Problème de calcul en physique des particules

[DarK MaLaK]

Bonsoir,

J'ai un (petit) problème pour réaliser un calcul en physique des particules. Voilà, on sait déjà que :




Je souhaite calculer la trace de ces mêmes matrices mais avec les indices en bas (les matrices sont celles qu'il y a dans l'équation de Dirac) :


Bref, ce calcul m'avait semblé assez simple malgré le fait que je ne suis pas encore très habitué aux notations de vecteurs covariants et contravariants... Sauf que ce devrait être 4 et non 16 d'après ce que je lis sur mon livre. Donc si quelqu'un peut me dire comment parvenir à ce résultat, ce serait sympa.

Merci.
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[Rincevent]

(...) je ne suis pas encore très habitué aux notations de vecteurs covariants et contravariants

tu ne sembles effectivement pas habitué à l'utilisation de la notation indicielle... commence par revoir quel type d'indices on peut répéter, comment, combien de fois, etc.

[DarK MaLaK]

En fait, c'est la première fois que j'ai à l'utiliser. J'ai juste eu un cours très rapide (une trentaine de minutes pour présenter les 4-vecteurs, invariants, métrique, transformation de Lorentz et convention d'Einstein) qui donnait des définitions comme :

et


Là, ce sont des vecteurs, mais je ne me souviens pas que dans la suite de mon cours il ait été fait mention de règles différentes pour les matrices gamma, alors j'ai utilisé les mêmes... D'ailleurs, dans la preuve 1 de "Miscellaneous identities" sur ce site : http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices, il me semble que c'est comme ça qu'ils élèvent l'indice de la matrice. Donc je suis toujours un peu perdu car j'ai fait des calculs avec ça et ils ont tous donné le bon résultat (pourtant avec beaucoup de lignes et d'étapes, donc ce n'était pas totalement trivial).

[GillesH38a]

En fait, c'est la première fois que j'ai à l'utiliser. J'ai juste eu un cours très rapide (une trentaine de minutes pour présenter les 4-vecteurs, invariants, métrique, transformation de Lorentz et convention d'Einstein) qui donnait des définitions comme :

et


Là, ce sont des vecteurs, mais je ne me souviens pas que dans la suite de mon cours il ait été fait mention de règles différentes pour les matrices gamma, alors j'ai utilisé les mêmes... D'ailleurs, dans la preuve 1 de "Miscellaneous identities" sur ce site : http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices, il me semble que c'est comme ça qu'ils élèvent l'indice de la matrice. Donc je suis toujours un peu perdu car j'ai fait des calculs avec ça et ils ont tous donné le bon résultat (pourtant avec beaucoup de lignes et d'étapes, donc ce n'était pas totalement trivial).

le problème est que tu n'utilises que deux lettres et dans ta démonstration alors qu'en réalité il devrait y en avoir quatre ... pense aussi qu'il existe des lettres et par exemple .. et souviens toi que et sont des tenseurs "inverses" (en fait duaux) tels que

[A voir en vidéo sur Futura]

[DarK MaLaK]

Salut gillesh38 et merci pour ton aide, mais c'est justement mon problème. J'avais pensé à ajouter des lettres mais j'étais coincé avec ça tout simplement car je n'ai jamais vu ta notation en delta, je ne sais pas à quoi elle correspond. Et du coup, je me suis dit que rien ne m'empêchait de choisir une lettre déjà présente dans le calcul puisque tu dis que je peux prendre n'importe quelle lettre grecque... Je n'arrive pas à comprendre ce qui fait que choisir mu ou nu est faux.

[invite76543456789]

Slaut!
Peux etre devrais tu essayer de résoudre cet exercice sans les convention d'einstein, histoire de bien comprendre ce qu'il se passe (personnellement je ne les utilise jamais).

Si tu prend E un espace vectoriel (de dimension finie) et g une forme quadratique sur E, non dégénrée, alors tu as un isomorphisme de E sur E^* donné par x->g(x,.). Tu défini une métrique duale par g*(g(u,.),g(v,.))=g(u,v) (dans la pratique on note g=g^{i,j} et g*=g_{i,j})

Dans ce cas le dual d'une application linéaire A: E->E est donné par A^*:E^*->E^*, donnée par A^*g(u,.)=g(Au,.)
Maintenant si tu te donne une base (e_i) et sa duale (e_i^*), alors pour déduire la matrice de A^* dans la base de e_i^*, vois tu comment faire?
A partir de là tu devrais pouvoir répondre à ta question.

