Navier Stockes, problème ?

[invite9c7554e3]

j voudrai juste comprendre pourquoi vous faites intervenir la turbulence dans la difficulte a resoudre les equations de NS.
Le probleme principal des equations de NS se retrouve pour un simple ecoulement laminaire incompressible: la non-linearite des edp.
non?

personnelement je ne comprends pas trop qu'es ce qu'engendre comment difficultés une EDP non linéaire (analytiquement et numériquement...)
=> la seule fois que j'avais une EDP non lineaire à resoudre j'ai fais un changement de variable qui m'a permis de me ramener à une EDP lineaire...

pourrais tu m'expliquer ce point ?
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[obi76]

j voudrai juste comprendre pourquoi vous faites intervenir la turbulence dans la difficulte a resoudre les equations de NS.
Le probleme principal des equations de NS se retrouve pour un simple ecoulement laminaire incompressible: la non-linearite des edp.
non?

Dans des cas simples d'écoulements laminaires incompressibles, on a des solution analytiques (Couette, Poisseuille etc). Dans les écoulements laminaires un peu plus généraux, on peut parler d'une boule plongé dans un fluide dont la vitesse à l'infini est connue et constante, on a aussi une solution analytique (SI on n'est pas turbulent).

La non-linéarité des EDP entraîne, comme le disaient chwebij et jacquolintégrateur, un "point" à partir de laquelle l'écoulement dégénère, et où un très grand nombre de phénomènes qui n'étaient pas là avant apparaissent. Il ne faut pas oublier que ce n'est pas une EDP sur une seule variable, mais au minimum 3 (2D de vitesse et une de pression, si on ignore tout le reste). Après, une dimension de plus en vitesse si on veut de la 3D, une variable de plus par espèce présente (intervention de la diffusion), une pour la température (plus généralement l'énergie), une pour la masse volumique etc...). Toutes ces équations sont croisées, donc définir l'instant à partir duquel cet écoulement deviendra turbulent est (très) loin d'être trivial...

Après effectivement, que l'écoulement soit laminaire ou pas, à priori la difficulté de résolution est sensiblement identique (à part le fait que pour des régimes hautement turbulents il faut mieux résoudre le domaine pour que la taille des mailles reste toujours inférieur à la moitié de la plus petite échelle).

Il y avait 2 questions, donc deux réponses

[invité6735487]

Dans des cas simples d'écoulements laminaires incompressibles, on a des solution analytiques (Couette, Poisseuille etc). Dans les écoulements laminaires un peu plus généraux, on peut parler d'une boule plongé dans un fluide dont la vitesse à l'infini est connue et constante, on a aussi une solution analytique (SI on n'est pas turbulent).

La non-linéarité des EDP entraîne, comme le disaient chwebij et jacquolintégrateur, un "point" à partir de laquelle l'écoulement dégénère, et où un très grand nombre de phénomènes qui n'étaient pas là avant apparaissent. Il ne faut pas oublier que ce n'est pas une EDP sur une seule variable, mais au minimum 3 (2D de vitesse et une de pression, si on ignore tout le reste). Après, une dimension de plus en vitesse si on veut de la 3D, une variable de plus par espèce présente (intervention de la diffusion), une pour la température (plus généralement l'énergie), une pour la masse volumique etc...). Toutes ces équations sont croisées, donc définir l'instant à partir duquel cet écoulement deviendra turbulent est (très) loin d'être trivial...

Hello obi, tout dépend aussi de la nature du fluide !
Une question : arrive-t-on à modéliser l'hélium superfluide ?

[invite9c7554e3]

d'apres tes réponses Obi j'ai l'impression (je me trompe peut etre) que cette histoire de turbulence/systeme chaotique est dû à la non linéarité de l'EDP, je me trompe ?
=> du coup la sources des problemes est la meme : c le fait que l'eq. est non lineaire qui pose probleme ?

bref, ce que je veux dire c'est que j'ai du mal à comprendre la remarque de " mAx6010 " , pour moi la turbulence est une conséquence de la non linéarité de l'EDP... ?

