Coupe économique d'un triangle

[invite35452583]

J'espère que ce n'est pas un "classique" :
Précisons les termes de l'intitulé :
couper le triangle est tracer une courbe continue à l'intérieur de celui-ci séparant le triangle en deux morceaux de même aire. (Par exemple toute médiane est une coupe du triangle)
Une coupe est dite économique si elle est la plus courte en longueur des coupes possibles.

La question n'est posée que pour les deux cas particuliers suivants :
1) triangle rectangle isocèle
2) triangle équilatéral

Trouver serait déjà pas mal (en particulier pour le 2)), le montrer (au moins dans les grandes lignes) serait mieux.
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[invitebf65f07b]

Pour le 2), avec le parti pris de chercher un segment de droite, je trouve que la coupe-segment optimale est parallèle à un côté et a une longueur de 1/4*côté du triangle.
D'ailleurs, je trouve que la médiane est même la pire des coupes-segment.

Pour la démarche, c'est assez pédestre mais y a pas de soucis majeur .Dans un premier temps, un petit calcul d'aire pour trouver où la coupe-segment coupe le côté opposé sachant où il passe sur la base du triangle.
Puis un petit calcul pour connaître la longueur du dit segment pour enfin minimiser cette longueur.

Sinon, je crois pas qu'une coupe courbe puisse être plus "économique" qu'un segment, mais là j'ai pas vraiment de preuve.

[invite35452583]

Pour le 2), avec le parti pris de chercher un segment de droite, je trouve que la coupe-segment optimale est parallèle à un côté et a une longueur de 1/4*côté du triangle.

Parmi les segments, c'est bien un segment parallèle à un des côtés. Cependant, celui-ci n'a pas une longueur de 1/4*côté du triangle mais (racine(2)/2)*longueur du côté. (Erreur de report de valeurs sans doute).

Sinon, je crois pas qu'une coupe courbe puisse être plus "économique" qu'un segment, mais là j'ai pas vraiment de preuve.

Je crois que ce serait très difficile d'en trouver une.

[invitebf65f07b]

Cependant, celui-ci n'a pas une longueur de 1/4*côté du triangle mais (racine(2)/2)*longueur du côté. (Erreur de report de valeurs sans doute).

tout à fait... (ou comment transformer une racine en puissance )

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite35452583]

tout à fait... (ou comment transformer une racine en puissance )

Ca arrive. Et, ca nous fait déjà un candidat si on prend la longuer d'un côté comme unité, ce candidat vaut environ 0,707. Le gagnant a une longueur de 0,67... (je sens les calculettes chauffer) pour le cas 2)
Au fait, la solution est belle, élégante et... évidente (quand on l'a trouvée )

[invitebf65f07b]

si j'ai bien compris, la coupe économique pour le triangle équilatéral n'est pas un segment...

[invitebf65f07b]

bon j'ai bien une coupe qui fait 0.67338... mais aucune preuve de son optimalité

[invite35452583]

bon j'ai bien une coupe qui fait 0.67338... mais aucune preuve de son optimalité

Vu les décimales, c'est la solution
Reste à trouver pourquoi.

[GillesH38a]

Il me semble que ça revient à chercher une courbe de longueur minimale enserrant une aire donnée (la moitié de celle du triangle A ) entre deux droites, et que c'est l'arc de cercle non? Pour le triangle le plus général, c'est celui construit sur le plus petit des angles avec un rayon , qui a une longueur

[invite35452583]

Il me semble que ça revient à chercher une courbe de longueur minimale enserrant une aire donnée (la moitié de celle du triangle A ) entre deux droites, et que c'est l'arc de cercle non?

Et, oui la 1ère étape consistait à reformuler l'égalité d'aire en "une aire donnée"
C'est bien un arc de cercle, c'est pour cela que je parle de "belle" solution (cela concerne le résultat qui est beau de simplicité)

Convaincu que c'est l'arc de cercle ? (Là, gillesh38, je n'écris pas qu'à toi). Peut-être se ramener à un cas plus connu (au moins dans les deux cas posés)
D'autre part, un triangle n'est pas constitué d'un seul angle il y a peut-être d'autres courbes possibles.
Bref, le plus gros est fait mais il reste à mettre en forme.

Pour le triangle le plus général, c'est celui construit sur le plus petit des angles avec un rayon , qui a une longueur

Oui.

