Navier Stockes, problème ?

[membreComplexe12]

Salut tous,

je vous écris car j'ai vu récemment que la résolution générale de l'équation de Navier Stockes est un des 7problèmes de math du millénaire.

bien entendu je ne suis pas capable de la résoudre mais j'ai été assez étonné de voir que c'est un probleme du millinaire car à vu d'oeil de profane ça ne parait pas un truc fou (en comparaison aux autres problemes de math du milinnaire). je voudrais savoir qu'es ce qui est insurmontable dans la démonstration ? on cherche la solution générale c'est à dire pour n'importe quelle conditions limites et n'importes quelles conditions initiales ? c'est ceci peut etre la difficulté ?

par exemple si on se fixe des conditions limites et initiales constantes ça doit se résoudre non ? (je parle pour des ultra matheux). Ce qui est difficile c'est de se fixer deux conditions limites fonctions du temps et une condition initiale fonction de l'espace ?

merci d'avance pour vos lumières
-----

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires pour lesquelles on ne connait aucune solution analytique, sauf pour des cas particuliers simples. Elles donnent lieux à des instabilités dues, vraissemblablement, à une extrème sensibilité aux conditions aux limites, dans certain cas. L'un des problèmes généreaux, que l'on cherche à résoudre, consiste justement à déterminer le caractère "étrange ou non" de l'attracteur. Un autre problème (crucial !!) consisterait à déterminer des critères permettant de connaître avec un degré raisonnable de précision, la position "du point de transisiton" entre écoulement laminaire et turbulent (lorsque la turbulence apparait, quand le nombre de Reynolds dépasse une valeur critique). On compte sur l'accroissement de puissance (à peu près certain !!) des calculateurs pour résoudre les équation N-S par calcul numérique sur réseau. Disons également, pour terminer ce bref résumé des problèmes que l'on souhaiterait établir que ces équations représentent correctement les écoulements de fluides visqueux... ce dont on n'est pas absolument certain !!!
Cordialement

[invité6735487]

Amha c'est le Re le coupable !
On croît souvent que ça caractérise le milieu laminaire du milieu intermédiaire du milieu turbulent. Pourtant on peut avoir un Re = 3000 et être en régime laminaire donc il manque un paramètre !

[jacquolintégrateur]

Amha c'est le Re le coupable !
On croît souvent que ça caractérise le milieu laminaire du milieu intermédiaire du milieu turbulent. Pourtant on peut avoir un Re = 3000 et être en régime laminaire donc il manque un paramètre !

Re
Ce serait trop simple!! Le nombre de reynolds est donné par: vl/nu où v est "la vitesse" de l'écoulement, l, une "longueur caractéristique" (??? !!!) et nu la viscosité cinématique. Si on a bien choisi les paramètres, en principe, l'écoulement reste laminéaire quand le nombre de reynolds n'atteint pas la valeur critique mais (surtout en cas de transition très progressive vers la valeur critique) il peut rester laminaire ... plus longtemps qu'on ne le penserait !! Tout ceci illustre les difficultés (parfois, les cauchemards !!) avec lesquelles les hydrodynamiciens sont aux prises.
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité6735487]

Re
Ce serait trop simple!! Le nombre de reynolds est donné par: vl/nu où v est "la vitesse" de l'écoulement, l, une "longueur caractéristique" (??? !!!) et nu la viscosité cinématique. Si on a bien choisi les paramètres, en principe, l'écoulement reste laminéaire quand le nombre de reynolds n'atteint pas la valeur critique mais (surtout en cas de transition très progressive vers la valeur critique) il peut rester laminaire ... plus longtemps qu'on ne le penserait !! Tout ceci illustre les difficultés (parfois, les cauchemards !!) avec lesquelles les hydrodynamiciens sont aux prises.
Cordialement

Re Reynolds !
Je comprends Obi et ces cauchemars !
Mais surtout je voulais insinuer qu'il y avait une notion de géométrie derrière le Re ! surtout l !

[jacquolintégrateur]

Re Reynolds !
Je comprends Obi et ces cauchemars !
Mais surtout je voulais insinuer qu'il y avait une notion de géométrie derrière le Re ! surtout l !

