Mouvement d'un ressort dans un camion

[invite9974b71e]

Bonjour,

J'ai un ressort de constante de raideur k, de masse m et de longueur au repos L. Il est accroché à des rails dépourvus de masse, en forme de triangle isocèle, le côté du haut suit la droit y = 2x, et le côté du bas suit la droit y = -2x. Le ressort peut se déplacer sur le rail sans frottements. Le camion accélère vers la gauche avec une accélération a. Cf. dessin en pièce jointe.

On nous demande la longueur du ressort, en supposant qu'il est en position d'équilibre.

Conseils : trouver le potentiel du problème et trouver son équilibre. Il est possible d'écrire le potentiel aussi pour la force de Dalembert. (force fictive).

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Alors moi ce que j'ai commencé à faire, c'est trouver l'emplacement du ressort au repos, sa longueur étant L, je trouve qu'il se situe à x = L/4. Ensuite j'ai dis qu'à l'équilibre, j'aurais 2ky = mg, du coup je trouve sa position y à l'équilibre. et j'en déduis son x à l'équilibre : mg/4k. Le problème c'est que là j'ai déjà la réponse du coup et c'est peu probable..

J'ai continué, en essayant de calculer le potentiel, si je ne m'abuse, j'ai intégrer la force de Dalembert, de L/4 à mg/4k, en mettant un signe - pour obtenir le potentiel (sauf erreur), je trouve : ma[mg/4k - L/4].

Ensuite je ne sais pas trop, suis-je sur la bonne piste où ai-je commis une erreur déjà ? Si quelqu'un à une idée

Merci d'avance pour vos réponses.
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[LPFR]

Bonjour.
Le dessin est mauvais par rapport aux données. Au pif le rail du haut correspond à y = x/2 qu'à y = 2x. Ce n'est peut-être pas très grave. Mais un bon dessin réduit les chances de se tromper
Si je comprends bien, le plan xy est horizontal. Donc, on n'a que faire de la gravité 'g'.
Ce qui accélère le ressort n'est pas la force Mais la composante de cette force dans le sens des '-x'. Il faut donc que vous calculiez quelle est la fraction de la force F qui accélère le ressort.
Faites un dessin de la force F et de sa composante dans le sens des 'x'.
Au revoir.

[invite9974b71e]

Bonjour,

Le dessin est celui donné avec l'énoncé en faite, ce n'est pas moi qui l'ai fait. Pour ce qui est du plan xy, je n'avais pas vu les choses comme ça, ce n'est pas précisé, mais admettions qu'il soit horizontal comme tu le dis alors.
Je vais essayer de faire ce que tu conseilles et je re-poste.

Merci bien.

[invite9974b71e]

Juste une chose, la force F=k(l-L), n'a justement aucune composante sur l'axe des x vu qu'elle est verticale non ? La force qui accélère le ressort et la force de d'Alembert il me semble, dirigée vers la droite (dans le sens positif de x).

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Re.
Oui. Vous avez raison. J'ai mal rédigé ma phrase.
Si le ressort ne glisse pas sur le rail, cela veut dire que la force et perpendiculaire au rail. Donc que la somme de la force élastique plus celle de l'accélération donnent un résultat perpendiculaire au rail.
A+

[invite9974b71e]

Justement si le ressort peut se déplacer sur le rail.

Selon moi j'ai la force élastique sur l'axe des y et la force fictive de d'Alembert sur l'axe des x.. C'est pour l'écriture du potentiel que ça coince.

Merci.

[LPFR]

Re.
Je ne vois pas l'utilité de mélanger un potentiel à tout ça.
Pour moi, F = ma, me suffit.
A+

[invite9974b71e]

Hum ok..
Alors comment définir la position d'équilibre du ressort ? Ca me paraît infaisable, j'ai une force MA dirigée vers la droite, et la force F = k(l-L) vers le haut, je cherche donc l, c'est ca la réponse à mon problème. Mais pour que le ressort soit à l'équilibre, il faut quelque chose dirigé vers la gauche pour équilibrer ma non ? C'est assez flou là..

Merci bien.

[invite9974b71e]

Avec les potentiels, je suis arrivé à mg/2k + L, comme réponse finale.. Trouves tu quelque chose de similaire par une autre méthode ? Merci.

