalité physique.

Le flux de sortie à la vitesse v donnée par la loi de Bernoulli concerne le fluide à la pression P0 puisque pour prendre cette vitesse le fluide doit avoir transformé son énergie de pression en énergie cinétique. La quantité de matière qui s'échappe est donc proportionnelle à v.
Il faudrait donc écrire P en fonction de la quantité de matière pour obtenir une équation différentielle complète.

Votre tuteur souhaite sans doute une écriture plus rigoureuse au lieu d'une simplification.

[invitec503c7b1]

Bonjour,
J'ai beaucoup apprécié l'explication que vous avez donné de transformation de pression en énergie cinétique et je trouve que votre idée d'exprimer la pression en fonction de la quantité de matière est très bonne.Il y a la loi des gaz parfait qui donne P=nRT/V la question et si on veut calculer n on peut utiliser n=m/M La question c'est comment trouver la valeur de la masse m?

[phys4]

A volume et température fixes, la pression sera proportionnelle à la quantité de matière restante.

Le résultat ne sera toujours pas une fonction exponentielle, mais une fonction parabolique dans laquelle la pression décroit à P0 de plus en plus lentement mais en un temps fini.

Pour trouver une exponentielle, il faudra supposer une ouverture avec frottement de l'air, pour une pression faible, le débit devient proportionnel à P-P0

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Merci pour votre aide c'est très gentil.Mon objectif c'est de trouver une équation différentielle à partir de l’équation que je vous ai montré au début.Pourriez vous détailler la réponse que vous m'avez donné car j'arrive pas à la traduire en des équations et des formules.J'ai une question svp y a mon tuteur qui me dit de simplifier l'étude en imaginant le système comme 2 volumes et l'air passe de volume 1 à volume 2 par un tuyau.Pensez en quoi?

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Je sais que c'est pas évident de trouver une solution mais j'espère toujours que quelqu'un ait une solution et prend de son pour me l'expliquer.
Sinon,je veux ouvrir une autre discussion et vous poser une autre question.En fait,dans mon application on injecte de l'air dans un volume et on arrête d'injecter quand on atteint une valeur de pression,j'ai réussi à trouver l'évolution de pression au cours du temps et par conséquent le temps qu'il faut pour atteindre cette valeur de pression.La question après combien de temps on aura la même pression partout dans le volume?
N'hésitez pas de me répondre soit en donnant une réponse ou en faisant des remarques.
Je vous remercie et j'attend vos réponses.

[phys4]

En fait,dans mon application on injecte de l'air dans un volume et on arrête d'injecter quand on atteint une valeur de pression,j'ai réussi à trouver l'évolution de pression au cours du temps et par conséquent le temps qu'il faut pour atteindre cette valeur de pression.La question après combien de temps on aura la même pression partout dans le volume?

Je ne voyais pas en quoi, le fait de considérer deux volumes au lieu d'un seul, pouvait simplifier le problème.

Pour la stabilisation de pression dans un volume, il suffit de se rappeler que l'onde de pression n'est autre que le son. La stabilisation de pression après une arrivée d'air est généralement très rapide et l'on considère la stabilisation comme quasi immédiate.
Pour un débit très rapide, il faut considérer que la variation de pression se transmet à la vitesse du son, donc après quelques aller-retours dans le volume considéré, la pression sera stabilisée.

[invitec503c7b1]

Bonjour,
Merci infiniment de m'avoir répondu.Pour le temps de stabilisation de la pression on est d'accord ça va se propager avec la vitesse du son donc de l'ordre de 360m/s.La question: s'il y a une fuite dans le volume le temps pour avoir une pression homogène va augmenter.Je veux trouver une formule de temps de stabilisation de pression en fonction de la taille de la fuite.
Thank you so much.