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Equation différentielle - ressort et parabole



  1. #1
    lanix

    Question Equation différentielle - ressort et parabole

    Bonjour,

    j'ai un travail a réalisé dans lequel je dois trouver une équation différentielle et cela fait 2ans que je n'aie pas touché aux equa difs donc je voudrais avoir un peu d'aide pour savoir par quel bout attaqué le truc ^^

    le système :
    une masse M glisse sur une tige parabolique (equation : y = x²/2) sans frottements. cette masse est relié au point P (0;1) par un ressort de raideur k et de longueur au repos L0.
    il faut trouver l'équa dif vérifiée par le mouvement de M de la forme M(t) = (x(t), y(t)).

    pour commencer j'ai écrit le PFD :
    Fr + P + R = ma
    avec Fr la force de rappel du ressort, P le poids et R la réaction du support.

    pour Fr j'arrive à quelque chose comme ça : k[ L0 - sqrt( (x^4)/4 + 1) ] ur
    avec ur le vecteur directeur de la force
    première chose, je bute sur l'expression de ur en fonction de ux et uy
    pour P, pas de problemes, on a P = mg (-uy)
    et enfin, pour R j'ai aucune idée de ce qu'il donne....

    apres je me suis si je pouvais simplifier le probleme en prenant par exemple un pendule classique en remplaçant le fil rigide par un ressort mais là je n'ai pas la parabole qui porte M....
    voila, si quelqu'un pouvait m’aiguiller sur ce système épineux ^^

    -----


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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Equation différentielle - ressort et parabole

    Déjà y a-t-il un poids ? Si le mouvement a lieu dans le plan xOy (horizontal par convention), il ne joue pas.
    Ensuite, comme c'est un problème à 1 degré de liberé (x situe entièrement le mobile) sans frottement, il vaut mieux raisonner sur l'énergie.
    Quelle est l'énergie cinétique ? l'énergie potentielle du ressort ? La somme est constante et ça fait une équation différentielle puisqu'elle contient x et dx/dt. On peut ensuite dériver mais ça devient assez atroce.

  4. #3
    pesdecoa

    Re : Equation différentielle - ressort et parabole

    Cet exercice peut être joliment résolu par la mécanique analytique.
    Souhaiterais tu que je te guide dans cette voie?
    L'idée de départ est de voir ton guidage comme une contrainte.
    Ensuite, il faut faire un changement de variables "intelligent"
    Puis calculer l'énergie cinétique, construire le lagrangien et résoudre les équations d'Euler-Lagrange.
    Que de très belles choses. ..

  5. #4
    lanix

    Re : Equation différentielle - ressort et parabole

    merci de vos réponses,

    Jeanpaul --> Oui, il y a un poids. je testerais ta méthode pour voir.

    pesdecoa --> je serais ravi d'appliquer ta méthode si tu me guide ^^

    je me mets au boulot demain aprem

  6. #5
    Jeanpaul

    Re : Equation différentielle - ressort et parabole

    Sans illusion quand même : ça donne des équations très complexes (pire s'il y a un poids). Tu peux relativement aisément trouver la position d'équilibre si elle existe et la période des petites oscillations autour de cet équilibre. Plus, ce n'est pas évident.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    lanix

    Re : Equation différentielle - ressort et parabole

    pesdecoa -> pour le guidage, je suis d'accord qu'il faut le voir comme une contrainte, par contre pour le changement variable je ne vois pas trop à quel niveau, pour le vecteur qui porte la direction du ressort, la réaction du support ou autre chose ?

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