Sur le principe de moindre action

[doul11]

Bonjour,

J'ai une question surement bête : le principe de moindre action me semble tellement évident que je ne vois pas comment les processus physiques pourraient évoluer autrement ?

Le plus court chemin, ok il est unique, le plus long chemin : comment le définir, il y aura toujours moyen de trouver un chemin plus long, infiniment. Même si l'écart a l'optimum est petit sur des temps cosmologiques ça donne une grande différence, un univers très différant de celui que l'on connait.

Je ne sais pas si tout cela a un sens, si vous avez des avis a partager je les lirais avec plaisir, merci.


Question annexe : c'est le seul principe commun a toutes les physiques ? Est-il plus fondamental que les lois de conservations ?
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[velosiraptor]

Question bête, je ne pense pas, par contre, il s'agit d'un extremum, pas forcément d'un minimum ......
Quant aux lois de conservation, elles permettent d'écrire le lagrangien du problème.
Plus fondamental que fondamental ? J'vois pas !

[LPFR]

Bonjour.
Avez-vous lu le "baratin" de Feynman ?
Tome 2, chapitre 19.
Au revoir.

[invitef73a730a]

Bonjour,
Je ne suis pas sûr que le principe de moindre action soit en tant que tel un principe physique. Il indique juste que les lois dynamiques d'une théorie physique peuvent se formuler sous la forme d'un principe variationnel. En réalité, le principe de moindre action ne dit rien de plus que le fait qu'une théorie physique peut se formuler par des équations d'Euler-Lagrange. Or, une foi qu'on a dit ça, on a encore rien dit, car pour en faire quelque chose, il faut trouver le bon Lagrangien qui encode les bonnes propriétés du système que l'on veut décrire.

Question annexe : c'est le seul principe commun a toutes les physiques ? Est-il plus fondamental que les lois de conservations ?

Le principe de moindre action n'a pas le même statut en physique classique et en physique quantique. Le principe de moindre action en Mécanique quantique sert juste à dériver les équations du mouvement de Heisenberg, qui sont des équations entre opérateurs. Dans le contexte d'une théorie exprimée sous forme lagrangienne, les lois de conservations dérivent des symétries du Lagrangien, et des théories n'obéissant pas à ces lois sont donc tout à fait concevables. Généralement, les théories dites fondamentales respectent les lois de conservations en question, mais ce n'est pas forcément une nécessité. Je crois qu'il existe certaines théories cosmologiques dans lesquelles l'énergie n'est pas conservée au fur et à mesure de l'expansion de l'univers, mais je laisse à d'autre le soin de confirmer.

Pour revenir au principe de moindre action en Mécanique quantique, une particule quantique ne suit pas une trajectoire de moindre action, pour la simple raison qu'elle ne suit pas du tout de trajectoire. Le principe de moindre action tel qu'on le connait en physique classique se retrouve seulement à la limite "géomètrique" de la mécanique ondulatoire (de la même manière que l'on dérive les lois de l'optique géométrique, et en particulier le principe de Fermat, de l'optique ondulatoire dans certaines conditions, on peut dériver dans les mêmes conditions le principe de moindre action de la mécanique ondulatoire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

Quant aux lois de conservation, elles permettent d'écrire le lagrangien du problème.

Ce que tu dit c'est que les lois de conservation sont aussi nécessaires et fondamentales que le principe variationnel pour écrire le lagrangien d'un système ? (si j'ai compris ça rejoint la première partie du message d'Aristark)

Bonjour.
Avez-vous lu le "baratin" de Feynman ?
Tome 2, chapitre 19.
Au revoir.

Oui je l'ai lu, il y a quelques temps, mais pour être franc a part les premières pages j'ai pas compris grand chose, il faudrait peut être que je le relise ...

J'ai commencé un autre ouvrage avec une approche différente (action de Maupertuis -> mécanique de Lagrange -> Hamilton), j'aime bien le style de Feyman mais sur ce chapitre j'ai pas accroché.

Dans le contexte d'une théorie exprimée sous forme lagrangienne, les lois de conservations dérivent des symétries du Lagrangien, et des théories n'obéissant pas à ces lois sont donc tout à fait concevables. Généralement, les théories dites fondamentales respectent les lois de conservations en question, mais ce n'est pas forcément une nécessité. Je crois qu'il existe certaines théories cosmologiques dans lesquelles l'énergie n'est pas conservée au fur et à mesure de l'expansion de l'univers, mais je laisse à d'autre le soin de confirmer.

Si quelqu'un peut apporter des informations supplémentaires sur ce point ça m'intéresse !