Re
Encore plus que ça !!
Cordialement

[obi76]

Salut

n'oublions pas que le Re, au même titre que tous les autres adimensionnels (Sh, Sc, Nu, Pr et autres) est un indicateur. On peut présumer du comportement du système mais en rien être catégorique sur sa dégénérescence turbulente ou non. Il existe des expériences avec des Re de l'ordre de 100000 et qui pourtant restaient laminaires...

PS : s'il existait une solution analytique, Meteofrance n'aurait pas besoin d'autant de ressources de calcul pour estimer des solutions, ils la calculeraient directement

[jacquolintégrateur]

Salut

n'oublions pas que le Re, au même titre que tous les autres adimensionnels (Sh, Sc, Nu, Pr et autres) est un indicateur. On peut présumer du comportement du système mais en rien être catégorique sur sa dégénérescence turbulente ou non. Il existe des expériences avec des Re de l'ordre de 100000 et qui pourtant restaient laminaires...

PS : s'il existait une solution analytique, Meteofrance n'aurait pas besoin d'autant de ressources de calcul pour estimer des solutions, ils la calculeraient directement

Bonjour
Tout à fait d'accord !
Pour le PS, encore faudrait-il que l'éventuelle solution analytique soit praticable!! S'il en est, ça m'étonnerait beaucoup qu'elle soit "simple" !!
En ce qui concerne la météo, ils ont, en plus des problèmes tordus d'interface avec l'océan, avec les différents types de sols, les forêts etc.
Cordialement

[obi76]

Re,

en fait pour les équations de NS, il existe plusieurs niveaux de complexité. On peut résoudre les ondes de pression ou pas, les réactions chimiques ou pas, les interfaces ou pas, dilatable ou pas etc...
Même dans le cas élémentaire 2D, mono-espèce et sans ondes de pression, incompressible, il n'y a pas de solution générale, alors inutile de dire que si l'on rajoute des termes sources...

[membreComplexe12]

merci beaucoup pour ces réponses !
1°) à vrai dire je n'ai jamais vraiment résolu les equations de NS proprement, je ne connais pas vraiment les resolutions possibles. J'ai juste de vagues souvenirs de mecafluides mais les cours n'étaient pas assez poussez à on gout...
2°) du coup, pourriez vous me donner quelques indications mathématiques sur ces histoires de régime turbulent ou laminaire.
=> je me rappel bien de mes cours de mecafluide où en dessus d'un certain Re pour un certain fluide on dit que le régime est turbulent et au dessous c'est laminaire.
=> mon soucis est que je ne comprends pas d'où cela vient mathématiquement... lorsque j'ai une EDP genre equation de la chaleur et que je la résouds ma solution est une somme de fonctions et il n'y a pas forcement de nombre/critere en dessus duquel la solution change ... ?
=> la transition entre laminaire et turbulent représente deux solutions différentes mais d'où cela vient mathématiquement ?

[membreComplexe12]

et point de vue numerique quel sont les problemes de resolution ?
=> par exemple si je fais une discretisation différence finis je vais tomber sur un systeme lineaire (ou non lineaire?) et je peux assez aisement le resoudre numériquement ?
=> si le nombre de Reynold change ça ne va pas compliquer la resolution numerique, le syst. est toujours le meme...?

derniere question :
=> j'ai entendu parlé de probleme couplé pression/vitesse.... mais je ne comprends pas trop. Lors de la recherche de solution de cet equation on ne cherche la solution que pour une variable ? c'est quoi ces histoire de couplage pression/vitesse ?

merci d'avance pour votre aide

[jacquolintégrateur]

et point de vue numerique quel sont les problemes de resolution ?
=> par exemple si je fais une discretisation différence finis je vais tomber sur un systeme lineaire (ou non lineaire?) et je peux assez aisement le resoudre numériquement ?
=> si le nombre de Reynold change ça ne va pas compliquer la resolution numerique, le syst. est toujours le meme...?

derniere question :
=> j'ai entendu parlé de probleme couplé pression/vitesse.... mais je ne comprends pas trop. Lors de la recherche de solution de cet equation on ne cherche la solution que pour une variable ? c'est quoi ces histoire de couplage pression/vitesse ?

