Quelle EDP choisie.?!!

[watrish]

Salut,
Je suis étudiant en M1 de math, je dois faire une étude sur la répartition et concentration des polluants rejetés en mer par un usine.
En fait le problème consiste à trouver l'EDP qui décrit le phénomène(domaine des physiciens)puis de faire la formulation variationnelle(le mien?!!,enfin je crois)
Seulement,avec mon curcus scolaire,j'ai pas fait de physique depuis la terminale donc je me retrouve coincé,,,avec qlqs recherches j'ai pu ciblé les équations de Navier-Stoke pour l'ecoulement des fluides,l'equations de transport,l'equation d'avection-diffusion,...mais c'est des notions que je maitrise pas trop,,,déjà laquelle est selon la mieux adapté?,,,en existe une autre qui décrit mieux le phénomène?!!,,,
Merci pour toute info
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[obi76]

Bonjour,

déjà pour simplifier le problème, je présume que vous ne prenez pas en compte l'écoulement atmosphérique au dessus de la surface. On va donc rester en pur monophasique.

Ce que vous pouvez faire, c'est en deux étapes :
- une première en résolvant (grossièrement) l'écoulement liquide
- pendant cette résolution, insérer un traceur (simulant le polluant) et voir comment celui-ci se propage

Mais avant de commencer tout ça, il faut faire un choix. Si vous résolvez un écoulement liquide tel que l'océan, les mailles que vous utiliserez seront nécessairement plus grandes que les plus petites échelles turbulentes présentes. Donc:
- souhaitez vous ne pas en tenir compte, et donc limiter la turbulence aux grandes échelles (les plus petites disparaissant par viscosité numérique) ?
- si non, voulez-vous être plus précis et insérer un modèle LES pour les phénomènes de sous maille (long et fastidieux) ?

Une fois la vitesse du liquide résolue, la question est un peu plus complexe et nécessite réflexion.
Le traceur que vous allez mettre est soumis à la convection et à la diffusion (induite par le gradient de concentration ET la diffusion turbulente).

Vons aurez donc (en étant un peu rigoureux) un terme convectif et deux termes diffusifs. Le terme convectif, vous l'aurez, pour les termes diffusifs, l'un (celui dépendant du gradient) c'est assez facile, mais celui de diffusion turbulente dépend du taux de turbulence local, donc du modèle de sous-maille si vous en avez mis un. Dans le cas contraire, avec un peu moins de rigueur, on peut le mettre constant.

Je ne sais pas si j'ai été très clair mais on peut en écrire long sur ce problème. S'il y a des points que vous n'avez pas compris ou sur lesquels vous souhaitez avoir plus de détails n'hésitez pas.

PS : pour les équations de NS, vous pouvez le prendre incompressible, non dilatable et mono-espèce, ce qui vous restreint ces équations à une par dimension pour la vitesse (2D ou 3D d'ailleurs votre simu ?). La masse volumique, la température, le coefficient de diffusion, la viscosité restant constants.

ça me parait pas évident au premier abord... surtout pour les conditions limites, mais ça c'est après

[watrish]

C'est tres gentil d'avoir répondu!!
Et je trouve que c'est bien rigoureux comme raisonnement,seulement c'est aussi un peu trop ''physicien'',,,
En fait tout ce qu'il me faut c'est de trouver l'EDP qui décrit le phénomène (en ce moment je travaille avec l'équation de transport par advection en D1 et D2,,reste plus qu'à généraliser,,,,)et de faire la discrétisation par la méthode des différences finies.
En d'autres termes,je dois juste prendre un résultat en physique déjà établi et faire sa modélisation mathématique.
Merci encore une fois et bien sûr aucune autre idée ne sera refusée.Merci d'avance

[obi76]

Re,

visiblement (sans vouloir vous heurter), vous n'avez pas l'air de savoir ce que c'est exactement que la physique...

Un résultat "physique", je ne sais pas ce que c'est. Un résultat qui s'approche de ce qui existe, oui.

Un fluide a une viscosité, c'est ça qui cause la turbulence (pour simplifier), donc il vous faut une EDP du second ordre pour la vitesse. Pas le choix.
Pour la diffusion du traceur, en supposant qu'elle soit négligeable (admettons), à la limite enlevez là et ne faites que la convection de votre traceur. Vous devrez de toutes façons résoudre au moins 2 EDP pour la vitesse et une pour le traceur.

Au passage, je ne sais pas ce que sont D1 et D2...

Si vous voulez un résultat à peu près physique, vous n'aurez pas d'autre choix que de faire ce que je vous ai dit. Si vous voulez faire autrement, dans ce cas ça sera de la tambouille, pas de la physique...

De ce que vous m'avez dit, oubliez les modèles de sous-maille et la diffusion turbulente, je suis peut être allé trop loin...

En bref, vous pouvez résoudre ces équations :

pour la vitesse sur la direction :


Pour le traceur :



Sauf erreur de frappe, avec les plus grosses approximations faites ci-dessus, ça revient à ce que vous devrez résoudre (avec constant, et pour la pression, en très très grosse approximation, constante...).
est la fraction massique du traceur, comprise entre 0 et 1. Vous pouvez mettre un disque où elle est à 1, simulant l'introduction de la pollution dans l'océan, et 0 où l'eau n'est pas (encore) contaminée.

