Edp

[invite023d1803]

Est il possible de résoudre les équations aux dérivées partielles en appliquant le calcul des résidus?
-----

[invitec1ddcf27]

Bonjour,

je ne connais pas de méthode usuelle utilisant le calcul des résidus... Par ailleurs, il existe très peu d'edp que l'on résoud (i.e. : trouver une formule explicite pour la solution. A ma connaissance, on a des formules seulement pour les équations de Laplace, de la chaleur, des ondes, cela dans des domaines précis, pas dans un ouvert bizarre ! Ou les équations de transport linéaire, du type



Cela se fait par des convolutions, du fourier, des changements de variables, la méthode des caractéristique... Enfin, c'est un peu du au "cas par cas".

Sinon on a des méthodes générales pour montrer l'existence de solutions. Des méthodes "variationnelles" , notament pour les edp elliptiques. Par exemple, pour résoudre l'équation (avec un Laplacien et un p-laplacien, p>1) :



avec conditions de Dirichlet, on peut considérer le problème



et une solution de ce problème de minimisation sera une solution de l'edp. Et pour montrer que ce problème admet une solution, on peut montrer que la fonctionnelle est convexe, coercive... cela sous certaines hypothèse. On peut aussi le montrer a la main en utilisant la réfléxivité de l'espace W^{1,p} et les injections compactes du thm de Rellich-Kondrachov.

Récemment, d'autres méthode se sont développés utilisant des concepts beaucoup plus profonds. Et même des problèmes sur des espaces non réfléxifs, du type W^{1,1} ou BV.