merci d'avance pour votre aide

Bonsoir
Si tu t'intéresses à ces questions, il faudrait faire un sérieux effort !! Je te conseille les ouvrages suivants (il y en a, bien sûr, une quantité mais ceux là, je les connais): "Aérodynamique expérimentale" Pierre RE BUFET Ch. Béranger 1950. Ancien mais toujours vallable en ce qui concerne les principes et très bien fait. "Hypersonic and High Temperature Gas Dynamics" John D. Anderson, Jr. McGraw-Hill 1989 en américain mais excellent et récent.
Les équations de Navier-Stokes sont non linéaires et, de plus, montrent des instabilités des solutions qui attestent d'une sensibilité aux conditions aux limites.
À ma connaissance on n'a pas encore effectué de résolution numériques dans le cas générale: il faut encore monter d'un cran dans la puissance de calcul. En principe, on se contente des équations d'Euler (qui ne font pas intervenir la viscosité). On ne tient compte de la viscosité , d'une manière approchée, que dans un film très mince collé aux parois des objets baignés par l'écoulement fluide: c'est le modèle " de la couche limite". ça ne couvre pas toutes les situations. On ne peut pas éviter complètement les essais en soufflerie ou avec des maquettes opérationnelles à échelle réduite. Ne plus avoir besoin de telles expérimentations lors de la conduite des projets serait le "Graal" des ingénieurs aérodynamiciens !!!
Tant que l'écoulement est subsonique, la densité de l'air (ou de tout fluide gazeu de propriétés analogues) varie peu en fonction de la vitesse: cela permet de considérer que le fluide est incompréssible, ce qui simplifie pas mal les problèmes, mais ce n'est plus du tout vrai quant on approche de la vitesse du son: il se produit des ondes de choc et la densité (à laquelle la pression est liée, via l'équation d'état) peut varier considérablement. Il y a, alors un couplage (en quelque sorte) entre toutes les grandeurs: vitesse, pression, densité, température et, bien sûr, entropie.
Bon courage !
Cordialement

[membreComplexe12]

merci pour tout ces éléments
A+

[obi76]

Re,

je me permets de contredire (désolé) jacquolintégrateur dans le post12. Les équations de NS, on sait les résoudre numériquement, et même dans des cas extrêmement complexes (diphasiques, réactions chimiques, ondes de choc et tout le toutim). C'est ce qu'on appelle la DNS (= Direct Numerical Simulation) qui résout l'intégralité de ces équations jusqu'aux échelles les plus petites (en dessous de la plus petite échelle de Kolmogorov). Il existe des simulations dites "LES" où les plus petites échelles sont modélisées (k-epsilon, k-omega etc) qui utilisent un modèle permettant d'estimer l'impact des plus petites échelles sur des échelles plus grandes, de l'ordre de taille de la maille (on parle de modélisation des termes de sous-maille).

Des domaines en DNS (en résolvant tout), on en arrive à un ordre de grandeur du cm^3 sur quelques fractions de secondes, sur les calculateurs les plus puissants existant. Il est évident, par exemple pour MétéoFrance que les modèles de sous maille sont primordiaux par exemple, l'échelle de turbulence étant de l'ordre du mm et leurs mailles étant de l'ordre de la cinquantaine de mètres...

[Tryss]

Re,

je me permets de contredire (désolé) jacquolintégrateur dans le post12. Les équations de NS, on sait les résoudre numériquement, et même dans des cas extrêmement complexes (diphasiques, réactions chimiques, ondes de choc et tout le toutim). C'est ce qu'on appelle la DNS (= Direct Numerical Simulation) qui résout l'intégralité de ces équations jusqu'aux échelles les plus petites (en dessous de la plus petite échelle de Kolmogorov). Il existe des simulations dites "LES" où les plus petites échelles sont modélisées (k-epsilon, k-omega etc) qui utilisent un modèle permettant d'estimer l'impact des plus petites échelles sur des échelles plus grandes, de l'ordre de taille de la maille (on parle de modélisation des termes de sous-maille).

