Gravitation : calcul précis pour une planète

[invited291ccd5]

Bonjour,

j'ai quelques questions en ce qui concerne la loi de Newton pour la gravitation. Les professeurs au lycée nous disent que pour calculer la force entre une masse et une planète, il faut considérer que toute la masse de la planète est concentrée en son centre de gravité. Or je n'ai pas réussis à le prouver : en supprosant la masse uniformément répartie, je tombe sur une intégrale tripe insoluble. Je sais que c'est une approximation, mais je cherchais à trouver l'"écart" entre la réalité et la simplification.
Savez-vous comment on calcule cette force gravitationnelle ?
J'avais une question : existe-t-il un syteme de simpification pour calculer la loi de gravitation entre deux corps avec une sorte de "constante de répartition de la masse" ? Je pensais à une analogie au moment d'inertie d'un objet tournant : qui permettrait de trouver rapidement l'énergie potentielle dans ce corps, la force gravitationnelle qu'il exerce sur n'importe quel corps etc ...

Merci d'avance pour vos réponses, Ludovic.
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[Amanuensis]

j'ai quelques questions en ce qui concerne la loi de Newton pour la gravitation. Les professeurs au lycée nous disent que pour calculer la force entre une masse et une planète, il faut considérer que toute la masse de la planète est concentrée en son centre de gravité.

Ce n'est exact que si la planète a une symétrie parfaitement sphérique. La démonstration se fait par le théorème de Gauss, la symétrie permettant d'affirmer que la force a un module qui ne dépend que de la distance au centre et est radiale.

en supprosant la masse uniformément répartie, je tombe sur une intégrale tripe insoluble.

C'est la symétrie sphérique qui la rend soluble, pas l'uniformité de la masse volumique.

[phys4]

Savez-vous comment on calcule cette force gravitationnelle ?
J'avais une question : existe-t-il un syteme de simpification pour calculer la loi de gravitation entre deux corps avec une sorte de "constante de répartition de la masse" ?

Bonsoir,

Pour trouver comment simplifier l'intégrale d'une masse sphérique, il faut considérer une surface sphérique de densité homagène.
Considérons un point intérieur à la sphère, et de ce point un cône de petit angle solide dW.
Nous prolongeons ce cône élémentaire des deux cotés: il découpe sur la sphère deux éléments de surface.
La masse contenue dans ces deux éléments sont proportionnelles aux carrée des distances du point à la surface car elles sont sonrt vues sous le même angle. Comme l'attraction est comme l'inverse du carré des distances, les attractions de deux éléments de la sphère se compensent exactement et il n'y a pas de résultante en ce point. Nous prouvons ainsi que l'attraction sur un point intérieur est nulle.

Pour un point extérieur, il faut considérer deux cônes élémentaires symétriques par rapport à l'axe qui joint le point au centre de la sphère. Pour un cône, nous avons deux éléments de surface qui déterminent des masses également proportionnelles aux carrés des distances, la somme des attractions égales des deux surfaces est équivalente à l'attraction de la somme des masses ramenée sur la projection du centre sur l'axe du cône.
Il faut utiliser le second cône symétrique pour ne garder que la composante axiale de l'attraction, ce qui ramène l'effet des 4 surfaces élémentaires à une attraction équivalente à celle que donnerait la somme des masses au centre.
Ces démonstrations était dues à Newton.

Il est possible de faire plus simple, en passant par le potentiel d'une masse ponctuelle, puis en calculant le potentiel d'une surface sphérique.

[invite6dffde4c]

Bonjour.
Vous avez la démonstration décrite par Phys4 faite en détail dans la page 11-3 et suivante de ce fascicule (7 Mo):
http://www.sendspace.com/file/ttrwye Cliquez sur: Click here to download from freespace.
Au revoir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[phys4]

Vous avez la démonstration décrite par Phys4 faite en détail dans la page 11-3 et suivante de ce fascicule (7 Mo):

Bravo pour le texte, c'était un peu prétentieux de faire la démonstration graphique en quelques lignes. Newton l'avait fait, mais c'était le spécialiste de ce genre de géométrie.

[invite6dffde4c]

Bravo pour le texte, c'était un peu prétentieux de faire la démonstration graphique en quelques lignes. Newton l'avait fait, mais c'était le spécialiste de ce genre de géométrie.

Bonjour Phys4.
Merci, mais je l'ai pompé, évidement.
Une des démonstrations de Newton qui m'a impressionnée, est celle de la loi des ares. Elle est faite purement géométriquement et démontre que n'importe quelle force centrale (pas nécessairement en 1/r²) donne la loi des ares.
Cordialement,

[invited291ccd5]

Merci beaucoup pour ces réponses
Ludovic