Équations différentielles système de réservoirs

[invite8dd4df9d]

Bonjour,

j'ai un problème pour modéliser ce problème en équation différentielle


Un système est composé de deux réservoirs dans lesquels entre et sort de l'eau à raison de 20l/min
chaque réservoir contient 200L d'eau

on déverse un 1kg de colorant ds le 1er réservoir et le colorant est continuellement brassé. Mettre en équation

alors perso je vois que en fait on met 1kg de colorant ds l'eau , donc c'est ce qui entre ds le réservoir 1

donc Vin = 1.20 (à savoir la quantité multiplée par le débit

Puis on dit que le colorant pénètre ds le réservoir 2 au meme débit

donc il sort du réservoir 1 pour aller ds le 2.
Ce qui donne Vout = y(t)/volume à savoir 200

donc l'équation serait dy(t)/dt = 20 - 0,1(yt)

où y(t) représente la concentration en colorant

Est-ce correct?

Merci
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[invitea3eb043e]

Quand on attaque ce genre de problème, il ne faut surtout pas mettre de chiffres, sinon on n'arrive jamais à savoir si les formules sont homogènes. Et puis, il ne faut pas raisonner sur l'instant initial mais sur l'instant courant. On mettra les conditions initiales plus tard.
On appelle donc V0 le volume des réservoirs (en litres) et a le débit (en litres/mn).
A l'instant t, la concentration de colorant en haut est x, en bas elle est y (en kg/l)

On fait couler pendant un temps dt, il arrive donc un volume a dt.
La masse de colorant en haut était de V0 x, elle sera la même mais dans un volume plus grand : V0 + a dt, donc la concentration en haut sera :
x + dx = V0 x /(V0 + a dt) qui se réécrit en négligeant le second ordre dx dt.
Ca donne l'équa diff de x : V0 dx + a x dt = 0
Tu fais le même raisonnement en bas.
A l'instant t, en bas la concentration est y et le volume V0, donc la masse est V0 y
Il arrive du colorant de masse a dt x, la masse sera V0 y + a dt x dans un volume qui sera (V0 + a dt) donc :
y + dy = (V0 y + a x dt)/(V0 + a dt)
et ça donne la seconde équa diff couplée à la première évidemment.
Reste à résoudre tout ça.