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le carré de la moitié + 1



  1. #1
    Gaara

    Talking le carré de la moitié + 1


    ------

    Salut à tous,

    Si l'on ajoute au nombre , on obtient un nombre au carré ( ) et si on ajoute à la moitié de , on obtient aussi un nombre au carré ( ).

    Pouvez vous trouver autres nombres, les plus petits possibles, ayant cette même particuliarité ??


    -----
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  2. #2
    ashrak

    Re : le carré de la moitié + 1

    Je ne vois pas trop l'intérêt de ce petit exercice ( à moins de revoir un peu la programmation). Je trouve:

    1680 (car 1681=412 et 841=292)
    57120
    et comme je n'ai pas envie de m'embêter je propose 0 !

  3. #3
    homotopie

    Re : le carré de la moitié + 1

    Citation Envoyé par ashrak Voir le message
    Je ne vois pas trop l'intérêt de ce petit exercice ( à moins de revoir un peu la programmation). Je trouve:

    1680 (car 1681=412 et 841=292)
    57120
    et comme je n'ai pas envie de m'embêter je propose 0 !
    L'intérêt est que la résolution peut se faire avec une feuille A5, un crayon et une simple calculette (à moins d'être très fort en calcul mental). En effet, on peut déterminer un algorithme chaque branche se divisant en deux à chaque étape donnant toutes les solutions, c'est un peu plus intéressant.

     Cliquez pour afficher

    Méthode :
     Cliquez pour afficher

  4. #4
    Gaara

    Re : le carré de la moitié + 1

    Vraiment Bravo Moi j'en ai trouvé que 2

    Mais je n'ai pas trop compris la méthode homotopie

    et Ashrak, quel est le rapport avec la programmation ???
    Et enfin on plaît aux filles... D'abord on houuhouuhouu <3

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ashrak

    Re : le carré de la moitié + 1

    Effectivement c'est beaucoup plus efficace ! Je ne connaissais pas cette méthode de passage en complexe pour ce genre de problèmes.
    J'avais utilisé un algorithme plutôt rudimentaire mais avec cette méthode on a une progression linéaire des solutions (enfin je crois )...

  7. #6
    homotopie

    Re : le carré de la moitié + 1

    Citation Envoyé par ashrak Voir le message
    J'avais utilisé un algorithme plutôt rudimentaire mais avec cette méthode on a une progression linéaire des solutions (enfin je crois )...
    Plutôt en arbre, de chaque paramètre (noté q ou v), est issue deux autres solutions plus grandes (v+/-rac(truc))

    Citation Envoyé par ashrak Voir le message
    Effectivement c'est beaucoup plus efficace ! Je ne connaissais pas cette méthode de passage en complexe pour ce genre de problèmes.
    Dès qu'on a affaire à des combinaisons de carrés il est souvent intéressant de se placer dans Z[i].
    Ici, néanmoins c'est un raccourci car on peut s'en passer :
    2q²=p²+1
    on pose a=(p+1)/2 b=(p-1)/2
    on vérifie aisément que q²=a²+b²
    C'est "presque classique"
    Inversement si on a q²=a²+b² avec abs(a-b)=1
    on a (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2q²
    d'où en posant p=a+b 2q²=p²+1²=p²+1.
    Ensuite c'est la "classique" méthode descendante (qui, ici, fonctionne ; ce n'est pas toujours le cas).

    Pour kimuto, je peux expliciter un autre passage :
    q²=a²+b² (a-b=+/-1 donc a et b sont premiers entre eux)
    modulo 4 (reste de la division modulo 4) on a a et b impairs=>a²+b² congru à 1+1=2 mais aucun carré n'est congru à 2 modulo 4 d'où une contradiction.
    a et b ne sont pas tous les deux pairs car ils sont premiers entre eux.
    Il y a donc un impair (que l'on peut supposer a) et un pair (donc b). q est donc impair.
    q²-a²=b²=(q+a)(q-a)
    pgcd(q+a,q-a)=pgcd(q+a, q-a-(q+a))=pgcd(q+a , -2a)=pgcd(q+a,2a) or 2 et a sont premiers en,tre eux donc =pgcd(q+a,a)xpgcd(q+a,2)=pgc(q +a-a,a)pgcd(q+a,2)=pgcd(q,a)pgcd( q+a,2) Or q et a étant impairs q+a est pair doncpgcd(q+a,2)=2 pgcd(q,a)=1.
    q+a=2u' q-a=2v' avec u' et v' premiers entre eux b²/4=(b/2)²=u'v' on en déduit que u' et v' sont des carrés u'=u² v'=v².
    finalement q=u²+v² a=u²-v² b=2uv.

  8. #7
    Gabriel

    Re : le carré de la moitié + 1

    Cet exercice est-il lié au fait que seules les feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, etc , gardent les mêmes proportions entre longueur et largeur de la feuille losqu'on les plie en deux ?

  9. #8
    Ledescat

    Re : le carré de la moitié + 1

    Citation Envoyé par Gabriel Voir le message
    Cet exercice est-il lié au fait que seules les feuilles de format A0, A1, A2, A3, A4, etc , gardent les mêmes proportions entre longueur et largeur de la feuille losqu'on les plie en deux ?
    Cela est surtout dû au fait que le rapport de proportionnalité est qui a pour propriété
    Sur un dessin on voit bien que cette propriété est nécassaire .
    Cogito ergo sum.

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