[invite76543456789]

Erratum lire A^*g(u,.)=g(u,A.)

[DarK MaLaK]

Slaut!
Peux etre devrais tu essayer de résoudre cet exercice sans les convention d'einstein, histoire de bien comprendre ce qu'il se passe (personnellement je ne les utilise jamais).

Si tu prend E un espace vectoriel (de dimension finie) et g une forme quadratique sur E, non dégénrée, alors tu as un isomorphisme de E sur E^* donné par x->g(x,.). Tu défini une métrique duale par g*(g(u,.),g(v,.))=g(u,v) (dans la pratique on note et )

Dans ce cas le dual d'une application linéaire est donné par , donnée par
Maintenant si tu te donne une base et sa duale , alors pour déduire la matrice de dans la base de , vois tu comment faire?
A partir de là tu devrais pouvoir répondre à ta question.

Salut et merci pour ta réponse (j'ai rajouté les balises LaTeX pour essayer de mieux visualiser). Mais je n'ai plus l'habitude de ce type de langage mathématique et je peine à voir ce que tu essaies de me dire. J'essaie de manipuler un peu ces expressions mais pour l'instant, ça ne donne pas grand chose. Je vais peut-être d'abord essayer le calcul sans les conventions pour voir si ça m'éclaire.

[DarK MaLaK]

Comme je suis toujours un peu perdu, je voudrais savoir s'il est correct d'écrire :

[GillesH38a]

Salut gillesh38 et merci pour ton aide, mais c'est justement mon problème. J'avais pensé à ajouter des lettres mais j'étais coincé avec ça tout simplement car je n'ai jamais vu ta notation en delta, je ne sais pas à quoi elle correspond. Et du coup, je me suis dit que rien ne m'empêchait de choisir une lettre déjà présente dans le calcul puisque tu dis que je peux prendre n'importe quelle lettre grecque... Je n'arrive pas à comprendre ce qui fait que choisir mu ou nu est faux.

non, ce n'est pas du tout équivalent de reprendre une lettre qui existe déjà dans le calcul, parce que si tu appliques la convention d'Einstein tu fais une somme qui n'a pas lieu d'être ! tu es d'accord que et ce n'est pas tout à fait la même chose !
si tu appliques le conseil de MissPacMan et que tu développes les sommes de 0 à 3 dans la convention d'Einstein, tu verras la différence ...(oui ta dernière écriture est correcte).
en revanche je doute que le fait de connaître la nature exacte des vecteurs contravariants et covariants (c'est à dire des opérateurs différentiels et des formes duales ) t'aide beaucoup pour la technique du calcul - les physiciens s'en passent la plupart du temps, bien que dans le fond c'est assez fondamental !

[GillesH38a]

PS la notation en delta c'est simplement la notation de Kronecker, qui vaut 1 si les indices sont égaux et 0 sinon, qui est une manière de représenter les composantes matricielles de l'identité (l'élément neutre des applications linéaires), puisque bien sûr

[DarK MaLaK]

Ok, merci pour ta réponse. Mais du coup, on est bien d'accord que nous parlons de composantes de tenseurs, c'est-à-dire que ? Parce que tu dis que :



Et dans ce cas, ça ne colle pas à la définition de départ, à savoir :



Qui devrait donner 1 avec ta notation (à moins que tu fasses une somme du côté droit peut-être...).

[GillesH38a]

Ok, merci pour ta réponse. Mais du coup, on est bien d'accord que nous parlons de composantes de tenseurs, c'est-à-dire que ? Parce que tu dis que :



Et dans ce cas, ça ne colle pas à la définition de départ, à savoir :



Qui devrait donner 1 avec ta notation (à moins que tu fasses une somme du côté droit peut-être...).

ah ben oui il faut déjà que tu comprennes la notation d'Einstein . c'est une somme de 16 termes, en fait la somme des produits de toutes les composantes 2 à 2 des deux tenseurs (covariants et contravariants), ce qui donne d'après la formule précédente (trace de la matrice identité, il faut faire aussi la somme de 0 à 3). Si tu fixes et à "une seule valeur" et que tu considères le produit "tout seul", ça ne donne strictement rien qui ait un sens mathématiquement (pas plus que le produit de 2 composantes de 2 vecteurs AxBx ne définit quelque chose de mathématiquement ou physiquement signifiant). Ce n'est que la somme qui a un sens (qui donne un scalaire), tout comme le produit scalaire de 2 vecteurs.