Tenseur contrainte

[invite44704f8d]

Bonsoir , je suis étudiant en 1 ère année en mécanique , et on a fait le cours sur les tenseurs de contraintes et je voulais savoir quel est son utilité et son application , merci.
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[obi76]

Bonjour,

le tenseur des contraintes sert à caractériser les efforts qui s'exercent sur un volume infinitésimal.

[invite44704f8d]

et pour la fait que le tenseur soit presque toujours diagonalisable , sa veut dire que les contraintes tg sont nulles donc l'objet est en équilibre ?

[obi76]

Toutes les réponses à ces questions se trouvent sur wikipedia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_des_contraintes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefc7d7ed3]

Salut,

Le fait que le tenseur soit symétrique et donc diagonalisable veut en effet dire que l'objet est à l'équilibre en moments : il existe une base où la force sur chaque face lui est orthogonale.

EDIT : obi76, le lien wikipédia contient en effet tout et est plutôt bien fait.

[invite44704f8d]

merci pour votre aide je crois avoir saisie l'idée , ce pendant quand on fait un changement de base on a les contraintes tg qui disparaissent es que ça a un sens physique ?!

[invitefc7d7ed3]

Ça veut dire que les contraintes "tangentielles" ne sont pas vraiment là. Du fait de l'équilibre des moments, on peut montrer que la contrainte tangentielle sur une face donnée est exactement compensée par celles sur les autres faces, ce qu'on peut illustrer en "tournant" la représentation jusqu'à ce que toutes les forces soient normales aux faces. C'est exactement ce que veut dire la symétrie du tenseur.

[invite44704f8d]

et donc c'est pour ça il existe tjrs une base ds la quelle le tenseur est diago ! merci

[invite44704f8d]

une autre question si vous permettez , dans un solide en équilibre le tenseur n'est pas vraiment utile dans se genre de système ? puisque l'objet est en équilibre sa me sert à quoi de connaitre les efforts intérieurs mise en jeu ? , je pense que son utilisation est plus pertinente avec les fluides , non ?

[obi76]

Pour les solides je laisse les lpus connaisseurs qu moi répondre (et c'est pas dur ) mais pour les fluides effectivement c'est primordial.

[invite44704f8d]

moi j'ai pensé que pour un solide ça ne sert a rien sauf s'il y a déformation de l'objet non ?

[obi76]

S'il y a déformation c'est sur, s'il n'y a pas de déformation je ne vois pas où on pourrait en avoir besoin, mais dans le doute...

[invite44704f8d]

comme il y a tjrs moyen de transformer notre tenseur en matrice diago. donc tout ne se résume qu'à 3 contraintes et selon la déformation de l'objet les valeurs varies !

[invitefc7d7ed3]

C'est ça, pour les solides à l'équilibre, le tenseur de contraintes encode les déformations. Par exemple, on s'en sert pour calculer la forme d'une poutre soumise à son propre poids, ou la déformation d'un objet posé sur le sol. Ça sert aussi à traiter la propagation d'ondes dans les solides, ce qui s'applique notamment en sismologie.

[inviteaaa1b3c5]

et pour la fait que le tenseur soit presque toujours diagonalisable , sa veut dire que les contraintes tg sont nulles donc l'objet est en équilibre ?

Bonsoir,

non les contraintes tangentielles ne sont pas nulles en général, elles sont symétriques sur 2 faces consécutives. Voici le schéma et démo :



On montre ci-après que:

Ces valeurs sont les contraintes tangentielles qu'on appelle parfois:
Et on parle de réciprocité des glissements (glissement parce que contrainte tangentielle)

Démo:
Une équation des moments autour de x des forces qui s'exercent sur l'élément de matière de dimensions dx dy dz donne:

Donc

Les 2 autres équ. de moments donnent les 2 autres égalités.

Le tenseur des contraintes est symétrique donc diagonalisable.

On peut essayer de se souvenir de cette réciprocité des glissements: si j'essaie d'arracher de la matière sur une face dans une direction tangentielle donnée, quelle contrainte s'opposera pour rester à l'équilibre, c'est la traduction physique.

[inviteaaa1b3c5]

merci pour votre aide je crois avoir saisie l'idée , ce pendant quand on fait un changement de base on a les contraintes tg qui disparaissent es que ça a un sens physique ?!

C'est la base des plans principaux où les contraintes tangentielles disparaissent, il n'y a que de la traction(compression) dans ces plans.

Et pour répondre à votre question, à quoi sert le tenseur des contraintes ... c'est pour comprendre toute la suite, la résistance des matériaux RDM par exemple, où on compare les contraintes dans des sections d'un solide aux valeurs connues de résistance du matériau en question.

[invite44704f8d]

Merci pour vos réponses j'ai mieux comprit !