Equations différentielles

[invite33ae6c85]

Bonjour à tous,

J'avais uen dizaine d'équa diffs à resoudre et trois me resistent encore ... (j'expose mes problèmes un peu plus bas ...)
a) (1+x)tx'+(1-t)x=0
b) (1+x) - (1-t)x' = 0
c) (t²-xt²)x' +x² +tx² = 0

Je sais que ces trois équations sont à variables séparables mais voici mes résultats :
a) x + ln(x) = t - ln(t) + cste (je ne vois pas comment clairement exprimer x en fonction de t)

b) j'ai trouvé x(t)=K.exp(-ln(1-t)) où K est la constante mais quand j'essaie de verifier en reinjectant un 1 se fait de trop...

c) j'arrive à séparer les variables mais je suis bloqué sur l'inégration...
Je trouve ((1+t)/t²)dt=((x-1)/x²)dx et je ne sais pas résoudre ...


Merci d'avance de votre aide!!
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[invitea41c27c1]

x + ln(x) = t - ln(t) + cste (je ne vois pas comment clairement exprimer x en fonction de t)

C'est juste et moi non plus je ne vois pas comment exprimer x. Je crois meme que la bijection reciproque de x + ln x n'est pas connu...

j'ai trouvé x(t)=K.exp(-ln(1-t)) où K est la constante mais quand j'essaie de verifier en reinjectant un 1 se fait de trop...

C'est plutot : 1+x(t)=K.exp(-ln(1-t))

j'arrive à séparer les variables mais je suis bloqué sur l'inégration...
Je trouve ((1+t)/t²)dt=((x-1)/x²)dx et je ne sais pas résoudre ...

On peut primitiver, en ecrivant :
(1+t)/t² = 1/t + 1/t^2 et (x-1)/x² = 1/x^2 - 1/x,
mais on se retrouve avec le meme probleme qu'au 1)

[invite33ae6c85]

oh mais oui bien sur pour la b) je comprends maintenant je n'étais pas remonté assez haut dans mes calculs j'avais en effet oublié le 1 ... Merci beaucoup!!

Bon ben je crois que pour la a) et c) le prof avait dit qu'on pouvait exprimer les solutions mais pas de maniere explicite seulement de maniere implicite javais pas trop compris mais j'imagine que c'est pour cela!! merci beaucoup du coup de main!! J'ai un autre problème que je permets de mettre à la suite ici, si tu pouvais me filer un petit coup de main :
De l'eau entre dans une citerne conique avec un débit de k1 unités de volume par unité de temps. Elle s'évapore avec un débit proportionnel à l'aire de contact entre l'eau et l'air, c'est à dire V^(2/3), ou V est le volume d'eau dans la citerne.
1°)Ecrire l'équation différentielle vérifiée par V? Sans résoudre donner quelques solutions!
2°)Y-a t il un equilibre ? est-il stable ?

Pour la 1°) les solutions je pense tracer les isoclines etc mais seulement j'ai besoin de l'équa diff ...
Pour la 2°) je ne sais pas ce que c'est un equilibre au niveau des equa diff ?
Quelqu'un pourrait me donner également la méthode generale pour mettre un problème sous forme d'equa diffs ?


Merci d'avance pour l'aide

[invitea41c27c1]

Pour ecrire l'equation il faut se transformer en physicien:

"Variation de volume" = "Debit" - "Evaporation"

Soit

A part la solution , je ne vois pas...


En ce qui concerne l'equilibre: est un equilibre car la solution est consntante, et c'est meme la seule. Ensuite il est stable car toutes les solutions tendent vers 1, c-a-d : . En fait par definition est stable si:

Pout tout , il existe , tel que pour toute solution tel que , on ait .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33ae6c85]

d'acccor je vois j'avais un bon début de réponse alors j'ai du mal à raisonner comme un physicien lol
Mais je me demande si l'équation ne serait pas plutot
V' = k1 - kV^(2/3)
Parce que mon débit ici c'est k1 unités et que l'évaporation est proportionnelle au volume??

Et à ce moment là je suis perdu dans mes isoclines parce que je n'ai pas le droit de résoudre explicitement l'équation en fait ... Comment je peux faire ?

Merci encore de ton aide

[invite33ae6c85]

On m'a oublié ???