[LPFR]

Re.
Il faut commencer par se décider si on fait le problème depuis le référentiel su sol (inertiel) ou depuis le camion. Dans le second cas il faut inclure la force d'inertie.
Le reste se trouve dans le dessin: (en inertiel) la réaction du rail se décompose en la force qui accélère le ressort plus force du ressort.
A+

[invite9974b71e]

Re,
Il me semble évident qu'on travaille dans le camion, si on étudie le mouvement du ressort non ?
Moi j'ai dis que le potentiel U(x,y) = dérivée de MA (force fictive dirigée vers la droite) entre L/4 et Xfinal, + dérivée de KY (force du ressort, dirigée vers le haut). Je précise que Xo = L/4, car la longueur du ressort au repos est L. Or y = 2x, alors..
Du coup je trouve U(x,y), je le dérive et l'égalise à zéro, j'ai mon point d'équilibre à priori, il vaut ce que j'ai marqué dans mon précédent post.

[LPFR]

Re,
Il me semble évident qu'on travaille dans le camion, si on étudie le mouvement du ressort non ?...

Re.
Non.
C'est un choix libre. Certains problèmes sont plus faciles à résoudre à partir du repère accéléré.
Mais c'est plutôt l'exception.
Mais dans tous le cas, on peut résoudre un problème à partir de n'importe quel repère. Le plus souvent, je choisis le repère inertiel.
A+

[invite9974b71e]

Ok, c'est noté.
Pourrais-tu si tu as un moment me dire ce que tu trouves ? Que je puisse comparer.

Merci bien.

[invite9974b71e]

(Arf, erreur de ma part, réponse finale : mg/4k + L). Je pense que c'est OK.

Merci beaucoup pour ton aide

A bientôt.

[Etrange]

Salut,

Je n'obtiens pas ce résultat. Sans être sûr de la justesse du mien je pense pouvoir dire que tu t'es trompé. L'accélération a du camion n’apparaît pas dans ton expression (à moins que tu ne l'ai remplacée par g mais je suis parti du principe que g était l'accélération gravitationnelle dans ta réponse). Ensuite, si l'on fait tendre la raideur k vers l'infini, on ne devrait plus avoir de déplacement du ressort et la position d'équilibre devrait tendre vers celle au repos que tu as donnée plus haut x=L/4. Je ne vois pas pourquoi g entrerait en jeu dans l'expression, pour moi la masse du ressort n'est à prendre en compte que pour l'inertie qu'elle lui confère. Je pense que le schéma représente le système vu du dessus.
En utilisant deux méthodes différentes je tombe sur le même résultat x=(8kL + ma)/32k (qui tend bien vers L/4 pour k très grand où lorsque a tend vers 0).

Pour la première méthode on se place en dehors du camion, dans un référentiel inertiel. Le système présente une symétrie selon Ox. Pour le simplifier on peut considérer que les points d'attache sont pesant et leur affecter la moitié de la masse du ressort : m/2. La masse du ressort lui-même est maintenant nulle. On étudie alors les forces qui s'appliquent sur l'un des points d'attache (l'étude de l'autre est similaire à une symétrie près). On trouve deux forces, celle de la glissière et celle du ressort. On applique la deuxième loi de Newton et, connaissant l'accélération des points d'attache étudiés à l'équilibre, on déduit l'abscisse.

Pour la seconde méthode on se place dans le référentiel accéléré du camion et on utilise l'énergie potentielle du système. En invoquant le principe d'équivalence entre accélération et gravitation on peut considérer que le ressort subit une force égale à ma selon Ox (force d'inertie dont parlait LPFR). Cette force dérive d'un potentiel. En prenant arbitrairement l'énergie potentielle "d'inertie" Ei nulle lorsque le ressort est en x=0. On obtient Ei = -max en fonction de l'abscisse x. De plus, le ressort emmagasine une énergie potentielle élastique Ee lorsqu'il s'allonge, Ee = 1/2 kl² où l est l'allongement par rapport à la position d'équilibre. Il est simple d'exprimer l en fonction de x. On ajoute alors les deux énergies potentielles pour obtenir l'énergie potentielle totale Ep = Ee + Ei. Le système va minimiser son énergie potentielle, on calcule donc la valeur de x pour laquelle la dérivée de Ep s'annule.