vidange de réservoirs : théorie / observation

[invitebf1b28e3]

Bonjour,

je suis professeur de mathématiques et je souhaiterais dans une courte introduction du chapitre sur les fonctions affines parler des clepsydres.
En zonant en cybérie hier j'avais trouvé des liens intéressants que je ne retrouve plus...
Je souhaiterais disposer pour chacun des cas suivants, le modèle théorique et observé (sous certaines conditions ...) donnant la hauteur du fluide en fonction du temps

• réservoir cylindrique
• réservoir conique
• réservoir idéal : h= cte * r^4

d'avance merci pour les informations que vous pourrez m'indiquer,
S
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[invitebf1b28e3]

Pour la partie théorique :

On suppose que le réservoir est limité par une surface de révolution et en cylindrique r=a.zⁿ où a et n sont des constantes.
Le cas du cylindre correspond à n=0; le réservoir conique à n=1 et le cas idéal n=1/4.
[Lois de la physique + approximations] => L'équation différentielle à résoudre est dz/dt = -K.z^(0,5-2n) où K est une constante strictement positive.
Si l'on désigne par t|->h(t) la hauteur du liquide dans le réservoir en fonction du temps :
On obtient h(t) = (H^2n+0,5-(2n+0,5)K.t)^2/(4n+1)

Je vais tracer ces courbes et reviendrai vers vous,
S

[invitebf1b28e3]

Pour la partie théorique :

On suppose que le réservoir est limité par une surface de révolution et en cylindrique r=a.zⁿ où a et n sont des constantes.
Le cas du cylindre correspond à n=0; le réservoir conique à n=1 et le cas idéal n=1/4.
[Lois de la physique + approximations] => L'équation différentielle à résoudre est dz/dt = -K/a².z^(0,5-2n) où K est une constante strictement positive.
Si l'on désigne par t |-> h(t) la hauteur du liquide dans le réservoir en fonction du temps : avec h(0)=1 mètre et un temps de vidange de 720 secondes
On obtient h(t) = (H^2n+0,5-(2n+0,5)K/a².t)^2/(4n+1)=(A-Bt)^2/(4n+1)

Voici les courbes que j'obtiens :


Est-ce correct selon vous ?

S