La moitié puis la moitié puis la moitié...

[invite30ab11b1]

Bonjour,

je pense que tout le monde connait l’énigme de la balle qu'on jette et qui n'atteint pas sa cible car elle fait la moitié de la distance totale, puis "re" la moitié, puis encore, etc...

Il y a un moment, il y a un post à ce sujet qui a été fermé car il a soi-disant trouve une réponse, or je suis un peu déçu car ce n'est pas le cas.

La théorie de Leibniz qui consiste à diviser en n partie que la balle effectue en un temps t ne sert à rien puisqu'on repart sur la même chose : à chaque partie n, la balle fait la moitie puis la moitie, etc...

Donc je voulais savoir si finalement on savait répondre à cette énigme ou pas ?


Merci d'avance.
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[doul11]

Bonsoir,

Donc je voulais savoir si finalement on savait répondre à cette énigme ou pas ?

La réponse est oui, ça date de pas très long temps (environ 400 ans ) -> http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Z%C3%A9non

[invite7b54a0c6]

Bonjour,

J'ai envie de dire que...

... mais je ne sais pas si ça vous aide. Vous pouvez aller voir ici, ça me semble bien résumer les idées philosophiques, mathématiques, et physiques en jeu : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxes_de_Zénon

[invite30ab11b1]

Je ne trouve pas que ça réponde à l'énigme, puisque, comme c'est écrit : "CONVERGER vers un résultat fini", ça ne l'est donc pas .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

Je ne trouve pas que ça réponde à l'énigme, puisque, comme c'est écrit : "CONVERGER vers un résultat fini", ça ne l'est donc pas .

si très exactement.
la cible sera atteinte au bout d'un temps infini.

[invite30ab11b1]

Mais du coup, si le temps est infini, elle ne devrait jamais l'atteindre si ?

[invite7b54a0c6]

Euh ansset, pour moi dans le paradoxe de Zenon avec sa flèche, l'intervalle de temps n'est pas constant entre chaque "moitié" parcourue. Si tel est le cas, alors c'est que la vitesse de la flèche décroît dans le temps, et en effet la flèche n'atteint pas sa cible en un temps fini, si grand soit-il (mais si vous voulez on peut dire qu'elle l'atteint en un temps infini ). Pour moi le paradoxe initial vient plutôt du questionnement suivant : comment se fait-il qu'une flèche atteint sa cible en un temps fini, alors qu'il faut d'abord qu'elle parcoure la moitié de la distance, puis la moitié restante, puis la moitié restante (...) ? On lève alors le paradoxe en franchissant le pas philosophique suivant : il faut accepter de dire qu'il existe une infinité d'instants entre deux instants donnés - ce qui paraît évident aujourd'hui, mais à l'époque sans doute cela ne l'était-il pas...

[obi76]

il faut acceper de dire qu'il existe une infinité d'instants entre deux instants donnés - ce qui paraît évident aujourd'hui, mais à l'époque sans doute cela ne l'était-il pas...

Je ne suis pas tout à fait d'accord, ça reste une expérience de pensée. On aurait aussi pu dire la même chose d'une brique qu'on casse en deux, puis en deux puis etc. Et considérer donc que la matière est infiniment divisible. On ne peut pas utiliser ça comme argument pour corroborer le fait qu'il "existe une infinité d'instants entre deux instants donnés".

[invite51d17075]

Mais du coup, si le temps est infini, elle ne devrait jamais l'atteindre si ?

mathématiquement , c'est ce qu'on appelle une "convergence".
physiquement, il arrivera un moment ou la distance restante sera inférieure à la longueur de planck donc non mesurable.

le paradoxe de xenon , je ne connais pas ( et absent de l'énoncé )

[invite51d17075]

Mais du coup, si le temps est infini, elle ne devrait jamais l'atteindre si ?

mathématiquement , c'est ce qu'on appelle une "convergence".
physiquement, il arrivera un moment ou la distance restante sera quantiquement non mesurable.
( mais je ne pense pas qu'on te demande d'évoquer celà )

le paradoxe de xenon , je ne connais pas ( et absent de l'énoncé )

[doul11]

Déjà il faut arrêter de raisonner a l'envers : la flèche atteint bien la cible c'est un fait, si la théorie ne colle pas, c'est la théorie qu'il faut remettre en question.

Ensuite le temps est bien fini, il y a une infinité de pas infiniment petit, le résultat est bien fini, sinon ça n'aurais aucun sens !

[invite7b54a0c6]

@obi76 : Bon, c'est d'accord (car "cette question nous emmènerait trop loin" comme a dit Poincaré à propos de sa conjecture ). Je reviens sur ce que j'ai dit : une manière de lever le paradoxe consiste à dire que...