Hello obi, tout dépend aussi de la nature du fluide !
Une question : arrive-t-on à modéliser l'hélium superfluide ?

je ne comprends pas ce que la nature du fluide va changer dans la résolution numérique ? le syst. a resoudre est inchangé juste les conditions de stabilité du schéma éventuellemnt ?

[obi76]

Oui, si vraiment tu veux rentrer dans la complexité, ça dépend de la nature du fluide (et donc typiquement de la manière dont tu résous le tenseur visqueux).

Pour l'hélium superfluide, je ne sais pas. J'ai déjà vu de la simulation de fluides supercritiques, et c'était déjà franchement compliqué (apparitions d'interfaces, disparition etc), mais là un fluide de viscosité nulle, si ça se fait, ce n'est certainement pas avec des méthodes conventionnelles. La raison est assez simple, s'il n'y a pas de viscosité, il n'y a pas de dissipation visqueuse, donc les échelles de turbulence peuvent être infiniment petites, donc il faudrait des mailles infiniment fines, donc ce n'est pas possible (en DNS).

Après, si ça se fait, je veux bien savoir comment, par curiosité

EDIT :

d'apres tes réponses Obi j'ai l'impression (je me trompe peut etre) que cette histoire de turbulence/systeme chaotique est dû à la non linéarité de l'EDP, je me trompe ?
=> du coup la sources des problemes est la meme : c le fait que l'eq. est non lineaire qui pose probleme ?

pour moi oui, après je ne sais pas si c'est l'avis de tous les turbulenciers...

EDIT 2 : je suis tombé là dessus : http://www.aesj.or.jp/publication/pn...ta/609-612.pdf, j'avoue que je n'ai jamais vu ça, ce ne sont clairement pas des méthodes "conventionnelles" qu'on utilise avec les fluides de tous les jours Et visiblement ce n'est pas de la DNS. Cela dit, regardez les résultats, c'est joli
EDIT3 : sur celle-ci myweb.clemson.edu/~rm/PDF/jfm3.pdf c'est de la DNS et ça ressemble beaucoup plus à ce que l'on fait habituellement. Je n'ai pas creusé pour savoir avec quel artifice ils ont réussi à le faire mais c'est sympa ^^

[mAx6010]

bref, ce que je veux dire c'est que j'ai du mal à comprendre la remarque de " mAx6010 " , pour moi la turbulence est une conséquence de la non linéarité de l'EDP... ?

L histoire du Reynolds critique est pour moi limpide (nous avons deja eu cette discussion obi76 )
Mais si on se place en regime laminaire, incompressible, stationnaire et en 2 dimensions, alors les inconnues sont le vecteur vitesse (u;v) et la pression p
Pourtant si mes souvenirs sont bons, on parle bien deja de l impossibilite de resoudre analytiquement le systeme de 3 equations (2 pour NS et 1 pour l incompressibilite (du/x + dv/dy = 0) )
non?
Question carambar: La resolution devient-elle possible pour les equations d Euler (ie: Navier-Stockes sans viscosite).

[obi76]

L histoire du Reynolds critique est pour moi limpide (nous avons deja eu cette discussion obi76 )
Mais si on se place en regime laminaire, incompressible, stationnaire et en 2 dimensions, alors les inconnues sont le vecteur vitesse (u;v) et la pression p
Pourtant si mes souvenirs sont bons, on parle bien deja de l impossibilite de resoudre analytiquement le systeme de 3 equations (2 pour NS et 1 pour l incompressibilite (du/x + dv/dy = 0) )
non?

Que je sache oui, aucune solution analytique.

Question carambar: La resolution devient-elle possible pour les equations d Euler (ie: Navier-Stockes sans viscosite).

non plus Enfin comme d'habitude, dans des cas académiques ça existe, mais aucune solution générale.