Des domaines en DNS (en résolvant tout), on en arrive à un ordre de grandeur du cm^3 sur quelques fractions de secondes, sur les calculateurs les plus puissants existant. Il est évident, par exemple pour MétéoFrance que les modèles de sous maille sont primordiaux par exemple, l'échelle de turbulence étant de l'ordre du mm et leurs mailles étant de l'ordre de la cinquantaine de mètres...

Ceci dit, est on sur de la convergence de la solution numérique vers la solution exacte (si elle existe et si elle est unique) ?

[jacquolintégrateur]

@ Obi76
Bonjour
ça prouve que, de nos jours, la technique évolue toujours plus vite qu'on ne le pense !! Je ne crois, tout de même pas que les choses soient entièrement nettes: en particulier la détermination du point de transition entre turbulent et laminaire (sur un élément de voilure ou de gouverne) cruciale pour évaluer les forces, moments et températures (en supersonique) n'est encore obtenue que par l'expérimentation (il n'y a même pas de règle empirique sûre) à moins que je ne sois encore déphasé sur ce point, ce qui n'est pas impossible !! Je pense, aussi, que les problèmes des météorologues, bien que dépendant, pour la mécanique des fluides, des équations de NS, sont assez différents de ceux des qui se posent en aérodynamique supersonique et hypersoniques.
En outre, l'origine des instabilités semble toujours poser un problème non résolu, du point de vue mathématique. Quid de la validité et de l'unicité des solutions numériques obtenues par simulation ??
Cordialement

[chwebij]

bonjour

Un autre problème (crucial !!) consisterait à déterminer des critères permettant de connaître avec un degré raisonnable de précision, la position "du point de transisiton" entre écoulement laminaire et turbulent (lorsque la turbulence apparait, quand le nombre de Reynolds dépasse une valeur critique).
On compte sur l'accroissement de puissance (à peu près certain !!) des calculateurs pour résoudre les équation N-S par calcul numérique sur réseau.

pour une grande part des écoulements hydrodynamiques, on n'a pas eu besoin de machines informatiques pour calculer la transition, la calcul perturbatif donne des résultats analytiques vérifiées.
Cependant il existe des cas "pathologiques" de transition comme l'écoulement en conduite cylindrique ou l'écoulement couette plan. Des grands progrès ont été fait sur la compréhension de ces transitions ces 40 dernières années et récemment Dwight Barkley a proposé un critère pour déterminer leur Re de transition (qui correspond au croisement entre le temps de vie des patchs de turbulence avec leur temps de séparation).

Mais je vois que dans ce fil on a oublié une chose essentielle des équations de N-S. Elles sont composées des EDP concernant la conservation de la masse et de la quantité de mouvement + ( et là c'est très important) les conditions limites et initiales. Et ce sont vraiment les conditions limites qui vont structurer la solution de ces équations.

n'oublions pas que le Re, au même titre que tous les autres adimensionnels (Sh, Sc, Nu, Pr et autres) est un indicateur. On peut présumer du comportement du système mais en rien être catégorique sur sa dégénérescence turbulente ou non.

je ne suis pas d'accord. Ces nombres adimmensionnels donnent la transition à la turbulence dans le sens où il fixe la structure de l'espace des phases, car ils fixent ainsi les équations de N-S . Tout dépend donc de la région initiales où on se trouve dans cet espace (et donc des conditions initiales). Comme ces écoulements ont des transitions sous-critiques à la turbulence (ils sont stables linéairement), tout va dépendre de l'intensité de la turbulence et de la forme et de l'énergie des perturbations injectées dans l'écoulement. Dans le cas de faible perturbation, la dynamique linéaire va nous ramener à l'état laminaire, dans le cas contraire , on sera "attrapé" par la dynamique non-linéaire (il se peut qu'il y ait des branches non-linéaires qui ramène à l'état laminaire): c'est la dire la turbulence.