[Amanuensis]

il faut accepter de dire qu'il existe une infinité d'instants entre deux instants donnés - ce qui paraît évident aujourd'hui, mais à l'époque sans doute cela ne l'était-il pas...

C'est bien le problème ! Et il n'est pas plus simple d'accepter aujourd'hui "qu'il existe une infinité d'instants entre deux instants donnés", car cela n'a rien d'évident.

Le "paradoxe" pour être levé demande d'abord de distinguer ce qui vient d'une modélisation et ce qui "existe".

Ce qui est certain est que rien que la manière de poser le paradoxe implique une modélisation particulière du temps, et dans cette modélisation (c'est à dire par hypothèse) il y un cardinal infini d'instants modélisés entre deux instants modélisés. Et si on reste dans le modèle, alors on a la puissance des maths (de l'analyse par exemple) à notre disposition, et le "paradoxe" disparaît, la notion de convergence d'une somme infinie en une valeur finie étant bien définie et démontrée dans le cadre mathématique.

Dans le cadre du modèle, pas de paradoxe.

Hors cadre du modèle, on ne peut même pas poser le paradoxe comme il l'est.

Et enfin, la relation entre le modèle et "ce qui existe" n'est pas près d'être résolue, et c'est pour cela que la question du nombre d'instants qui "existent" entre deux instants reste ouverte.

[obi76]

@obi76 : Bon, c'est d'accord (car "cette question nous emmènerait trop loin" comme a dit Poincaré à propos de sa conjecture ). Je reviens sur ce que j'ai dit : une manière de lever le paradoxe consiste à dire que...

Tout à fait d'accord, mais mon contre-exemple en utilisant la matière montre que quelque soit la manière utilisée pour résoudre le problème, on ne peut absolument rien en déduire au point de vue physique.

Bref, fin du HS

[invite7b54a0c6]

Bref, fin du HS

Nan mais vous avez raison d'insister (obi76 comme Amanuensis), car j'ai parlé un peu vite. Sans doute la réponse souhaitée par mlkgiosn était d'ordre plutôt épistémologique, et dans ce cas il faut toujours éviter les raccourcis du genre 1) la science décrit le réel tel qu'il est et 2) une observation allant dans le sens d'une théorie prouve sa validité. Et il est vrai que ce que j'ai dit pouvait suggérer un peu les 2

[invite30ab11b1]

Au final, j'ai bien impression qu'on ne ait toujours pas répondre, je veux dire mathématiquement, évidemment, physiquement on ait que la cible et atteinte, mai on ne parvient pas à le prouver mathématiquement.

[obi76]

Au final, j'ai bien impression qu'on ne ait toujours pas répondre, je veux dire mathématiquement, évidemment, physiquement on ait que la cible et atteinte, mai on ne parvient pas à le prouver mathématiquement.

Evidement que si, et depuis longtemps. Relisez les réponses... (celle de doul11 au post #2).

[invite6754323456711]

mai on ne parvient pas à le prouver mathématiquement.

Relis attentivement cette réponse qui montre justement que l'on ne sait que le démontrer mathématiquement, langage qui nous sert dans la construction de nos théories, modèles qui ne disent rien sur ce qui pourrait "exister en soi".

Patrick

[invite30ab11b1]

Cette réponse ne prouve pas grand chose je trouve, ou alors je ne la comprend pas, mais il me semble bien que la phrase ci-dessous prouve justement qu'on a encore rien prouvé :

Et enfin, la relation entre le modèle et "ce qui existe" n'est pas près d'être résolue, et c'est pour cela que la question du nombre d'instants qui "existent" entre deux instants reste ouverte.

[obi76]

Avez-vous relu la conversation ?

Et enfin, la relation entre le modèle et "ce qui existe" n'est pas près d'être résolue

Ce n'est pas un problème inhérent au paradoxe de Zénon, mais à toute expérience de pensée et modèles.

et c'est pour cela que la question du nombre d'instants qui "existent" entre deux instants reste ouverte.

Ce n'est pas parce que ce paradoxe ne peut pas prouver l'existence (ou non) d'un continuum temporel que celui-ci ne peut être montré avec d'autres méthodes, certes plus compliquées.

Comme nous l'avons dit, et redis, ceci reste une expérience de pensée, donc j'ai apporté un contre-exemple élémentaire, et dont l'extrapolation à "la vie réelle" ne permet donc en rien de déduire quoique ce soit. Ce n'est pas un problème, c'est la limite des hypothèses utilisées pour ce paradoxe qui imposent cela.
Ce paradoxe existe parce que l'on part d'un modèle mathématique simpliste en supposant que vos manipulations mathématiques ont une signification "dans la vraie vie".