[invité6735487]

Obi, toi qui est en forme !
Pourrais-tu me simplifier le problème suivant (t'as vu je suis gentil ! je ne te demande pas de le résoudre ! )
Voici le problème : http://forums.futura-sciences.com/as...-une-idee.html

@ + Ah Ah Ah !

[invited9d78a37]

là je ne suis pas trop d'accord. Le Re tu le base sur quelle taille caractéristique de ta géométrie, si celle-ci est complexe ? Un exemple bête, si tu prends deux jets qui se croisent, les tailles caractéristiques, tu en as plein : diamètre de chaque jet, distance entre deux jets etc etc... Déjà, la prise de dimension caractéristique est parfaitement arbitraire. Pour la vitesse tu prend la vitesse tangentielle à l'injection ? perpendiculaire ? Sachant qu'à vitesse d'injection fixé, une augmentation du coflow peut te laminariser l'écoulement (donc augmentation du Re mais disparition de la turbulence, à géométrie identique)...

et bien le théorème de Buckingham est clair dessus, une fois tous les nombre adimensionnées fixés et les conditions limite (dans ton cas la géométrie fixée), la physique ne change pas: il n'y a rien d'indicateur.
Cependant pour résoudre tes équations de N-S classiques (juste qtité de mvt et masse), tu passes par un adimensionement du système. Et là pas le choix, il n'existe qu'un SEUL duo dans le triplé temps, taille et vitesse. Dans ce cas si tu prends une taille, celle d'un jet par exemple, tu as fixé le ratio entre cette taille et les autres tailles caractéristiques du système. De même pour les vitesses. Dans les équations de N-S , il n'existe qu'un seul Reynolds, celui donnée par les quantités associées aux jet 1.

Pour le jet numéro 2, le Reynolds devient alors:

avec le facteur de forme et le rapport des vitesses, qui seront fixés par les conditions limites. Si on change ces deux paramètres, effectivement le de transition à la turbulence va changer, mais ça, c'est prédit par le théorème de buckingham.

de plus, augmenter le Reynolds n'implique pas toujours que le système va forcément devenir turbulent. La viscosité peut avoir des effets déstabilisants. Dans mon domaine d'étude, la MHD, il existe des instabilités qui disparaissent pour une dissipation qui tend vers 0 (cf slow dynamo), tout simplement parce que la dissipation permet de déphaser des composantes de l’écoulement d'où le phénomène d'instabilité. Il en est de même pour certains écoulements cisaillés simples (cf le livre de Paul Manneville).
Mais dans ton cas (si j'ai bien compris), effectivement si en augmentant certaines vitesses, on peut diminuer le cisaillement local et les effets déstabilisant (du type Kelvin-Helmotz).

sinon d'autres remarques:

Mais si on se place en regime laminaire, incompressible, stationnaire et en 2 dimensions, alors les inconnues sont le vecteur vitesse (u;v) et la pression p

en 2D c'est encore plus simple, il n'y a qu'une seule inconnue qui est la fonction de courant tel que , la pression, on s'en fout vu qu'on peut la faire disparaitre avec l'équation de la vorticité qui devient un scalaire. A ma connaissance, l'existence et l'unicité des solutions sont prouvées (contrairement en 3D).

sinon il y a une TRES grande différence entre un fluide à viscosité nulle et un fluide avec une viscosité tendant vers 0. Pour le premier, ce sont les équations d'EUler qui donnent la dynamique de l'écoulement mais elles sont réputées pour développer des singularités à temps fini pour la turbulence. Dejà que Navier-Stokes c'est compliqué, alors n'allez pas provoquer les mathématiciens avec l'équation d'Euler.
Sinon la différence entre les deux repose sur le fait que l'élements qui temps vers 0 dans les équations est celui qui est devant le terme de dérivation le plus élevé. On parle de perturbation singulière et le problème est que le terme de plus haute dérivation fixe le nombre de conditions limites. Du coup faite tendre la viscosité vers 0 et vous allez vous retrouver avec plus de conditions limites que nécessaires!! D'un point de vue plus techniques, ça implique de considérer des domaines de l'écoulement où cette limite ne permet plus de négliger le terme de dérivation: ce sont les couches limites.