[obi76]

Salut chwebij,

je ne suis pas d'accord. Ces nombres adimmensionnels donnent la transition à la turbulence dans le sens où il fixe la structure de l'espace des phases, car ils fixent ainsi les équations de N-S . Tout dépend donc de la région initiales où on se trouve dans cet espace (et donc des conditions initiales). Comme ces écoulements ont des transitions sous-critiques à la turbulence (ils sont stables linéairement), tout va dépendre de l'intensité de la turbulence et de la forme et de l'énergie des perturbations injectées dans l'écoulement. Dans le cas de faible perturbation, la dynamique linéaire va nous ramener à l'état laminaire, dans le cas contraire , on sera "attrapé" par la dynamique non-linéaire (il se peut qu'il y ait des branches non-linéaires qui ramène à l'état laminaire): c'est la dire la turbulence.

là je ne suis pas trop d'accord. Le Re tu le base sur quelle taille caractéristique de ta géométrie, si celle-ci est complexe ? Un exemple bête, si tu prends deux jets qui se croisent, les tailles caractéristiques, tu en as plein : diamètre de chaque jet, distance entre deux jets etc etc... Déjà, la prise de dimension caractéristique est parfaitement arbitraire. Pour la vitesse tu prend la vitesse tangentielle à l'injection ? perpendiculaire ? Sachant qu'à vitesse d'injection fixé, une augmentation du coflow peut te laminariser l'écoulement (donc augmentation du Re mais disparition de la turbulence, à géométrie identique)...

Ce que je veux dire, c'est qu'à partir du moment où tu parles d'échelles caractéristique, tu as nécessairement un choix arbitraire à faire, et donc les nombres adimensionnels ne peuvent que te servir d'indicateur. Pour un écoulement diphasique dispersé par exemple, tu as le Re de l'écoulement et le Re particulaire. Tu peux avoir un écoulement laminaire avec un Re particulaire tellement grand que tu vas avoir une turbulence derrière les gouttes (qui va se dissiper très vite au vu de sa taille). Même la notion de turbulence dans ce cas est difficile à définir. Tu vas avoir de la dissipation par de la (micro-)turbulence, mais globalement ton écoulement peut être laminaire...

@Tryss :
Concernant l'unicité de la solution, j'en doute très fortement pour une simple raison : prend une géométrie simple (écoulement à injection constante) avec un barreau au milieu. Les conditions limites du système sont constantes, et pourtant l'écoulement devenant turbulent, chaque instantané du champs de vitesse, de pression (de température etc) EST solution du système (EDP + conditions limites constantes). Il ne peut pas y avoir unicité, du moins pas en régime turbulent. A partir du moment où tu as une solution instationnaire à un problème où les conditions limites sont stationnaires, l'unicité de la solution ne peut exister.

[obi76]

Re,

je n'avais pas vu passer cette question :

et point de vue numerique quel sont les problemes de resolution ?
=> par exemple si je fais une discretisation différence finis je vais tomber sur un systeme lineaire (ou non lineaire?) et je peux assez aisement le resoudre numériquement ?
=> si le nombre de Reynold change ça ne va pas compliquer la resolution numerique, le syst. est toujours le meme...?

Des problèmes il y en a plein. Par exemple, si tu as apparition de discontinuité (cavitation, système diphasique, onde de choc, flamme...), il existe peu de schéma numériques capable d'"encaisser" des gradients aussi forts (type WENO). Si tu résous sans les ondes de pression, on a une description appelée "LMN" où la pression n'est pas résolue directement, mais est déterminée par une équation de Poisson. Numeriquement regarde la complexité pour résoudre (rapidement) une telle équation...

Le Re en numérique on ne l'utilise pas (pas dans le cadre "classique" en tous cas, et en DNS). Du moins je ne l'ai jamais utilisé, c'est un nombre qui caractérise le système que tu VAS simuler, mais ça s'arrête là (après pour les modèles de sous-maille, c'est une autre histoire)...

[membreComplexe12]

Des problèmes il y en a plein. Par exemple, si tu as apparition de discontinuité (cavitation, système diphasique, onde de choc, flamme...), il existe peu de schéma numériques capable d'"encaisser" des gradients aussi forts (type WENO). Si tu résous sans les ondes de pression, on a une description appelée "LMN" où la pression n'est pas résolue directement, mais est déterminée par une équation de Poisson. Numeriquement regarde la complexité pour résoudre (rapidement) une telle équation...

