Vitesse économique d'un autogire
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Vitesse économique d'un autogire



  1. #1
    harmoniciste

    Vitesse économique d'un autogire


    ------

    Bonjour,
    Je butte sur un problème plus mathématique que physique, mais le forum mathématique n'a pas semblé très emballé. Peut-être pourriez vous m'aider.
    Un autogire volant en palier résiste à l'avancement du fait de trois sources distinctes:
    1- La trainée parasite du fuselage, des roues et accessoires divers, proportionnelle au carré de la vitesse V: k1.V2
    2- La trainée induite par la portance du rotor, proportionnelle à l'inverse du carré de la vitesse, à l'image d'une aile fixe: k2 /V2
    3- La trainée de profil due au frottement des pales en rotation dans l'air (puissance de frottement k3supposée constante) : k3/V
    La trainée totale T vaut donc : k1.V2 + k2 /V2 + k3/V
    Pour une machine de poids et de géométrie donnés, les trois coefficients k1, k2, et k3 sont connus, et je cherche à déterminer analytiquement la vitesse V donnant la trainée minimum. Pour cela, je pose qu'à cette vitesse la dérivée dT/dV est nulle.
    soit 2 k1.V - 2 k2/ V3 - k3/ V2 = 0
    Mais je suis incapable de résoudre algébriquement cette équation.
    Merci beaucoup pour votre aide.

    -----
    Dernière modification par harmoniciste ; 25/10/2012 à 15h52.

  2. #2
    LPFR

    Re : Vitesse économique d'un autogire

    Bonjour.
    Si vous multipliez par V^3, vous obtenez une équation de 4ème degré. Il est connu que les équations de 4ème degré sont solubles analytiquement.
    Reste à retrouver la méthode sur le web. Par exemple dans wikipedia.
    Au revoir.

  3. #3
    harmoniciste

    Re : Vitesse économique d'un autogire

    C'est aussi ce que j'ai pensé. Mais il doit y avoir beaucoup plus simple, car 4° degré signifierait sans doute 4 racines, et dans mon cas il n'y a clairement qu'une seule vitesse de trainée minimale.
    Multipliant par V3 , on obtient une équation du 4° degré dont les termes en V3 et V2 sont nuls:
    2 k1. V4 - k3. V - 2. k2 = 0
    Mais je ne vois pas de simplification pour autant.

  4. #4
    phys4

    Re : Vitesse économique d'un autogire

    Citation Envoyé par harmoniciste Voir le message
    Mais il doit y avoir beaucoup plus simple, car 4° degré signifierait sans doute 4 racines, et dans mon cas il n'y a clairement qu'une seule vitesse de trainée minimale.
    Multipliant par V3 , on obtient une équation du 4° degré dont les termes en V3 et V2 sont nuls:
    2 k1. V4 - k3. V - 2. k2 = 0
    Bonjour,
    En écrivant votre équation sous la forme
    2 k1. V4 = k3. V + 2. k2

    Comme tout les coefficients sont positifs, les solutions sont les intersections de la courbe symétrique en V4 et d'une droite.
    Il n'existe donc que deux solutions réelles à cette équation, dont une négative.
    La seule racine positive est votre solution.
    Si vous connaissez vos coefficients, vous pouvez la résoudre par approximations successives.
    Comprendre c'est être capable de faire.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    harmoniciste

    Re : Vitesse économique d'un autogire

    Oui phys4, cela, je l'ai fait facilement. Et aussi avec Excel et la "valeur cible". Mais c'est une résolution algébrique que j'aurais aimé obtenir pour le principe. Ce qui est simple graphiquement devient curieusement très fastidieux.
    Dernière modification par harmoniciste ; 25/10/2012 à 19h35.

  7. #6
    obi76

    Re : Vitesse économique d'un autogire

    Bonjour,

    la solution analytique est vraiment moche : wolframalpha
    Dernière modification par obi76 ; 25/10/2012 à 19h48.
    \o\ \o\ Dunning-Kruger encore vainqueur ! /o/ /o/

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