Pour revenir au principe de moindre action en Mécanique quantique, une particule quantique ne suit pas une trajectoire de moindre action, pour la simple raison qu'elle ne suit pas du tout de trajectoire. Le principe de moindre action tel qu'on le connait en physique classique se retrouve seulement à la limite "géomètrique" de la mécanique ondulatoire (de la même manière que l'on dérive les lois de l'optique géométrique, et en particulier le principe de Fermat, de l'optique ondulatoire dans certaines conditions, on peut dériver dans les mêmes conditions le principe de moindre action de la mécanique ondulatoire).

Je ne suis pas sur d'avoir compris mais il me semble que ça va un peut plus loin, avec notamment les intégrales de chemin.

[invite6754323456711]

Je ne suis pas sûr que le principe de moindre action soit en tant que tel un principe physique. Il indique juste que les lois dynamiques d'une théorie physique peuvent se formuler sous la forme d'un principe variationnel.

Soit, ce cadre abstrait et général permet une reformulation simple et élégante de nombreux problèmes en physique, mais je ne perçois pas pourquoi cela serait moins physique qu'une représentation basée sur un formalisme infinitésimal local (exemple mécanique Newtonienne). L'action est une quantité physique comme une autre.

Patrick

[albanxiii]

Bonjour,

Je ne suis pas sur d'avoir compris mais il me semble que ça va un peut plus loin, avec notamment les intégrales de chemin.

Les intégrales de chemin permettent de calculer des amplitudes de probabilités, pas des trajectoires. On en revient donc au fait qu'il n'y a pas de trajactoire bien définie en physique quantique.

D'autre part, vous dites dans votre premier message que le principe de moindre action vous apparaît comme une évidence.... pas à moi, surtout quand on n'a sous la main que le principe fondamental de la dynamique et les équations de Maxwell.... il faut encore prouver que ces équations résultent de la minimisation d'une certaine grandeur définie sur un certain espace de fonctions, et trouver le lagrangien qui va avec. Et surtout, avoir l'intuition de tout ceci !

Bonne soirée.

[doul11]

L'action est une quantité physique comme une autre.

ça je le retient !

Les intégrales de chemin permettent de calculer des amplitudes de probabilités, pas des trajectoires. On en revient donc au fait qu'il n'y a pas de trajactoire bien définie en physique quantique.

Je sais bien qu'il n'y a pas de trajectoire a l'échelle quantique telle qu'a l'échelle classique, il peut y avoir quand même une grandeur a optimiser.

D'autre part, vous dites dans votre premier message que le principe de moindre action vous apparaît comme une évidence.... pas à moi, surtout quand on n'a sous la main que le principe fondamental de la dynamique et les équations de Maxwell.... il faut encore prouver que ces équations résultent de la minimisation d'une certaine grandeur définie sur un certain espace de fonctions, et trouver le lagrangien qui va avec. Et surtout, avoir l'intuition de tout ceci !

A non niveau il n'y aucune intuition, je regarde l'histoire de la physique des travaux de Fermat et Maupertuis aux formulations de la physique moderne et je constate que ... puis je pose la question sur le forum pour avoir confirmation ou infirmation.

[invite6754323456711]

ça je le retient !

Un cours utilisant se formalisme et montrant toute sa puissance.

Sinon des cours :
http://catalogue.polytechnique.fr/si...88&fileid=4711
http://www.lptl.jussieu.fr/files/Cours_Meca.pdf

Une utilisation en traitement d'image

Et un zeste d'épistémologie



Patrick

[invitef73a730a]

Soit, ce cadre abstrait et général permet une reformulation simple et élégante de nombreux problèmes en physique, mais je ne perçois pas pourquoi cela serait moins physique qu'une représentation basée sur un formalisme infinitésimal local (exemple mécanique Newtonienne). L'action est une quantité physique comme une autre.
Patrick

Bonsoir,
Je ne dis pas que la représentation en terme d'action est moins physique que la représentation en terme d'équation différentielle ; ces deux types de représentations sont tout à fait équivalentes. Ce que je dis, c'est que je ne suis pas sûr que la phrase : "une théorie est exprimable par un principe variationnelle" (ce qui est l'essence du dit principe de moindre action) peut être considérée comme un principe physique. Mais je ne suis pas sûr non plus de l'inverse...

Je sais bien qu'il n'y a pas de trajectoire a l'échelle quantique telle qu'a l'échelle classique, il peut y avoir quand même une grandeur a optimiser.

Non car la physique quantique est indéterministe et laisse donc toujours la possibilité de trouver une grandeur dans une valeur qui n'est pas optimale. Pour en revenir aux intégrales de chemin de Feynman, l'action correspond à la phase associée à un chemin virtuel. Si on laisse "ouvert" tout les chemins possibles et qu'on se place dans un potentiel qui évolue doucement dans l'espace, alors tout les chemins vont être en opposition de phase, sauf ceux qui se situent autour d'un chemin qui extrêmise la phase : pour ceux-là, la phase étant stable, ils interfèreront positivement entre eux et seront les seuls à contribuer à l'amplitude finale.
En revanche, dès que l'on se place dans des conditions où des phénomènes d’interférences ont lieu, ce qui est le cas général en Mécanique quantique, alors il n'y a pas qu'un chemin à prendre en considération : ceux qui sont autour du moindre chemin ne sont donc plus les seuls à contribuer à l'amplitude finale.