[Jeanpaul]

Petit détail : il faut vérifier que le cercle de centre A coupe bien les côtés AB et AC et pas leurs prolongements.
Si on suppose que a <= b <= c, alors la relation des sinus montre que A est le plus petit angle.
L'aire du triangle est alors b*c*sin(A)/2
L'aire du cercle est r²*A/2 moitié de celle du triangle, donc :
r² = b*c*sin(A)/(2*A)
sin(A)/A <1 donc r² < b*c/2

Mais après, comment je démontre que r < = b ??

[GillesH38a]

Convaincu que c'est l'arc de cercle ? (Là, gillesh38, je n'écris pas qu'à toi). Peut-être se ramener à un cas plus connu (au moins dans les deux cas posés)

Première chose : la courbe est symétrique par rapport à la bissectrice d'un angle (au moins un n'y appartient pas).

En effet, si elle ne l'est pas, considérons l'intersection de la courbe et de la bissectrice. Si l'intersection n'est pas au milieu, il existe un arc rejoignant cette intersection avec un coté plus court que l'autre. Il suffit de prendre cet arc et son symétrique pour construire une courbe plus courte. Si elle est au milieu, n'importe quel arc et son symétrique forment une courbe symétrique de même longueur.

Puisqu'on a un arc symétrique, si on a un angle au sommet de 2Pi/n, ce qui est le cas des exemples proposés, on peut former une courbe fermée d'aire nA/2 en accolant n triangles. Le problème revient à trouver la courbe fermée minimale enserrant une aire donnée, et on sait bien que c'est le cercle.

Dans le cas général, il faut sans doute étudier la minimisation de la longueur de l'arc avec contrainte (aire fixée)...

J Paul tu as pas confondu l'aire A avec l'angle a ?

[invite35452583]

... il existe un arc rejoignant cette intersection avec un coté plus court que l'autre. Il suffit de prendre cet arc et son symétrique pour construire une courbe plus courte

Qu'est-ce qui assure que l'aire est la même des deux côtés de la bissectrice? Ce changement peut a priori modifier l'aire totale.

Puisqu'on a un arc symétrique, si on a un angle au sommet de 2Pi/n, ce qui est le cas des exemples proposés, on peut former une courbe fermée d'aire nA/2 en accolant n triangles. Le problème revient à trouver la courbe fermée minimale enserrant une aire donnée, et on sait bien que c'est le cercle.

Oui c'est presque la bonne méthode se ramenant au cas bien connu du cercle. Mais dans les cas donnés on n'a pas besoin que l'arc soit symétrique pour former un arc fermé (il faut procéder d'une manière légèrement différente)

Dans le cas général, il faut sans doute étudier la minimisation de la longueur de l'arc avec contrainte (aire fixée)...

Certes mais on peut aussi le faire sans sortir l'"artillerie lourde" analytique. Il y a une démo niveau Bac+1 (voir compréhensible avant)

Néanmoins, pour le montrer je propose d'accepter cette hypothèse raisonnable : le domaine formé par la courbe est étoilé autour du sommet. On peut le montrer proprement sans trop d'"artillerie " non plus. L'idée est simple : on courtcircuite par un segment englobant un nouveau domaine ayant même aire que le domaine exclu. Mais c'est lourd, et il est assez évident qu'un candidat ne vérifiant pas cette hypothèse fait un piètre candidat à la minimalité.

Petit détail : il faut vérifier que le cercle de centre A coupe bien les côtés AB et AC et pas leurs prolongements.

Il faut en effet s'en assurer mais il y a une méthode plus simple (sans calcul). Notamment utiliser la propriété de l'arc de cercle de rayon r.

Par ailleurs, sur le problème initial, il y a au moins un autre détail à vérifier. Les "mauvais" candidats sont aussi à éliminer.

[GillesH38a]

Qu'est-ce qui assure que l'aire est la même des deux côtés de la bissectrice? Ce changement peut a priori modifier l'aire totale.

Ouh là j'etais fatigué hier soir ! Bien sûr en général l'aire sera différente.

Oui c'est presque la bonne méthode se ramenant au cas bien connu du cercle. Mais dans les cas donnés on n'a pas besoin que l'arc soit symétrique pour former un arc fermé (il faut procéder d'une manière légèrement différente)

OK il suffit d'alterner avec la courbe symétrique un triangle sur deux lorsque n est pair, ce qui est le cas ici.

Mais après, comment je démontre que r < = b ??

Effectivement tu n'avais rien confondu c'est une bonne remarque! ce n'est pas toujours le cas, si on prend un triangle tres plat comme le triangle Terre Lune Soleil, l'arc tracé à partir de la Terre n'intersecte pas le petit coté, mais il doit toujours y avoir un angle (le plus petit) qui marche j'ai l'impression.

