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Hamiltonien



  1. #1
    maxwellfiltre

    Hamiltonien


    ------

    Bonsoir à tous

    ma question porte sur l'Hamiltonien
    En mécanique quantique, j'ai vu qu'on l'associe à un opérateur pour simplifier l'expression de l'équation de schrödinger, mais en mécanique classique je ne voispas bien à quoi il peut servir (à part dire qu'il est égal à l'énergie totale d'un système).
    Quand on utilise le principe de moindre action, le lagrangien semble suffire.
    Est ce que quelqu'un parmis vous pourrez m'expliquer ou me donner un exemple de son application s'il vous plaît?
    Merci d'avance

    -----
    Dernière modification par maxwellfiltre ; 24/08/2012 à 18h22.

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  3. #2
    albanxiii

    Re : Hamiltonien

    Bonjour,

    En mécanique classique, l'hamintonien permet d'utiliser de nouvelles variable au lieu des n variables de coordonnées généralisées et des n vitesses associées et .
    Au lieu de ces variables, on utilise les n coordonnées et leurs moments associés .

    Alors, le mouvement est gouverné par un système de 2n équations différentielles du premier ordre (au lieu de n du second ordre dans l'approche lagrangienne) que vous trouverez ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9..._hamiltonienne

    Cela permet aussi d'introduire l'espace des phases qui est l'espace des et , et d'utliser un point de vue différent du point de vue lagrangien.

    Pour plus de détails, je vous renvoie à un ouvrage comme celui de Claude Gignoux et Bernard Sylvestre-Brac ou un cours qu'on trouve en ligne, ou alors on va attendre que quelqu'un qui a plus d'expérience que moi dans le domaine vous réponde plus complètement

    Bonne soirée.
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  4. #3
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par albanxiii Voir le message
    Bonjour,

    Alors, le mouvement est gouverné par un système de 2n équations différentielles du premier ordre (au lieu de n du second ordre dans l'approche lagrangienne)
    Oui effectivement je l'ai vu après avoir posé ma question

    Citation Envoyé par Cela permet aussi d'introduire l'espace des phases qui est l'espace des [tex
    q_i[/tex] et , et d'utliser un point de vue différent du point de vue lagrangien.
    Si j'ai bien compris, cet espace des phase correspondrait à une hypersurface qui représenterai l'ensemble des valeurs de l'énergie du système étudié?un champ d'énergie en fait?
    merci beaucoup albanxii pour ces explications et les références d'auteurs
    bonne soirée

  5. #4
    sailx

    Re : Hamiltonien

    Bonsoir,

    L'espace des phase, c'est juste les qi et pi accèssible. Chaque point représente un état du système.
    Maintenant si votre système à une energie définie E, l'équation H=E définit une hypersurface dans cette espace des phases.

  6. #5
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par sailx Voir le message
    Bonsoir,

    L'espace des phase, c'est juste les qi et pi accèssible. Chaque point représente un état du système.
    Maintenant si votre système à une energie définie E, l'équation H=E définit une hypersurface dans cette espace des phases.
    Merci pour ces précisions sailx.
    il y a quand même une question qui m'interpelle du coup :est-ce à dire que si (en théorie évidement) le système n'a pas d'énergie en un point donné de l'hypersurface, alors ce point précis correspondrait à une singularité ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    coussin

    Re : Hamiltonien

    « Pas d'énergie »… Concept intéressant auquel je n'avais jamais songé avant
    Ça ne me semble pas possible qu'un système n'ait pas d'énergie. Que voulez-vous dire par là exactement, d'ailleurs ? Un système pour lequel vous ne pouvez pas définir d'Hamiltonien ?
    Il faut alors se tourner vers les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d'un Hamiltonien (conditions que je ne connais pas…)
    Dernière modification par coussin ; 24/08/2012 à 20h41.

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  10. #7
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    « Pas d'énergie »… Concept intéressant auquel je n'avais jamais songé avant
    Ça ne me semble pas possible qu'un système n'ait pas d'énergie. Que voulez-vous dire par là exactement, d'ailleurs ? Un système pour lequel vous ne pouvez pas définir d'Hamiltonien ?
    Il faut alors se tourner vers les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d'un Hamiltonien (conditions que je ne connais pas…)

    non , comme je l ai précisé c'était uniquement une vision théorique ; je me disais justement que ça illustrerai qu'un système sans énergie n'est pas représentable au sens physique

  11. #8
    sailx

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par maxwellfiltre Voir le message
    Merci pour ces précisions sailx.
    il y a quand même une question qui m'interpelle du coup :est-ce à dire que si (en théorie évidement) le système n'a pas d'énergie en un point donné de l'hypersurface, alors ce point précis correspondrait à une singularité ?
    J'ai un petit peu du mal à vous suivre moi aussi ^^
    car, normalement, on à une fonction H(qi,pi,t) sur l'espace des phases. Celle-ci peut ne pas être défini mathématiquement en un point (ou un ensemble de points). (Souvent, on exclu ces points, ils sont "non-physique").