[invite9c7554e3]

au fait, j'entends toujours parlé d'adimentionnement lors de la resolution de NS comme si c'etait un passage obligatoire. Or, pour moi (qui ne fait pas de mecafluide) ça ne me parait pas forcement obligatoire...?
(par exemple si je resous l'eq. de la chaleur je ne l'adimentionne pas avant et àa marche tres bien)

=> donc pourquoi cet acharnement en mecafluide sur l'adimentionnement ?

[obi76]

Re,

bizarrement, le seul cas où le Re d'adimensionnement fixait physiquement les grandeurs, c'est lorsque j'avais un phénomène complémentaire qui apparaissait, et pour lequel il y avait une de ces caractéristiques fixées (typiquement la chimie avec la vitesse de flamme laminaire stoechio). Fixer un Re de normalisation ne te permet pas de connaître les dimensions physiques de ton domaine, ça ne fait que relier la vitesse de référence à la longueur de référence... Ou alors je ne vois pas très bien où tu veux en venir...

Pour l'unicité des solutions 2D, merci, donc j'ai raconté une co*****. Pour moi un snapshot étant solution de l'équation, en ayant une infinité, il y avait non unicité. Maintenant si par unicité (comme je l'avais précisé un peu plus haut), on parle d'unicité en espace ET en temps, alors je suis parfaitement d'accord avec toi

Partant pour la viscosité nulle, tu soulève un autre problème, mais qui dans le fond est sensiblement le même que celui que j'ai soulevé : à savoir un spectre dons les échelles peuvent tendre vers 0 (donc des CL qui doivent en prendre compte...). On est bien d'accord que c'est loin d'être le problème le plus simple ^^

Concernant la MHD (c'est marrant, on est parti dans le même domaine) je pense que c'est plus complexe, car contrairement à NS (hors LMN), la résolution du potentiel électrique est instantané dans l'espace, donc la moindre perturbation impacte directement sur l'intégralité du domaine (en plus de ça c'est bourré d'auto-influences, typiquement une accélération va générer un champ magnétique qui va générer une accélération etc...)... Typiquement (pour ma part), la turbulence est bourrée de cascade inverses, alors qu'en mécaflu "classique" ce sont des cascades directes :-p

PS : en 2D quand tu passes par la fonction de courant, tu dis que tu peux faire disparaitre la pression, mais à moins que je ne me trompe, tu remplace un scalaire par un autre : la vorticité ?

[mAx6010]

au fait, j'entends toujours parlé d'adimentionnement lors de la resolution de NS comme si c'etait un passage obligatoire. Or, pour moi (qui ne fait pas de mecafluide) ça ne me parait pas forcement obligatoire...?
(par exemple si je resous l'eq. de la chaleur je ne l'adimentionne pas avant et àa marche tres bien)

=> donc pourquoi cet acharnement en mecafluide sur l'adimentionnement ?

l adimentionnement etait la base de mon cours sur l analyse phenomenologique
Cela permet grossierement de comparer les effets des differents phenomenes physiques et de simplifier les equations

[invite9c7554e3]

d'accord pour le Re, je vois l'idée.
(en fait moi je prends les choses plus du côté math du coup je ne vois pas pourquoi une normalisation changerai qqch à la resolution d'une EDP... mais côté interpretation physique je comprends ce que vous voulez dire)

[invited9d78a37]

