le carré de la moitié + 1

[inviteec581d0f]

Salut à tous,

Si l'on ajoute au nombre , on obtient un nombre au carré ( ) et si on ajoute à la moitié de , on obtient aussi un nombre au carré ( ).

Pouvez vous trouver autres nombres, les plus petits possibles, ayant cette même particuliarité ??


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[ashrak]

Je ne vois pas trop l'intérêt de ce petit exercice ( à moins de revoir un peu la programmation). Je trouve:

1680 (car 1681=41² et 841=29²)
57120
et comme je n'ai pas envie de m'embêter je propose 0 !

[invite35452583]

Je ne vois pas trop l'intérêt de ce petit exercice ( à moins de revoir un peu la programmation). Je trouve:

1680 (car 1681=41² et 841=29²)
57120
et comme je n'ai pas envie de m'embêter je propose 0 !

L'intérêt est que la résolution peut se faire avec une feuille A5, un crayon et une simple calculette (à moins d'être très fort en calcul mental). En effet, on peut déterminer un algorithme chaque branche se divisant en deux à chaque étape donnant toutes les solutions, c'est un peu plus intéressant.

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le suivant est 1.940.488, il y a aussi (mais avec certainement d'autres entre ces valeurs, je n'ai pas été assez loin) : 65.918.162 ; 2.263.433.762 ; 76.069.501.250

Méthode :

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x+1=p² x/2+1=q² donc 2q²-1=p²
(1+i)(1-i)q²=(p+i)(p-i) on montre que, quitte à changer le signe de p, on a p+i=(1+i)(a+ib) et q²=a²+b² avec abs(a-b)=1
Le couple (a,b) est de la forme u²-v² et 2uv et q=u²+v²(>abs(v) sauf si u=0 et v=-1 ou 1) on peut supposer v impair car au moins un par mi u et v l'est
Par résolution de abs(a-b)=1 on obtient

v a été choisi impair 2v²+1 ne peut être un carré (congruence modulo 4)
Donc u=v+/-(2v²-1)^(1/2) en particulier 2v²-1 est un carré parfait avec v<q
On peut donc à partir d'une solution trouver une solution paramétrée (par q ou v) de valeur absolue strictement inférieur (sauf si v=+/-1), toutes les solutions s'obtiennent donc en remontant le fil de ce qui précède à partir de la solution paramétrée par v=1, u=0 (donne 0 et une boucle stagnante), u=2 q=1²+2²=5 p=rac(2x5²-1)=7
Les paramètres des solutions trouvées sont : 5, 29, 169, 985, 5.741, 33.641, 195.025

[inviteec581d0f]

Vraiment Bravo Moi j'en ai trouvé que 2

Mais je n'ai pas trop compris la méthode homotopie

et Ashrak, quel est le rapport avec la programmation ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[ashrak]

Effectivement c'est beaucoup plus efficace ! Je ne connaissais pas cette méthode de passage en complexe pour ce genre de problèmes.
J'avais utilisé un algorithme plutôt rudimentaire mais avec cette méthode on a une progression linéaire des solutions (enfin je crois )...

[invite35452583]

J'avais utilisé un algorithme plutôt rudimentaire mais avec cette méthode on a une progression linéaire des solutions (enfin je crois )...

Plutôt en arbre, de chaque paramètre (noté q ou v), est issue deux autres solutions plus grandes (v+/-rac(truc))

Effectivement c'est beaucoup plus efficace ! Je ne connaissais pas cette méthode de passage en complexe pour ce genre de problèmes.

Dès qu'on a affaire à des combinaisons de carrés il est souvent intéressant de se placer dans Z[i].
Ici, néanmoins c'est un raccourci car on peut s'en passer :
2q²=p²+1
on pose a=(p+1)/2 b=(p-1)/2
on vérifie aisément que q²=a²+b²
C'est "presque classique"
Inversement si on a q²=a²+b² avec abs(a-b)=1
on a (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2q²
d'où en posant p=a+b 2q²=p²+1²=p²+1.
Ensuite c'est la "classique" méthode descendante (qui, ici, fonctionne ; ce n'est pas toujours le cas).

Pour kimuto, je peux expliciter un autre passage :
q²=a²+b² (a-b=+/-1 donc a et b sont premiers entre eux)
modulo 4 (reste de la division modulo 4) on a a et b impairs=>a²+b² congru à 1+1=2 mais aucun carré n'est congru à 2 modulo 4 d'où une contradiction.
a et b ne sont pas tous les deux pairs car ils sont premiers entre eux.
Il y a donc un impair (que l'on peut supposer a) et un pair (donc b). q est donc impair.
q²-a²=b²=(q+a)(q-a)
pgcd(q+a,q-a)=pgcd(q+a, q-a-(q+a))=pgcd(q+a , -2a)=pgcd(q+a,2a) or 2 et a sont premiers en,tre eux donc =pgcd(q+a,a)xpgcd(q+a,2)=pgc(q +a-a,a)pgcd(q+a,2)=pgcd(q,a)pgcd( q+a,2) Or q et a étant impairs q+a est pair doncpgcd(q+a,2)=2 pgcd(q,a)=1.
q+a=2u' q-a=2v' avec u' et v' premiers entre eux b²/4=(b/2)²=u'v' on en déduit que u' et v' sont des carrés u'=u² v'=v².
finalement q=u²+v² a=u²-v² b=2uv.

[Gabriel]

Cet exercice est-il lié au fait que seules les feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, etc , gardent les mêmes proportions entre longueur et largeur de la feuille losqu'on les plie en deux ?

[invitec053041c]

Cet exercice est-il lié au fait que seules les feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, etc , gardent les mêmes proportions entre longueur et largeur de la feuille losqu'on les plie en deux ?

Cela est surtout dû au fait que le rapport de proportionnalité est qui a pour propriété
Sur un dessin on voit bien que cette propriété est nécassaire .