Vitesse économique d'un autogire

[harmoniciste]

Bonjour,
Je butte sur un problème plus mathématique que physique, mais le forum mathématique n'a pas semblé très emballé. Peut-être pourriez vous m'aider.
Un autogire volant en palier résiste à l'avancement du fait de trois sources distinctes:
1- La trainée parasite du fuselage, des roues et accessoires divers, proportionnelle au carré de la vitesse V: k₁.V²
2- La trainée induite par la portance du rotor, proportionnelle à l'inverse du carré de la vitesse, à l'image d'une aile fixe: k₂ /V²
3- La trainée de profil due au frottement des pales en rotation dans l'air (puissance de frottement k₃supposée constante) : k₃/V
La trainée totale T vaut donc : k₁.V² + k₂ /V² + k₃/V
Pour une machine de poids et de géométrie donnés, les trois coefficients k₁, k₂, et k₃ sont connus, et je cherche à déterminer analytiquement la vitesse V donnant la trainée minimum. Pour cela, je pose qu'à cette vitesse la dérivée dT/dV est nulle.
soit 2 k₁.V - 2 k₂/ V³ - k₃/ V² = 0
Mais je suis incapable de résoudre algébriquement cette équation.
Merci beaucoup pour votre aide.
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Si vous multipliez par V^3, vous obtenez une équation de 4ème degré. Il est connu que les équations de 4ème degré sont solubles analytiquement.
Reste à retrouver la méthode sur le web. Par exemple dans wikipedia.
Au revoir.

[harmoniciste]

C'est aussi ce que j'ai pensé. Mais il doit y avoir beaucoup plus simple, car 4° degré signifierait sans doute 4 racines, et dans mon cas il n'y a clairement qu'une seule vitesse de trainée minimale.
Multipliant par V³ , on obtient une équation du 4° degré dont les termes en V³ et V² sont nuls:
2 k₁. V⁴ - k₃. V - 2. k₂ = 0
Mais je ne vois pas de simplification pour autant.

[phys4]

Mais il doit y avoir beaucoup plus simple, car 4° degré signifierait sans doute 4 racines, et dans mon cas il n'y a clairement qu'une seule vitesse de trainée minimale.
Multipliant par V³ , on obtient une équation du 4° degré dont les termes en V³ et V² sont nuls:
2 k₁. V⁴ - k₃. V - 2. k₂ = 0

Bonjour,
En écrivant votre équation sous la forme
2 k₁. V⁴ = k₃. V + 2. k₂

Comme tout les coefficients sont positifs, les solutions sont les intersections de la courbe symétrique en V⁴ et d'une droite.
Il n'existe donc que deux solutions réelles à cette équation, dont une négative.
La seule racine positive est votre solution.
Si vous connaissez vos coefficients, vous pouvez la résoudre par approximations successives.

[A voir en vidéo sur Futura]

[harmoniciste]

Oui phys4, cela, je l'ai fait facilement. Et aussi avec Excel et la "valeur cible". Mais c'est une résolution algébrique que j'aurais aimé obtenir pour le principe. Ce qui est simple graphiquement devient curieusement très fastidieux.

[obi76]

Bonjour,

la solution analytique est vraiment moche : wolframalpha