Re,

bizarrement, le seul cas où le Re d'adimensionnement fixait physiquement les grandeurs, c'est lorsque j'avais un phénomène complémentaire qui apparaissait, et pour lequel il y avait une de ces caractéristiques fixées (typiquement la chimie avec la vitesse de flamme laminaire stoechio).

ce que je veux dire, c'est que le theoreme de Buckingham (ou pi) fixe le nombre de grandeurs adimensionelles indépendantes dans ton système. Une fois fixées ( dans mon cas c'est Re1, alpha et beta), les autres grandeurs adimensionnées que tu peux construire (comme RE2) sont des fonctions de celles données par le th Pi. Il n'y a rien d'indicateur, tu fixes le système.

Fixer un Re de normalisation ne te permet pas de connaître les dimensions physiques de ton domaine, ça ne fait que relier la vitesse de référence à la longueur de référence... Ou alors je ne vois pas très bien où tu veux en venir...

Mais tout ça se fait après avoir les équations de N-S et la géométrie de ton domaine. C'est bien d'ailleurs la géométrie du système qui te donne les grandeurs caractéristiques du système pour le th Pi. Une fois adimensionnée les autres tailles caractéristiques s'expriment en fonction de la taille choisie. Dans l'exemple précédent L2 vaut alpha en unité L1.

le déroulement de la méthode est:
-j'ai un système avec un domaine (qui comporte des tailles différentes)
- des conditions limites (j'ai des vitesse différentes)


theoreme pi-> j'ai un nombre de variables adimensionnées qui me fixent le système. Il y en a le nombre de tailles plus de vitesse différentes mois le nombre d'unité utilisée (dans le monophasique, il y a [m] et[s]).

maintenant je passe aux équations de N-S. Comme tout s'exprime en mètre et en seconde, il n'y aura qu'un nombre adimensionnel qui apparaitra et ca sera le nombre de Reynolds. donc je choisis une taille et une vitesse et j'adimensionne les équations. Un nombre de Reynolds apparait et tant qu'à faire, c'est Re1. Les autres nombres adimensionnels n'apparaissent pas dans les équations mais ils fixent les conditions limites.

Pour l'unicité des solutions 2D, merci, donc j'ai raconté une co*****. Pour moi un snapshot étant solution de l'équation, en ayant une infinité, il y avait non unicité. Maintenant si par unicité (comme je l'avais précisé un peu plus haut), on parle d'unicité en espace ET en temps, alors je suis parfaitement d'accord avec toi

oui une solution est spatiotemporelle, c'est le champ v(x,y,z,t) qui vérifie les équations de N-S.

Concernant la MHD (c'est marrant, on est parti dans le même domaine) je pense que c'est plus complexe, car contrairement à NS (hors LMN), la résolution du potentiel électrique est instantané dans l'espace, donc la moindre perturbation impacte directement sur l'intégralité du domaine (en plus de ça c'est bourré d'auto-influences, typiquement une accélération va générer un champ magnétique qui va générer une accélération etc...)... Typiquement (pour ma part), la turbulence est bourrée de cascade inverses, alors qu'en mécaflu "classique" ce sont des cascades directes :-p

La dernière phrase n'est pas forcément juste: il y a une cascade inverse en turbulence hydro 2D. De plus, de récents papiers semblent montrer qu'il y aurait une cascade inverse d’hélicité en 3D. De même, pour des Pm magnétique élevée, genre plasma, on forme plus facilement des petites échelles (small scale dynamo).

Et le champ électrique joue le même rôle que la pression en MHD incompressible. La pression est là pour que conserve la masse, on a alors l'équation de poisson pour la pression . De même le champ électrique en MHD est la pour que l'induction conserve le courant, ainsi . Les champs E et p sont comme des multiplicateurs de Lagrange pour conserver le courant et la masse, ils s'adaptent instantanément aux champs de vitesses et magnétiques.