  12. #9
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par sailx Voir le message
    J'ai un petit peu du mal à vous suivre moi aussi ^^
    car, normalement, on à une fonction H(qi,pi,t) sur l'espace des phases. Celle-ci peut ne pas être défini mathématiquement en un point (ou un ensemble de points). (Souvent, on exclu ces points, ils sont "non-physique").
    désolé si je m'exprime mal, mais pour moi justement une singularité représente au sens mathématique du terme, un point non défini mathématiquement

  13. #10
    coussin

    Re : Hamiltonien

    Faudrait s'intéresser aux propriétés mathématiques de la fonction H(q,p,t)…
    À mon sens, pour toutes valeurs de q, p et t réels H(q,p,t) a une valeur.
    Je ne suis pas trop d'accord avec ta définition de « singularité ». Pour moi, une fonction a une singularité quand sa valeur est par exemple infinie. Je ne sais pas si ça peut arriver pour la fonction H(q,p,t)… Je ne pense pas (pour tous les exemples auxquels je peux penser, des éventuelles singularités dans le terme potentiel sont toujours compensées par des singularités dans le terme cinétique et inversement)

  14. #11
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    Citation Envoyé par coussin Voir le message
    Faudrait s'intéresser aux propriétés mathématiques de la fonction H(q,p,t)…
    À mon sens, pour toutes valeurs de q, p et t réels H(q,p,t) a une valeur.
    Je ne suis pas trop d'accord avec ta définition de « singularité ». Pour moi, une fonction a une singularité quand sa valeur est par exemple infinie. Je ne sais pas si ça peut arriver pour la fonction H(q,p,t)… Je ne pense pas (pour tous les exemples auxquels je peux penser, des éventuelles singularités dans le terme potentiel sont toujours compensées par des singularités dans le terme cinétique et inversement)
    ma définition de singularité est rigoureusement celle que l'on applique en mathématiques.
    Concernant H(q,p,t) j'avoue que je ne sais pas ...
    après par contre, mathématiquement parlant, il n'est pas évident que + soit forcément convergent vers zéro non?
    Dernière modification par maxwellfiltre ; 24/08/2012 à 23h26.

  15. #12
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    je corrige et précise ce que j 'ai dit hier soir:
    Non effectivement H(q,p,t) ne pourra jamais être égal à zéro car un système a toujours une énergie non nulle..
    En revanche, concernant la représentation d'un tel système, ses dérivées étant non définies, elles deviennent des singularités et donc tendent vers l'infinie

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  17. #13
    Calvert

    Re : Hamiltonien

    Non effectivement H(q,p,t) ne pourra jamais être égal à zéro car un système a toujours une énergie non nulle..
    Le Hamiltonien contenant l'énergie potentielle, qui peut être négative (par exemple l'énergie potentielle de gravitation, quand on met "comme d'habitude" le zéro à l'infini). Du coup, le Hamiltonien peut prendre n'importe quelle valeur.

  18. #14
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    oui je suis bien d'accord avec toi calvert mais en " théorie" , car physiquement comme le rappelait coussin, un système sans énergie n'existe pas .
    Mon idée était qu'en terme de représentation géométrique de ce cas particulier, il correspondrait à un point qui ressemblerai une sorte de trou de profondeur infinie dans l'hypersurface qui représente l'ensemble des valeurs de l'hamiltonien.
    Point particulier que l'on exclue semble t-il par ce que tu m'explique à savoir on met "comme d'habitude" le zéro à l'infini
    merci pour cette précision

  19. #15
    sailx

    Re : Hamiltonien

    le truc, c'est qu'on peut toujours rajouter une constante arbitraire en mécanique classique ... ça ne change rien...
    Mais j'avoue que la question m'intrigue : Que se passe-t-il si l'hamiltonien n'est pas défini en un point.

    J'aurai tendance à dire que ce n'est pas très grave ... Car imaginons un hamiltonien avec un seul trou qui tend vers moins l'infini. Pour trouver l'hypersurface du système, on va regarder les solutions de H=E et on aura quelque chose de parfaitement défini. (ça marche si le système est conservatif, mais on peut toujours se ramener à ce cas donc ça doit être bon)

  20. #16
    maxwellfiltre

    Re : Hamiltonien

    désolé de répondre en retard.
    merci pour ta réponse sailx.
    je pense que tu as raison.
    Et puis vu les esprits brillants de Lagrange et d'Hamilton, ça m'étonnerai qu'ils soient passé à côté de ce genre de remarque
    bonne soirée

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