Cela dit, pour résoudre ces équations, il faut quand même des conditions limites. Quelles sont-elles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[watrish]

bonjour,
Pour l'EDP,je ne sais pas trop si elle décrit réellement le phénomène,mais je vais vérifier après avec mon prof encadreur,,,
Par contre,''sans vouloir vous heurter'',je me rappelle que jusqu'en classe de terminale à chaque fois que l'on donnait une formule ,on expliquait tjrs les variables(EX: variables indépendantes t=temps, xi et xj celles de l'espaces,,,,)qu'en dire avec les variables dépendantes??,et puis je pense qu'il y'en a un peu trop(??!!),,,normalement,c'est avec la concentration que tout doit se jouer
Merci encore une fois!

[obi76]

bonjour,
Pour l'EDP,je ne sais pas trop si elle décrit réellement le phénomène,mais je vais vérifier après avec mon prof encadreur,,,
Par contre,''sans vouloir vous heurter'',je me rappelle que jusqu'en classe de terminale à chaque fois que l'on donnait une formule ,on expliquait tjrs les variables(EX: variables indépendantes t=temps, xi et xj celles de l'espaces,,,,)qu'en dire avec les variables dépendantes??

Pour les variables c'est vrai, j'ai peut être été un peu rapide (cela dit, vous ne m'avez toujours pas dit ce que sont D1 et D2 ) :

masse volumique du liquide, ici considérée constante en
coordonnée selon la direction i en m
vitesse selon la direction i en
temps en s
pression en Pa
le tenseur des contraintes, avec l'hypothèse de Stokes et de Newton égal à , en Pa
le symbole de Kronecker
la viscosité en
est la fraction massique (entre 0 et 1) sans dimension

A partir de là, si vous ne compreniez pas les variables que je vous avait mise, il faudra vous renseigner, je ne peux pas vous faire un cours de méca flu sans devoir en écrire un pavé. Les équations que je vous ai donné sont super-simplifiées, au prix d'approximations franchement non négligeables. Si vous voulez quelque chose de plus précis, il ne faut pas rêver, ce sera aussi plus compliqué.

L'évolution de la concentration dépend de l'évolution de la vitesse, puisque c'est elle qui va transporter le polluant. Ou alors vous faites une hypothèse encore plus scabreuse en considérant que l'écoulement océanique est stationnaire, et vous utilisez un champ de vitesse constant. Auquel cas il ne vous restera que l'EDP sur à résoudre.

et puis je pense qu'il y'en a un peu trop(??!!)

si la méca flu était simple... il ne faut pas rêver. J'ai déjà réussi à enlever les équations sur la température, la masse volumique et la pression, ce qui vous fait 3 équations en moins à résoudre (une de Poisson et deux sensiblement identiques à celles que je vous ai données).

,,,normalement,c'est avec la concentration que tout doit se jouer

oui, mais l'évolution de la concentration dépend des phénomènes qui transportent le polluant, donc la convection (dépendant de la vitesse du fluide) et de la diffusion (dépendante du gradient de concentration).

Et les conditions limites donc ?

[Snowey]

Bonjour a vous.
Je ne fais que passer, et voyant votre exercice je ne peux que vous conseiller de taper "ADS dispersion d'un polluant" et de regarder le premier lien: il vous est vendu une equation qui doit ressembler a ce que vous cherchez (le reste est par ailleurs dédié a une étude par différences finies ... faites en ce que vous voulez).
Bien sur je pense que l'aspect physique de la modélisation est aussi intéressant

[obi76]

Oui, c'est l'une des équations que j'ai donné mais en prenant en compte la diffusion... C'est donc déjà plus compliqué mais plus proche de la réalité que ce que j'ai donné...

[watrish]

Bonjour,
D'abord désolé du silence,en fait je suis en mode "feedback" pour revoir un peu la mécanique des fluides niveau L2.
C'est pas aussi compliquée comme je le pensais ,j'arrive maintenant à comprendre pas mal de choses mais j'arrive toujours pas à comprendre pas-à-pas la façon dont vous avez constitué l'EDP(you could be magician,couldn t you ?lol) : Impensable pour y débuter mes etudes!!
Sinon,,,les D1,D2,.. c’était pour faire référence à la dimension(autrement dit,le nombre de variables indépendantes dans l'EDP,,,,)dans la methode des differences finis ça joue pas bcp,on sent juste un peu de complication avec le DL de taylor,,,sinon c'est plus avc la methode des elements finis ,,que ça craint ,,
Encore Merci de votre aide,à bientôt! et tachez de me donner une explication claire et net de cette EDP(Lool)

[obi76]

Re,

ces EDP sont issues des équations de Navier-Stokes (si vous voulez vraiment savoir d'où ça vient, c'est de la physique stat où il "suffit" de moyenner les équations de Boltzmann et considérer qu'on est à l'équilibre local).

Après j'ai "juste" enlevé des termes qui sont :
- compliqués à calculer
- dans votre cas, à priori négligeables.

Ce que vous voulez comprendre c'est "comment" je les ai trouvé ou leur signification physique (là c'est autre chose) ?

Pas besoin d'une baguette magique

[watrish]

Je voudrais les deux ,si possible, quitte à me lenvoyer dans ma boite mail,,,(si celà doit faire 1000 et une pages,i m ready!!)
sinon je comprends pas bien ausssi le terme de droit \frac{\partial\rho u_i u_j}{\partial x_j}
Encore Merci

[obi76]

Je voudrais les deux ,si possible, quitte à me lenvoyer dans ma boite mail,,,(si celà doit faire 1000 et une pages,i m ready!!)

Vous êtes gourmand vous...
Je n'ai pas trouvé la démo des équation de NS à partir de Boltzmann (je le garde dans un coin de la tête, au cas où je retomberai dessus un jour...).