PS : en 2D quand tu passes par la fonction de courant, tu dis que tu peux faire disparaitre la pression, mais à moins que je ne me trompe, tu remplace un scalaire par un autre : la vorticité ?

non, comme je viens de le souligner, la pression ne joue qu'un rôle de multiplicateur de lagrange. En fait il faut prendre les équations de N-S 2D, appliquer l'opérateur rotationnel. Les équations deviennent alors:


la pression a disparu car rot de grad==0. ET maintenant on utilise le fait que et on a l'équation pour la fonction de courant


où [a,b] sont les crochets de poisson (je suis pas à 100% sur du signe devant ce terme). Bref les équations de 2D N-S se résument à une équation pour une fonction dépendant de x,y et t, car vitesse et vorticité (et donc la pression) s'expriment en fonction de

[obi76]

Re,

là on s'éloigne du sujet initial, mais concernant les cascades je parlais dans le cas général, des cas particuliers, on peut toujours en trouver Pour le moment en hydro 2D je n'ai jamais vu dans les simus que j'avais faite de cascades inverses, c'était toujours des directes. Après il y a effectivement des cas particuliers ou tu peux favoriser les cascades inverses mais ça reste marginal...

Pour l'histoire de la vorticité, merci, je mourrai moins bête

[invited9d78a37]

Re,
des cas particuliers, on peut toujours en trouver

ce ne sont pas des cas particuliers, car la plupart des écoulements geostrophiques (dans les oceans, l'atmosphère, le coeur des planètes..etc) exhibent des comportements analogues aux cascades inverses.

[obi76]

ce ne sont pas des cas particuliers, car la plupart des écoulements geostrophiques (dans les oceans, l'atmosphère, le coeur des planètes..etc) exhibent des comportements analogues aux cascades inverses.

Ben à partir du moment ou la majorité d'énergie turbulente injectée par des grandes échelles, c'est majoritairement la cascade directe qui fais descendre jusqu'aux échelles de dissipation

Je ne dis pas que ça n'existe pas, mais dans le flux d'énergie du spectre turbulent, la majeure partie du flux est dans le sens direct, pas inverse...

EDIT : je viens de voir que ma précédente modification s'est croisée avec ta réponse...

[invited9d78a37]

Re,

Pour le moment en hydro 2D je n'ai jamais vu dans les simus que j'avais faite de cascades inverses, c'était toujours des directes. Après il y a effectivement des cas particuliers ou tu peux favoriser les cascades inverses mais ça reste marginal...

ca mérite une réponse en image:
http://nonlineaire.univ-lille1.fr/SNL/gallery/24/

on voit clairement qu'il se forme des grandes échelles, c'est la cascade inverse de Kraichnan et Batchelor.

[obi76]

C'est joli, mais dans ce cas quel est le phénomène qui permet un si grand flux énergétique des plus petites vers les plus grandes ? Et ces causes sont-elles présente fréquemment dans des systèmes naturels ?

[invited9d78a37]

une cascade est toujours associée à la conservation d'une grandeur. Dans le cas de la cascade de Richardson, c'est l'énergie qui est conservée dans la gamme inertielle où l'effet de la viscosité est faible.

EN 2D, on conserve toujours l'énergie mais aussi l'enstrophie (la vorticité au carré). Cette propriété est due à l'orthogonalité entre le champ de vitesse et de vorticité et ainsi de la vorticité avec le gradientde vitesse: le terme créateur de vorticité est ainsi nul . Ceci implique que dans le cas inviscide , l'enstrophie est conservée.

du coup il existe 2 cascades, une d'énergie et l'autre d'enstrophie. pour prouver que l'énergie va préférentiellement vers ls grandes échelles et l'enstrophie vers les petites échelles, c'est un peu difficile de le développer dans le cadre de ce forum. Voici une review qui date un peu mais qui peut apporter des réponses:

http://lvov.weizmann.ac.il/Course/Ta...turbulence.pdf

[obi76]

Merci, je vais regarder ça à tête reposée