En revanche, comme je l'ai dit, le principe de moindre action est toujours formellement utilisée dans les théories quantiques modernes, notamment en théorie quantique des champs, car il permet de dériver les équations d'Euler-Lagrange des champs. Mais ces équations ne sont plus des équations entre grandeurs, mais entre opérateurs, ce qui fait que l'interprétation physique n'est plus du tout la même.

[invite6754323456711]

Mais ces équations ne sont plus des équations entre grandeurs, mais entre opérateurs, ce qui fait que l'interprétation physique n'est plus du tout la même.

En theorie quantique des champs, toutes les transformations considérées (transformation des champs sous l'action des opérateurs ) ne forment-elles pas des groupes et donc tout autant fonctionnel et abstrait que le principe variationnel qui porte sur des fonctionnelles et permet par exemple de redériver d'un Lagrangien le système d'équations de Maxwell ?

Patrick

[invitef73a730a]

En theorie quantique des champs, toutes les transformations considérées (transformation des champs sous l'action des opérateurs ) ne forment-elles pas des groupes et donc tout autant fonctionnel et abstrait que le principe variationnel qui porte sur des fonctionnelles et permet par exemple de redériver d'un Lagrangien le système d'équations de Maxwell ?

Patrick

Si, d'ailleurs, on s’embarrasse généralement pas, lorsque l'on dérive les équations du champs, de savoir si ces champs sont des champs quantiques (c'est à dire des champs d'opérateurs) ou classiques. Ce que l'on fait généralement, c'est que l'on écrit le principe de moindre action exactement comme il s'agissait d'un champ classique. C'est seulement dans un second temps que l'on "quantifie" la théorie (c'est à dire que l'on postule que les champs en questions sont des opérateurs soumis à des relations de commutation), et on peut ensuite vérifier, grâce aux équations de Heisenberg du mouvement que les équations de champs sont toujours valables entre opérateurs.
Formellement, il existe donc toujours un principe de moindre action, mais physiquement son sens est très différent puisque les opérateurs ne sont pas directement interprétables en terme de grandeurs physiques (le contenu physique de ces opérateurs sont l'ensemble de leurs valeurs propres, ou leurs éléments de matrices dans les différentes bases). A la limite, le principe de moindre action tel que compris en physique classique n'est valable en Mécanique quantique que pour les "expectations values" des grandeurs quantiques.

[doul11]

Un cours utilisant se formalisme et montrant toute sa puissance.

Sinon des cours :
http://catalogue.polytechnique.fr/si...88&fileid=4711
http://www.lptl.jussieu.fr/files/Cours_Meca.pdf

Une utilisation en traitement d'image

Et un zeste d'épistémologie

Patrick

Merci beaucoup Patrick pour toutes ces références, c'est noël au mois d'aout !

[invite6754323456711]

Merci beaucoup Patrick pour toutes ces références, c'est noël au mois d'aout !

Tu as cela aussi (traité dans mécanique classique II), mais tu connais peut être déjà.

Patrick

[gatsu]

Si, d'ailleurs, on s’embarrasse généralement pas, lorsque l'on dérive les équations du champs, de savoir si ces champs sont des champs quantiques (c'est à dire des champs d'opérateurs) ou classiques. Ce que l'on fait généralement, c'est que l'on écrit le principe de moindre action exactement comme il s'agissait d'un champ classique.

Oui mais c'est plus ou moins évident en fonction du point de vue adopté. Dans la quantification par intégrale de chemin, l'action est complètement classique (sauf pour les fermions). Utiliser le principe de moindre action a pour seul but de trouver quelle est la fonction de Green de l'équation du mouvement qui se trouve être directement reliée au propagateur des particules associée au champ en question. Dans le cas de la quantification canonique, je trouve que ça tombe un peu plus du ciel i.e. on s'intéresse à la physique associée à des champs d'opérateurs donc l'équation d'évolution dans le point de vue de Heisenberg serait donnée en prenant l'extremum d'une action.

A la limite, le principe de moindre action tel que compris en physique classique n'est valable en Mécanique quantique que pour les "expectations values" des grandeurs quantiques.

Ce serait vrai uiquement dans une approximation de type "champ moyen" au sens de Ginsburg-Landau pour une action euclidienne donc plutot une approximation semi-classique type WKB en MQ.