Hamiltonien

[invite14e30298]

Bonsoir à tous

ma question porte sur l'Hamiltonien
En mécanique quantique, j'ai vu qu'on l'associe à un opérateur pour simplifier l'expression de l'équation de schrödinger, mais en mécanique classique je ne voispas bien à quoi il peut servir (à part dire qu'il est égal à l'énergie totale d'un système).
Quand on utilise le principe de moindre action, le lagrangien semble suffire.
Est ce que quelqu'un parmis vous pourrez m'expliquer ou me donner un exemple de son application s'il vous plaît?
Merci d'avance
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[albanxiii]

Bonjour,

En mécanique classique, l'hamintonien permet d'utiliser de nouvelles variable au lieu des n variables de coordonnées généralisées et des n vitesses associées et .
Au lieu de ces variables, on utilise les n coordonnées et leurs moments associés .

Alors, le mouvement est gouverné par un système de 2n équations différentielles du premier ordre (au lieu de n du second ordre dans l'approche lagrangienne) que vous trouverez ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9..._hamiltonienne

Cela permet aussi d'introduire l'espace des phases qui est l'espace des et , et d'utliser un point de vue différent du point de vue lagrangien.

Pour plus de détails, je vous renvoie à un ouvrage comme celui de Claude Gignoux et Bernard Sylvestre-Brac ou un cours qu'on trouve en ligne, ou alors on va attendre que quelqu'un qui a plus d'expérience que moi dans le domaine vous réponde plus complètement

Bonne soirée.

[invite14e30298]

Bonjour,

Alors, le mouvement est gouverné par un système de 2n équations différentielles du premier ordre (au lieu de n du second ordre dans l'approche lagrangienne)

Oui effectivement je l'ai vu après avoir posé ma question

q_i[/tex] et , et d'utliser un point de vue différent du point de vue lagrangien.

Si j'ai bien compris, cet espace des phase correspondrait à une hypersurface qui représenterai l'ensemble des valeurs de l'énergie du système étudié?un champ d'énergie en fait?
merci beaucoup albanxii pour ces explications et les références d'auteurs
bonne soirée

[invite1228b4d5]

Bonsoir,

L'espace des phase, c'est juste les qi et pi accèssible. Chaque point représente un état du système.
Maintenant si votre système à une energie définie E, l'équation H=E définit une hypersurface dans cette espace des phases.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e30298]

Bonsoir,

L'espace des phase, c'est juste les qi et pi accèssible. Chaque point représente un état du système.
Maintenant si votre système à une energie définie E, l'équation H=E définit une hypersurface dans cette espace des phases.

Merci pour ces précisions sailx.
il y a quand même une question qui m'interpelle du coup :est-ce à dire que si (en théorie évidement) le système n'a pas d'énergie en un point donné de l'hypersurface, alors ce point précis correspondrait à une singularité ?

[coussin]

« Pas d'énergie »… Concept intéressant auquel je n'avais jamais songé avant
Ça ne me semble pas possible qu'un système n'ait pas d'énergie. Que voulez-vous dire par là exactement, d'ailleurs ? Un système pour lequel vous ne pouvez pas définir d'Hamiltonien ?
Il faut alors se tourner vers les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d'un Hamiltonien (conditions que je ne connais pas…)

[invite14e30298]

« Pas d'énergie »… Concept intéressant auquel je n'avais jamais songé avant
Ça ne me semble pas possible qu'un système n'ait pas d'énergie. Que voulez-vous dire par là exactement, d'ailleurs ? Un système pour lequel vous ne pouvez pas définir d'Hamiltonien ?
Il faut alors se tourner vers les conditions nécessaires et suffisantes à l'existence d'un Hamiltonien (conditions que je ne connais pas…)

non , comme je l ai précisé c'était uniquement une vision théorique ; je me disais justement que ça illustrerai qu'un système sans énergie n'est pas représentable au sens physique

[invite1228b4d5]

Merci pour ces précisions sailx.
il y a quand même une question qui m'interpelle du coup :est-ce à dire que si (en théorie évidement) le système n'a pas d'énergie en un point donné de l'hypersurface, alors ce point précis correspondrait à une singularité ?

