Invariance de Lorentz

[Skops]

Bonsoir,

Je suis en train d'étudier la tqc avec le bouquin de Peskin et Schroeder et j'arrive au moment où on calcule avec des indices mu nu partout et je ne m'en sors pas

Prenons une transformation de Lorentz tel que :
Le champ subit une transformation tel que

Un exemple de calcul que je ne comprends pas et qui consiste à calculer (comment le champ est affecté par cette transformation)

Donc

Pouvez_vous m'expliquez pourquoi la dérivé partielle mu se transforme en dérivé partielle nu ?

Merci
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[albanxiii]

Bonjour,

Vous avez remarqué que l'indice est répété deux fois : on fait la somme sur toutes ses valeurs possibles (de 0 à 3). Si cela est peu clair, écrivez le explicitement, en n'oubliant pas que les lettre , , etc. sont des quadrivecteurs ! la fonction est donc une fonction de quatre variables.

Bonne soirée.

[Skops]

Mais la dérivation par rapport a mu n'est pas censé me donner une somme mais plutôt un truc comme non ? (c'est ce que je lis dans les notations du bouquin)

Bon, supposons que cela soit une somme
J'aurais donc

Donc à l'intérieur de la fonction phi, j'ai une somme sur mu (que j'ai développé) et j'obtiens donc après dérivation, un truc comme

et la même chose avec 1 2 et 3.

Autre chose : quand on a un tenseur avec des mu et nu, est ce que pour obtenir le tenseur inverse, il suffit que j'échange les symboles qui sont en bas vers le haut et ceux en haut vers le bas ? c'est á dire que l'inverse de s'écrirait ?

Merci

[Deedee81]

Salut,

Mais la dérivation par rapport a mu n'est pas censé me donner une somme mais plutôt un truc comme non ? (c'est ce que je lis dans les notations du bouquin)

Tu as les deux :
Pour chaque valeur de mu (de 0 à 3, ) tu as une somme sur les quatre valeurs de nu.
(pour la petite histoire, la sommation implicite sur les valeurs d'un indice répété deux fois s'appelle convention d'Einstein, quasiment tout le monde l'a adopté)

Bon, supposons que cela soit une somme
J'aurais donc

Gasp ! Ca non ce n'est pas possible, ou pas propre : l'indice mu se retrouve trois fois.

La somme ce n'est pas sur mu mais sur nu. C'est lui qui est répété dans ta formule au départ.

Tu as :


Et c'est en fait une abréviation de :

Autre chose : quand on a un tenseur avec des mu et nu, est ce que pour obtenir le tenseur inverse, il suffit que j'échange les symboles qui sont en bas vers le haut et ceux en haut vers le bas ? c'est á dire que l'inverse de s'écrirait ?

Attention : les noms donnés aux indices sont arbitraires. Heu.... je crois que pour la transfo de Lorentz on a égalité des deux.

Et je ne sais plus si c'est général. Mais de toute façon, la notation est impropre. On ne peut pas avoir (par exemple) mu covariant d'un coté et contravariant de l'autre.

Si quelqu'un peut confirmer/infirmer ? Ma mémoire me fait défaut. Et je n'ai pas mes bouquins sous la main.

Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Autre chose : quand on a un tenseur avec des mu et nu, est ce que pour obtenir le tenseur inverse, il suffit que j'échange les symboles qui sont en bas vers le haut et ceux en haut vers le bas ? c'est á dire que l'inverse de s'écrirait ?

Non, les indices sont muets. Vous pouvez aussi bien écrire que l'inverse de est , ou ou même

Par contre, si vous voulez écrire une relation le choix des indices doit être cohérent, par exemple

Mais de toute façon, la notation est impropre. On ne peut pas avoir (par exemple) mu covariant d'un coté et contravariant de l'autre.

Si quelqu'un peut confirmer/infirmer ?

Je confirme que c'est impropre !

[Skops]

Pour la seconde question, je pense que c'est bon.

Quant à la dérivation, je vais m'y remettre et voir si je trouve enfin le bon résultat

Merci à vous deux

[albanxiii]

Re,

Pour le calcul, n'oubliez pas que l'effet de la transformation de Lorentz inverse est de "mélanger" les variables : .

Bonne journée.

[Deedee81]

Et merci à Amanuensis d'avoir pris le relais pour l'inverse.

[Skops]

Bon, j'ai retenté le calcul plus proprement, la somme est là mais pas le résultat



Avec cette expression, je vois d'oú sort la somme finalement (somme sur les mu)
Par contre, en prenant la dérivation pour mu=0



A l'intérieur du phi, j'ai aussi une somme mais lors de la dérivation de phi avec mu=0, la seule que je vais prendre en compte est bien ?

En faisant ca, je n'ai plus de somme sur mu au final

[Amanuensis]

Bon, j'ai retenté le calcul plus proprement, la somme est là mais pas le résultat



Avec cette expression, je vois d'oú sort la somme finalement (somme sur les mu)

La somme est sur le nu (la somme est sur le ou les indices apparaissant deux fois, une en haut, une en bas).

[Amanuensis]

Quand à la dérivation, c'est juste un cas de "fonctions" composées.

C'est comme dire que la dérivée de t -> f(at), f une fonction scalaire, est égale à af'(at).

La fonction linéaire t --> at est l'application d'un tenseur (1,1), et cela se généralise aux dimensions supérieures.

[Deedee81]

La somme est sur le nu (la somme est sur le ou les indices apparaissant deux fois, une en haut, une en bas).

Il y a autre chose qui ne va pas : il y a un mu à gauche et deux à droite, c'est impossible (enfin, avec la convention de sommation évidemment).

[Amanuensis]

Bon, j'ai retenté le calcul plus proprement, la somme est là mais pas le résultat



Avec cette expression, je vois d'oú sort la somme finalement (somme sur les mu)

Oops... Je n'avais pas vu que mu était doublé à droite. Mais c'est erroné, il ne peut pas être doublé à droite et apparaître à gauche. L'écriture correcte a été donnée par Deedee :



C'est là-dessus qu'on voit la parenté avec af'(at)

Edit : Croisement

[Amanuensis]

Si on veut faire apparaître les indices à l'intérieur, cela donne



lourd pour pas grand chose.

[Deedee81]

lourd pour pas grand chose.

Mais clair et net.

Merci de l'effort,

[Amanuensis]

C'était faux (à force de mettre deux indices on continue même là où cela ne vas pas)... Je rectifie :



Et il y a quand même un truc "pas net". La dérivation à gauche est celle de



alors que celle à droite est celle de



je ne sais pas trop que proposer à la place. (Perso je pense couramment en "lambda-calcul", mais ce n'est pas le genre de notation utilisée en physique...)

[albanxiii]

Re-bonjour,

Modestement, pour éclairer un peu les notations, je propose un exemple simple, avec quelques abus de notations pour donner des syncopes à nos amis mathématiciens....

Supposons qu'on ait une fonction à deux variables et que l'oin effectue les changements de variables suivants : et .

Alors, .

C'est très bête dit comme ça, mais on est exactement dans le même cas, avec des notations un peu plus compliqués, c'est tout.

Bonne soirée.