Calcul de densité spectrale

[invite04edecf8]

Bonjour à tous,

je vous sollicite car je suis bloqué devant une question concernant l'expression de la densité spectrale d'un signal Y(t) en sortie d'un filtre.

Voici les données initiales permettant de résoudre la question :
dans la chaîne de traitement, on a :
- en entrée du filtre : un signal X(t) signal aléatoire gaussien, stationnaire du 2nd ordre, de valeur moyenne m_x, à valeurs réelles.
- en sortie du filtre notre signal Y(t) dont on souhaite connaitre l'expression de la densité spectrale de puissance Γ_Y(υ).
- un filtre F, linéaire passe bande de gain complexe égal à F(υ)= Π_Δf(υ-υ₀) + Π_Δf(υ+υ₀)

Je sais que la densité spectrale du signal Y(t) s'exprime par la "formule" : Γ_Y(υ) = |F(υ)|² * Γ_X(υ).

On me donne Γ_X(υ) = Γ₀ * Π_2B(υ) + m_x² * δ(v)

Seulement, et j'en suis désolé d'avance, j'ai un blocage sur comment représenter (ou exprimer) |F(υ)|² à partir de F(υ) .. D'après moi il s'agit du même signal, mais est ce que quelqu'un peut me le confirmer où me dire que je me trompe complètement ? Il s'agit d'un blocage bête, j'attend juste une petite confirmation de votre part.

Merci beaucoup.
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[invite1228b4d5]

Salut,

il s'agit du module au carré.
Comme F(u) est complexe (transformée de fourier oblige), ces deux quantitées ne sont pas égales.
des fois, ecrire : débloque la situation

[invite04edecf8]

Concrètement, ça élargit la largeur de la porte ? ca en crée d'autres centrées en 2υ₀ et -2υ₀ ?

[invite04edecf8]

ca donne 2 sinus cardinal centré en -υ0 et +υ0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1228b4d5]

il vous faut écrire tout ça sur une feuille.
vous ecrivez que |F(u)|²=F(u).F(u)*
or, votre fonction F(u) est réelle et positive, donc |F(u)|²=F(u).F(u).
Pour réussir à exprimer cette fonction, fait par "morceau" regarder ce qu'elle vaut pour tel u puis ce qu'elle vaut pour tel u etc... Vous aurez ainsi une démonstration rigoureuse et qui ne laissera plus place au doute.

[invite04edecf8]

Mais justement, moi dans mon idée (qui est fausse) je vois ça :

[ ΠΔf(υ-υ0) + ΠΔf(υ+υ0) ] * [ ΠΔf(υ-υ0) + ΠΔf(υ+υ0) ] = ΠΔf(υ-υ0)*ΠΔf(υ-υ0) + ΠΔf(υ-υ0)*ΠΔf(υ+υ0) + ΠΔf(υ+υ0)*ΠΔf(υ-υ0) + ΠΔf(υ+υ0)*ΠΔf(υ+υ0)
donc = ΠΔf(υ-υ0)*ΠΔf(υ-υ0) + 0 + 0 + ΠΔf(υ+υ0)*ΠΔf(υ+υ0)
ce qui revient à mon signal initial .. je suppose que les deux portes que j'estime nulle ne le sont pas, enfin franchement je vois pas.. qu'est ce qui ne fonctionne pas dans mon raisonnement ? Sont-elles nulles, et si non pourquoi ?

[invite1228b4d5]

votre raisonnement me parait juste,
Il faut juste dire si la distance entre u0 et -u0 est plus grande que delta f.
Sinon, ça me semble correct

[invite04edecf8]

Donc le module carré est bel et bien égal représentativement au gain complexe du filtre ?

[invite04edecf8]

Je vois très bien qu'il me manque de petites bases (ou alors un peu d'assurance) mais j'aurai souhaité vous poser une autre question, dans la continuité de celle que je viens de vous poser.

Je rappelle que la formule reliant la DSP de sortie d'un filtre à celle de l'entrée est celle-ci :

Γ_Y(υ) = |F(υ)|² * Γ_X(υ).

On me donne Γ_X(υ) = Γ0 * Π_2B(υ) + m_x² * δ(v) et F(υ) = Π_Δf(υ-υ₀) + Π_Δf(υ+υ₀) (en gros une porte centrée en 0 et allant de -B à B d'amplitude Γ0 et un dirac en 0 d'amplitude m_x²)

D'après ce que j'ai déterminé tout a l'heure, le module carré de F(υ) est représenté par la meme fonction que F(υ).

Soit donc : en considérant B > υ₀ + Δf

Γ_Y(υ) = [ Π_Δf(υ-υ₀) + Π_Δf(υ+υ₀) ] * [ Γ0 * Π_2B(υ) + m_x² * δ(v) ]

en développant :
Γ_Y(υ) = Π_Δf(υ-υ₀) * Γ0 * Π_2B(υ) + Π_Δf(υ-υ₀) * m_x² * δ(v) + Π_Δf(υ+υ₀) * Γ0 * Π_2B(υ) + Π_Δf(υ+υ₀) * m_x² * δ(v)

donc:
Γ_Y(υ) = Γ0 * Π_Δf(υ-υ₀) + 0 + Γ0 * Π_Δf(υ+υ₀) + 0

En gros je trouve que la DSP de sortie de mon filtre est égale au gain complexe du filtre, amplifiée de Γ0.

Tout ceci me semble peu plausible dans le sens où la question suivante me demande de montrer que cette chaîne de traitement me sert à estimer la puissance moyenne de X(t) dans la bande Δf autour de υ₀. Et je sais très bien que j'oublie quelque chose puisque je n'utilise pas la partie dirac dans l'expression de la DSP du signal d'entrée.
Quelqu'un aurait-il l'amabilité de m'aider et me signaler où mon raisonnement est mauvais s'il vous plaît ? Je vous en serai vraiment très reconnaissant.