J'ai un petit peu du mal à vous suivre moi aussi ^^
car, normalement, on à une fonction H(qi,pi,t) sur l'espace des phases. Celle-ci peut ne pas être défini mathématiquement en un point (ou un ensemble de points). (Souvent, on exclu ces points, ils sont "non-physique").

[invite14e30298]

J'ai un petit peu du mal à vous suivre moi aussi ^^
car, normalement, on à une fonction H(qi,pi,t) sur l'espace des phases. Celle-ci peut ne pas être défini mathématiquement en un point (ou un ensemble de points). (Souvent, on exclu ces points, ils sont "non-physique").

désolé si je m'exprime mal, mais pour moi justement une singularité représente au sens mathématique du terme, un point non défini mathématiquement

[coussin]

Faudrait s'intéresser aux propriétés mathématiques de la fonction H(q,p,t)…
À mon sens, pour toutes valeurs de q, p et t réels H(q,p,t) a une valeur.
Je ne suis pas trop d'accord avec ta définition de « singularité ». Pour moi, une fonction a une singularité quand sa valeur est par exemple infinie. Je ne sais pas si ça peut arriver pour la fonction H(q,p,t)… Je ne pense pas (pour tous les exemples auxquels je peux penser, des éventuelles singularités dans le terme potentiel sont toujours compensées par des singularités dans le terme cinétique et inversement)

[invite14e30298]

Faudrait s'intéresser aux propriétés mathématiques de la fonction H(q,p,t)…
À mon sens, pour toutes valeurs de q, p et t réels H(q,p,t) a une valeur.
Je ne suis pas trop d'accord avec ta définition de « singularité ». Pour moi, une fonction a une singularité quand sa valeur est par exemple infinie. Je ne sais pas si ça peut arriver pour la fonction H(q,p,t)… Je ne pense pas (pour tous les exemples auxquels je peux penser, des éventuelles singularités dans le terme potentiel sont toujours compensées par des singularités dans le terme cinétique et inversement)

ma définition de singularité est rigoureusement celle que l'on applique en mathématiques.
Concernant H(q,p,t) j'avoue que je ne sais pas ...
après par contre, mathématiquement parlant, il n'est pas évident que + soit forcément convergent vers zéro non?

[invite14e30298]

je corrige et précise ce que j 'ai dit hier soir:
Non effectivement H(q,p,t) ne pourra jamais être égal à zéro car un système a toujours une énergie non nulle..
En revanche, concernant la représentation d'un tel système, ses dérivées étant non définies, elles deviennent des singularités et donc tendent vers l'infinie

[Calvert]

Non effectivement H(q,p,t) ne pourra jamais être égal à zéro car un système a toujours une énergie non nulle..

Le Hamiltonien contenant l'énergie potentielle, qui peut être négative (par exemple l'énergie potentielle de gravitation, quand on met "comme d'habitude" le zéro à l'infini). Du coup, le Hamiltonien peut prendre n'importe quelle valeur.

[invite14e30298]

oui je suis bien d'accord avec toi calvert mais en " théorie" , car physiquement comme le rappelait coussin, un système sans énergie n'existe pas .
Mon idée était qu'en terme de représentation géométrique de ce cas particulier, il correspondrait à un point qui ressemblerai une sorte de trou de profondeur infinie dans l'hypersurface qui représente l'ensemble des valeurs de l'hamiltonien.
Point particulier que l'on exclue semble t-il par ce que tu m'explique à savoir on met "comme d'habitude" le zéro à l'infini
merci pour cette précision

[invite1228b4d5]

le truc, c'est qu'on peut toujours rajouter une constante arbitraire en mécanique classique ... ça ne change rien...
Mais j'avoue que la question m'intrigue : Que se passe-t-il si l'hamiltonien n'est pas défini en un point.

J'aurai tendance à dire que ce n'est pas très grave ... Car imaginons un hamiltonien avec un seul trou qui tend vers moins l'infini. Pour trouver l'hypersurface du système, on va regarder les solutions de H=E et on aura quelque chose de parfaitement défini. (ça marche si le système est conservatif, mais on peut toujours se ramener à ce cas donc ça doit être bon)

[invite14e30298]

désolé de répondre en retard.
merci pour ta réponse sailx.
je pense que tu as raison.
Et puis vu les esprits brillants de Lagrange et d'Hamilton, ça m'étonnerai qu'ils soient passé à côté de ce genre de remarque
bonne soirée