Dans le cas d'une discontinuité je comprends que ça soit difficile
par contre si je m'intéresse au mouvement d'un fluide par exemple avec des conditions limites/initiale constantes ça doit se resoudre asssez facilement ? (par exemple par différencce fini)

Le Re en numérique on ne l'utilise pas (pas dans le cadre "classique" en tous cas, et en DNS). Du moins je ne l'ai jamais utilisé, c'est un nombre qui caractérise le système que tu VAS simuler, mais ça s'arrête là (après pour les modèles de sous-maille, c'est une autre histoire)...

j'ai du mal à comprendre ce qu'engendre une différence de Re mathématiquement...
=> j'ai une EDP, je la discrétise, j'obtiens un systeme lineaire (ou non lineaire) que je résouds numériquement graph à Newton Rahpson ou autre truc dans ce genre. Qu'es ce qui change là dedans si Re est petit ou grand... ? l'EDP est toujours la même, la discrétisation aussi...

@Tryss :
Concernant l'unicité de la solution, j'en doute très fortement pour une simple raison : prend une géométrie simple (écoulement à injection constante) avec un barreau au milieu. Les conditions limites du système sont constantes, et pourtant l'écoulement devenant turbulent, chaque instantané du champs de vitesse, de pression (de température etc) EST solution du système (EDP + conditions limites constantes). Il ne peut pas y avoir unicité, du moins pas en régime turbulent. A partir du moment où tu as une solution instationnaire à un problème où les conditions limites sont stationnaires, l'unicité de la solution ne peut exister

là je ne comprends pas trop...
si la solution est instationnaire et les conditions limites sont stationnaire il y a non unicité de la solution ? comment expliquer ceci je ne vois pas trop... ?
ça veut dire que si tu résous NS en instationnaire avec des conditions limites constantes par exemple la solution que tu trouve n'est pas forcement la bonne ?

[obi76]

Dans le cas d'une discontinuité je comprends que ça soit difficile
par contre si je m'intéresse au mouvement d'un fluide par exemple avec des conditions limites/initiale constantes ça doit se resoudre asssez facilement ? (par exemple par différencce fini)

Oui, tu peux, ça dépend ce que tu appelles "facile" mais ce n'est pas trop difficile si tu as des bases en numérique

j'ai du mal à comprendre ce qu'engendre une différence de Re mathématiquement...
=> j'ai une EDP, je la discrétise, j'obtiens un systeme lineaire (ou non lineaire) que je résouds numériquement graph à Newton Rahpson ou autre truc dans ce genre. Qu'es ce qui change là dedans si Re est petit ou grand... ? l'EDP est toujours la même, la discrétisation aussi...

Que si ton Re devient grand, ton système devient chaotique

là je ne comprends pas trop...
si la solution est instationnaire et les conditions limites sont stationnaire il y a non unicité de la solution ? comment expliquer ceci je ne vois pas trop... ?
ça veut dire que si tu résous NS en instationnaire avec des conditions limites constantes par exemple la solution que tu trouve n'est pas forcement la bonne ?

En fait c'est plus délicat que ce que j'ai dit, j'ai voulu simplifier mais effectivement il y a une hypothèse que j'ai éludé : typiquement celle des conditions limites de sortie. Bref.
Ce que je veux dire, c'est qu' conditions limites fixées et constantes (en temps), si tu passe en régime turbulent, tu deviens chaotique. Donc avant de répondre plus en détail, lorsque tu parles d'unicité, tu parle en temps et en espace ou en espace seulement ?
Mais dire que ce n'est pas forcément la bonne non, c'est UNE solution, mais pas la seule, puisque tu es "infiniment sensible" aux variations des conditions initiales (enfin là on approche d'une dificulté entre maths et physique, la question de limite).

Si chwebij passe dans le coin, j'aimerai bien avoir son avis

[membreComplexe12]

Merci Obi pour ces explications j'y vois plus clair à présent.