[GillesH38a]

supprim&#233; doublon

[invite35452583]

OK il suffit d'alterner avec la courbe symétrique un triangle sur deux lorsque n est pair, ce qui est le cas ici.

Encore
Je reprends.
Plaçons nous d'abord dans le cas 2).
Soit une courbe candidate à la minimalité qui part d'un côté vers un autre. Soit S le sommet commun à ces deux côtés. On note A1 et B1 les deux extrémités de la courbe et on prend le symétrique de la courbe par rapport à SB1, A1 arrive en A2. On prend le symétrique par rapport à SA2, B1 arrive en B2... et au bout de 5 symétries A3 arrive en A4 qui est confondu avec A1. On a donc formé une courbe fermé, incluse dans un hexagone, dont l'aire doit être égale à 6*A/2=3A autrement dit égale à une aire donnée.
Notre courbe doit être minimale, a priori, parmi les seules courbes qui admettent six axes de symétrie incluse dans l'hexagone (tous les candidats sont dupliqués). Mais ces deux contraintes sont respectées par le cercle qui est minimum parmi toutes les courbes. (Ca rentre par convexité de l'hexagone et pour être symétrique, il est symétrique)
La solution est donc un arc de cercle pour ce type de candidats.
Y a-t-il d'autres candidats : oui (ils sont moins bons mais il faut les éliminer quand même).
Pour le cas 1), on peut recommencer :
autour de l'angle droit on dupliquera 4 fois
autour des angles à 45° on dupliquera 8 fois.
Les cercles rentrent par convexité des figures auxquelles on aboutit qui sont des carrés. (Pour 45°, on est à la limite de cet argument, pour des angles plus petits, la figure ne l'est plus)
On trouve deux candidats en arc de cercle. Quel est le meilleur, ici, on peut désormais faire un pas vers le cas général : quelle est la longueur de l'arc qui intercepte l'aire donnée?
A est l'aire du triangle, R le rayon de cet arc, a la mesure de l'angle considéré, L la longueur de l'arc
A/2=aR²/2 donc R²=A/a
L²=a²R²=aA. L est d'autnat plus petit que l'angle est petit (ce n'est pas à proprement parler une surprise)
Le meilleur candidat (du type décrit) pour le cas 1) est un arc de cercle tracé autour d'un angle à 45°.
Pour cette énigme à proprement parlé, il reste un "détail" (facile) : il reste des candidats à éliminer. Nous n'avons fait le tri que parmi les candidats allant d'un côté à un autre.

Pour le cas général, il reste deux éléments à montrer (plus le même petit détail que pour les 1ers cas) :
1) l'arc tracé sur le plus petit angle est entièrement inscrit dans le triangle
2) l'arc de cercle est le meilleur candidat pour une courbe tracée autour d'un sommet

Et, là ce matin, je me suis rendu compte que la démo à laquelle je pensais ne marche pas (erreur de sens d'inégalité )
Je suis sur la trace d'une autre...

[invite35452583]

Ouf, sauvé!
Ma nouvelle démo (encore plus simple, purement algébrique dans sa 1ère étape, celle qui foirait) marche.
Il y a donc une démo relativement simple pour étendre cette propriété des arcs de cercle à tous les angles.
La mienne est en deux étapes
1) angles comesurables avec 2pi (en exprimant algébriquement la question)
2) angles quelconques (en utilisant la densité des précédents)
Si quelqu'un veut relever le défi, bravo sinon je la donnerai plus tard.

[invite35452583]

Encore une erreur mais j’ai enfin une démo avec des mathématiques "élémentaires", moins élégante, pour un angle quelconque. Vu le caractère non intuitif (on n’est plus au niveau de la résolution d’énigme), voici une preuve pour un angle a quelconque (inférieur à pi) de sommet O :

Première chose rendons homogène le résultat à montrer (avec des notations évidentes), on a à montrer que : l²/(2aA)>=1 (c’est le rapport pour les arcs et le cercle).
Comme on va se ramener au cas du cercle, on symétrise notre courbe en la doublant tout simplement en la prolongeant par sa symétrique par rapport à une des demi-droites de l’angle. On vérifie facilement que le rapport l²/(2aA) est le même pour le symétrisé.
Pour que d’éventuels lecteurs ne connaissant pas (ou pas assez) les calculs de longueurs et d’aires en coordonnées polaires je prends une méthode plus simpliste quitte à être un peu plus long.

Une courbe minimale est étoilée (assez évident). On peut l’approximer par une ligne brisée que l’on prendra régulièrement espacée : n est un entier (supposé grand de telle manière que a/n est petit), on approxime la courbe par la ligne brisée S0S1-S1S2-S2S3…S(n-1)S(n). Où S(i) est le point de la courbe faisant un angle de mesure i(a/n) avec une même demi-droite. Les angles S(i)OS(i+1) mesurent a/n.

