equation ressort avec amortissement

[invited7e649f5]

bonjour,
voila j'ai un problème, je n'arrive pas résoudre cette équation:
x''(t)+ 50/m*x'(t)+k/m*x(t)=g, je sais pas si j'ai le droit d'utiliser la méthode suivante:
trouver la solution générale sans second membre (g=o), puis trouver la solution particulière de 50/m*x'(t)+k/m*x(t)=g.
avec les conditions initiales suivantes: x(0)=3 et x'(t)=0.
Merci d'avance.
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[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Votre démarche est (presque) correcte:

1) Trouver une solution générale du système homogène (g = 0).
2) Trouver une solution particulière x_p(t) du système inhomogène: x''(t)+ 50/m*x'(t)+k/m*x(t)=g. Vous pouvez en chercher une qui soit telle que x''_p(t) = 0, mais cela dépend de l'expression de g. Si g est une constante, il suffit de prendre x_p(t) = g*m/k. Si non, c'est un peu plus compliqué (parfois très compliqué)...
3) Appliquer les conditions initiales.


P.S. Je suppose comme condition initiale que vous vouliez dire x'(0) = 0 ?

[invited7e649f5]

bonsoir, merci d'avoir répondu et oui x'(o) =o.
Merci encore

[invited7e649f5]

bonjour, je up le sujet car je n'arrive pas à trouver les constantes, j'ai une solution générale de type: Ae(r+t)+Be(r-t) avec r+/-= 50/m+/- √50/m-k/m) et une solution particulière pour x''(t)=o de type Ce((-k/50)t)-mg/k.
toujours avec x'(o)=o et x(o)=3. Voila help me please ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited7e649f5]

avec √ comme symbole de la racine carrée.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Pourriez-vous me donner votre équation de départ (avec les conditions initiales). Pourriez-vous employer le module latex de ce forum pour écrire les équations ?
En effet, pour moi l'expression "r+/-= 50/m+/- √50/m-k/m)" est absolument incompréhensible...

Au passage, vous appliquez bien les conditions initiales sur la solution générale (solution homogène + solution particulière) ?

[invited7e649f5]

alors oui j'applique les conditions initiales sur toute la solution par contre qu'est ce que le module latex? svp.

[invitecaafce96]

Bonjour,
Au début, j'ai aussi eu un peu de mal à le trouver (LaTex) :
Forum / Accueil du forum / acceuil / Forum de tests / LaTex ( 1ère ligne)

[invited7e649f5]

bonjour,
merci pour l'info sur le LaTex, alors à la base j'ai P+F+f=ma avec p=mg le poids, F=-k\times x la force de rappel du ressort et f=-50\times \frac{dx}{dt} la force d'amortissement, on tire la masse de 3 cm vers le bas et on lâche sans vitesse initiale donc \frac{dx}{dt} =v(0)=0m/s et x(0)=3.

j'ai donc avec mon axe (Ox): mg-kx- 50\times \frac{dx}{dt}= m. \frac{d²x}{d²t}, voila mon équation de départ.

[invited7e649f5]

le message du desus est un raté dsl^^,
merci pour l'info sur le LaTex, alors à la base j'ai P+F+f=ma avec p=mg le poids, F=-kx la force de rappel du ressort et f=-50. la force d'amortissement, on tire la masse de 3 cm vers le bas et on lâche sans vitesse initiale donc =v(0)=0m/s et x(0)=3.

j'ai donc avec mon axe (Ox): mg-kx- 50= m. , voila mon équation de départ.

[albanxiii]

Bonjour,

j'ai donc avec mon axe (Ox): mg-kx- 50= m. , voila mon équation de départ.

Je ne fais que passer... vous pouvez mettre l'équation entière entre [ TEX ] et [ /TEX ] (sans les espaces !).

Cela donne [ TEX ] mg - kx - 50 \frac{dx}{dt} = m\frac{d^2x}{dt^2} [ /TEX ] qui donne .

Vous pouvez même utiliser [ TEX ] mg - kx - 50 \dot{x} = m\ddot{x} [ /TEX ] si vous voulez être plus compact : .

@+

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Récapitulons. Vous devez résoudre le problème aux conditions initiales suivant:



Avec m et g des constantes.

1) Il s'agit dans ce cas d'une équation différentielle ordinaire inhomogène du second ordre, dont le terme inhomogène est une constante. Pour la résoudre, résolvez d'abord la partie homogène (en posant mg = 0) en passant par le polynôme caractéristique qui est du second degré. Vous trouverez une solution homogène générale du type:



Avec et les racines du polynôme caractéristique (quand celles-ci existent - et que je vous laisse trouver), et A, B, des constantes (à déterminer).

2) Ensuite, calculez une solution particulière du système homogène. Ici, c'est facile, une telle solution est:



3) Un théorème (dont j'ai oublié le nom) affirme alors que le type d'équation différentielle que l'on considère ici, la solution générale est donnée par la somme de la solution générale du système homogène et d'une solution particulière du système inhomogène:

.

4) Il ne reste plus qu'à trouver les constantes A et B en appliquant les conditions initiales à (ce qui peut être un peu long à calculer, mais il n'y a rien de compliqué).

Bon travail !

[invited7e649f5]

ok merci pour l'explication.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Petite correction: j'ai oublié deux 'i' dans la solution homogène. La solution correcte est:

[stefjm]

Non.
La solution générale du post 12 est correcte.
Avec z complexe pour le cas général.

Il n'y a pas de raison (sauf cas particulier) pour que la solution de l'équation caractéristique soit en imaginaires purs.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Oui, correct. Il faut oublier mon message #14...