=> mon soucis dans cette discussion est que je ne sais pas ce que c'est un systeme chaotique, quand ça intervient, pourquoi...

en fait je n'ai jamais étudié (juste entendu parlé) des sytemes chaotique et je pense que c'est pour cela que j'ai du mal à saisir les difficultés que poses NS (pour moi une EDP se discretise, se resout numeriquement sans "gros" problemes et puis basta la méthode est toujours la même quelque soit les valeurs des constantes du probleme. Jusqu'ici je n'avais étudié que des systemes où la notion de chaotique n'intervient pas...

[obi76]

Re,

si tu veux sentir ce qu'est un système chaotique, il te suffit de voir ça :
source : http://www.passion-meteo.net/dossiers/theorie_chaos.htm

Ca c'est la résolution d'un système 3D non linéaire. Ce que vois là, c'est la solution qui dépend du point de départ que tu as pris. Si tu prends le même point de départ + epsilon (aussi petit que l'on veut), la solution est complètement différente. Tu auras des similitudes (mêmes attracteurs je crois), mais la solution sera différente.
Dans ce cas (je ne suis pas spécialiste du chaos) mais je pense qu'il y a unicité car la solution est constante (aucune évolution temporelle). En mécaflu, il faut aussi rajouter le fait que ta solution est dans tout l'espace, et potentiellement instationnaire.

[membreComplexe12]

merci beaucoup pour ce lien et pour l'explication !
ps: si tu as un cours en PDF sous la main qui reprends les différentes résolution numérique en mecafluide je suis preneur car j'aimerai bien voir ce qui est utilisé classqiuement et un peu moins classiquement dans ce domaine d'étude

[obi76]

Re,

j'ai trouvé ça : NavierStockesIncompressibles.p df Je le trouve bien expliqué (pas forcément facile à comprendre néanmoins mais bon, qui a dit que la méca flu numérique était facile ). Tu as du code sous matlab à la fin
et ça : www.limsi.fr/Individu/podvin/polynsf11.pdf

Je pense que les deux sont assez complémentaires. Cela dit, rien de tel que faire son propre code, au moins tu sais comment il marche (et puis tu sauras ce qu'est la joie d'un code qui - après de multiples péripéties et prises de tête - fonctionne et te sort un magnifique champs de vitesse )

[membreComplexe12]

merci beaucoup obi !!!!!!!!
(ils ont l'air super!)

[membreComplexe12]

j'ai une dernière petite question :
=> es ce vraiment beaucoup plus difficile dans le cas compressible ? si oui pourquoi ?

[obi76]

Ce n'est pas spécialement plus difficile si tu n'as pas d'ondes de choc (qui avec des schémas classique te font immédiatement péter ton code), mais c'est beaucoup plus long. C'est du aux critère de stabilité de la résolution de tes équations.

Si tu es sans la résolution des ondes de pression (pour simplifier on va dire LMN), tu as deux critères de stabilité (plus un critère par terme source, tu n'en as pas ici). Le premier est basé sur la convection, c'est à dire qu'en un pas de temps, une particule fluide ne doit pas traverser plus d'une maille (pour comprendre pourquoi, imagine que tu résous une ED type y(x)' + y(x) = 0 avec un euler explicite, si ton pas de résolution est trop grand, tu dépasses la limite asymptotique de ta solution à la première itération, ta solution oscille et diverge). Il y a aussi une condition sur la diffusion (si tu es en multi-espèce), la viscosité et la conductivité thermique (tous les termes de second ordre de NS en fait).
Donc la résolution par un code "classique" devra prendre le pas de temps le plus restrictif parmi ceux que je viens de te citer. Si tu rajoute une onde de pression, alors c'est pareil, il ne faut pas que la variation de pression ne dépasse une maille par pas de temps. Le problème, c'est qu'une onde de pression, ça va à la vitesse du son, donc c'est BEAUCOUP plus restrictif.

[membreComplexe12]

merci obi pour ces explications très claires, j'ai saisi

[mAx6010]

j voudrai juste comprendre pourquoi vous faites intervenir la turbulence dans la difficulte a resoudre les equations de NS.
Le probleme principal des equations de NS se retrouve pour un simple ecoulement laminaire incompressible: la non-linearite des edp.
non?