A évaluer l’aire et la longueur. Prenons le premier tronçon OS0S1. On note OS0=R0 OS1=R1
Longueur : on calcule S1S2 en projetant celui-ci sur la bissectrice de l’angle et sur sa perpendiculaire passant par O. a/n est petit.
2ème projection : cette projection se confond avec la réunion de celles de OS0 et de OS1, on a (R0+R1)sin(a/2n)=((R0+R1)/2)(2sin(a/2n)) ce qui vaut environ r1(a/n) où r1=(R0+R1)/2.
1ère projection : cette projection peut se déduire de celles de OS0 et de OS1. On a (R1-R0)cos(a/2) ce qui vaut environ dr1 où dr1=R1-R0. (les valeurs sont prises en value absolue)
On note ds1²=(r1(a/n))²+(dr1)² on a ds1 qui vaut environ S0S1.
Aire, on a 2A1=R0R1sin(a/n)=(r1²-dr1²).sin(a/n) (Prendre OS0 ou OS1 comme base et calculer la hauteur avec l’autre)
2A1 vaut environ r1².a/n (c’est même une majoration).
A étant l’aire totale et l la longueur totale, on a approximativement
2A/a=Somme(r(i)²)/n et l²/a²=Somme (ds(i)/a²) avec (ds(i)/a²)²=(r(i)/n)²+(dr(i)/a)², je vous laisse écrire ça avec des racines (ça fait longtemps que je n’ai pas manipulé Tex).
On a évidemment (l²/a²)/(2A/a)=l²/(2aA).

Maintenant, utilisons notre cercle. On crée une courbe fermée embrassant un angle de 2pi ainsi : si pour un angle x le rayon de la courbe initiale vaut r, pour la nouvelle courbe le rayon en (2pi/a)x vaut r. Vu la symétrisation opérée on a bien une courbe fermée. Pour cette nouvelle courbe, on peut refaire ce qui précède. On primera (‘) les valeurs pour cette courbe.
Le résultat connu pour le cercle est que (l’²/a’²)/(2A’/a’)=l’²/(2a’A’) tend vers une limite supérieure ou égale à 1.
Or, les valeurs R(i), r(i) et dr(i) seront identiques, la seule différence est que (ds’(i)/a’²)²=(r(i)/n)²+(dr(i)/(2pi))² donc ds’(i)<=ds(i) d’où l²/(2aA) tend vers une limite supérieure à 1. CQFD

[invite35452583]

Remarque :
Ainsi, la propriété de minimalisme des arcs et du cercle ne s’étend pas à tous les angles. (Etant persuadé du contraire, je ne voyais pas tout de suite mes erreurs pourtant grossières.)
Par exemple une courbe fermée réalisant deux tours, minimale pour sa longueur pour une aire donnée, n’est pas le doublement d’un même cercle. Contre-exemple :
On parcourt un cercle de rayon 1, puis on va tout droit (radialement) sur un cercle de rayon 7 que l’on parcourt et on revient par le même chemin venu. Aire totale=pi(1²+7²)=50pi, Longueur=14pi+12
Un cercle qui parcouru deux fois embrasse cette aire de 50pi a un rayon égal à 5 pour une longueur totale (2 tours) égale à 20pi. Or, 20pi-(14pi+12)=3pi-12>0. Surprenant, non !

Expliquons un peu : le rapport l²/(2aA) entre les différents angles a ne se distinguent que par les dr(i)/a, les dr(i) ayant moins de poids quand a devient plus grand.
Quand a tend vers l’infini, l²/a² tend vers (somme(r(i)/n))². Or, celui-ci est plus petit que 2A/a de la quantité Somme (r(i)-r(j))²/n² (Il suffit de l’écrire pour n=2, puis 3 et on pige vite le truc). Autrement dit les parties en r(i) dans l’aire et la somme pousse à faire varier le plus possible ces r(i) pour minimaliser le rapport l²/(2aA).
Ce phénomène est contrarié par la présence des dr(i) qui l’emporte pour a « petit » (le résultat pour le cercle et l’arc équivaut à dr=0) mais qui ne fait plus que poser des limites pour a plus grand (même pour des grandes valeurs de a si les dr(i) sont énormes ils l’emportent : imaginez une courbe commençant par un segment porté par une demi-droite passant par O, aire=0 longueur non nulle).

Pour quelle valeur de a, n’y a-t-il plus dr=0. Pour les courbes fermées, c’est discret (nombre de tours), on sait que pour 2pi c’est vrai, pour 4pi c’est faux (cf. contre exemple avec deux cercles)

Et, pour les courbes ouvertes ?
1) Le seul résultat qui serait joli serait pi (argument non scientifique mais souvent vrai !)
2) Les candidats r(x)=x+k (en coordonnées polaires, x est l’angle) en donnent une minoration.
Après calculs pénibles (avec vérifications par la bécane des expressions et de la limite), on a l²>=2aA pour x>=x’
Pour k=0 x’=4,11…, ensuite x’ décroît et tend vers racine(12)=3,464.. quand k tend vers l’infini. Ce qui donne un minorant pas trop éloigné de pi. Je pense qu’on peut faire mieux mais avec quelles fonctions ?

Si quelqu’un connaît la réponse et veut bien la transmettre, merci d’avance.

[invite35452583]

Et, histoire de boucler cette énigme, voici la résolution des deux derniers détails :
les derniers candidats à éliminer sont les courbes dont les deux extrémités sont sur le même côté. On en prend le symétrique, on a ainsi créé une courbe fermée. C'est à dire que l'on ait dans le cas déjà vu avec un angle de pi donc l'arc (demi-cercle) est plus grand que les arcs sur les angles. 5on se doutait qu'ils n'étaient pas bons les voilà éliminés pour de bon)
Pourquoi, la courbe solution (arc de cercle inerceptant le petit angle) est-il entièrement dans le triangle. Si on note a, b, c les longueurs des côtés par ordre de longueur croissante. Cet angle (de sommet S) est compris entre les côtés de longueurs b et c. Si on trace le cercle de rayon b et de centre S on constate que la zone recouvre entièrement le triangle tracée sur la médiane du grand côté. Or ce triangle a une aire égale à A/2 donc le rayon de l'arc de cercle solution est plus petit que b.
Pour les autres il ne rentre pas nécessairement mais constitue néanmoins des minima et c'est tout ce que l'on leur demande.

Le résultat est donc totalement démontré :
la courbe de plus petite longuer séparant un triangle en 2 est l'arc de cercle tracée sur le plus petit angle et a une longueur l telle que l²=aA.

[Jeanpaul]

Le résultat est donc totalement démontré :
la courbe de plus petite longuer séparant un triangle en 2 est l'arc de cercle tracée sur le plus petit angle et a une longueur l telle que l²=aA.

Excuse-moi, mais cette formule n'est pas homogène si a est une longueur et A une aire.

[invite35452583]

Excuse-moi, mais cette formule n'est pas homogène si a est une longueur et A une aire.

a est la mesure de l'angle donc sans dimension, la formule est donc homogène.
Dans ma phrase le "a" est le verbe avoir conjugué pas une notation.

[Jeanpaul]

Si on note a, b, c les longueurs des côtés par ordre de longueur croissante.

.. Or ce triangle a une aire égale à A/2 donc le rayon de l'arc de cercle solution est plus petit que b.

..Le résultat est donc totalement démontré :
la courbe de plus petite longuer séparant un triangle en 2 est l'arc de cercle tracée sur le plus petit angle et a une longueur l telle que l²=aA.

Nous ne devons pas avoir la même grammaire...

[invite35452583]

Nous ne devons pas avoir la même grammaire...

Si, mais je n'ai pas fait attention que j'avais utilisé "a" dans le 1er paragraphe en lui assignant une longueur.
Ma remarque grammaticale concernait le "a" du 3ème paragraphe.
Dans la formule donnant l (longueur de l'arc) a est l'angle et non plus une longueur. J'espère que cette fois le malentendu sera levé.

[invite35452583]

Par un argument "diagonal" (je fais converger des solutions supérieures à la borne supérieure des angles tels que l'optimum est l'arc de cercle. Ceci permet de considérer que les dr sont des infiniment petits d'ordre 1, presque partout. A coup de simplification, on arrive à une inéquation que je peux résoudre. Ceci me permet d'avoir une majoration. Or ce nombre est cette racine de 12. Or les fonctions k+x ont déjà donné cette valeur comme minorant.
Il semble bien que les arcs sont donc les courbes optimales jusqu'à l'angle (valeur comprise) de 2racine(3) radians. Je suis déçu.
Cela ne veut pas dire que les k+x soient les optimum à partir de cet angle. Cela ne veut que dire que ce sont des "candidats potables" proche de cette valeur. Je ne sais toujours pas quelles sont ces fonctions (ce qui demanderait de résoudre réellement, ce que je ne sais pas ou plus faire).