EDP en physique

[invitef616531d]

Bonjour à tous,
j'ai un problème pour résoudre l'équation aux dérivées partielles suivante :

div(F) = f(r) * g(z)

Le problème est à symétrie cylindrique. Les foncions f et g sont des gaussiennes, l'une en r et l'autre en z.
f est un champ de vecteurs force qui doit vérifier les conditions suivantes :
- F(r=0, z=0) = 0
- F(r, z = + et - infini) = 0
- F(z, r = + et - infini) = 0

Par symétrie du problème, je pense qu'on peut décomposer F en :
F(r,teta,z) = Fr(r,z).ur + Fz(r,z).uz

Et on doit avoir alors par symétrie :
Fr(o,z)= 0 (pas de force radiale sur l'axe)
Fz(r,0)= 0
Fz(r,z)=-Fz(r,-z)

Après avoir exprimer la divergence en coordonnées clindriques, on peut écrire :

(1/r) d/dr [r.Fr(r,z)] + d/dz [Fz(r,z)] = f(r) * g(z)

Je ne sais pas comment résoudre un tel système. Avec les conditions aux limites dont jai parlé, le problème est-il bien posé et possède-t-il une solution unique ?

Faut-il tenter une approche par la méthode de la fonction de green (qui risque d'être complexe dans ce cas) ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[KerLannais]

Salut,

D'abord il me semble que:

est une conséquence de

C'est donc un peu redondant de la citer comme condition supplémentaire, puisqu'il suffit de vérifier la seconde condition.
Ensuite, il me semble (mais peut-être me trompe-je) que par symétrie on a aussi:

et puis je suppose que tu prend sinon il faut imposer


en tout cas pour la suite je suppose .

Si tu considères une fonction régulière (par exemple continûment différentiable) qui vérifie:






Si on pose

alors

est une solution. Par exemple je pense que:

convient, mais pour l'unicité je ne sais pas trop mais je pense (intuitivement) qu'il existe des champs à divergence nulle qui vérifient toutes les conditions au bord et de symétrie. Donc je dirai que l'ensemble des solutions peuvent être obtenues comme la somme de la solution que j'ai donné avec un champ de divergence nulle qui vérifie les conditions de bord et de symétrie.

[invitef616531d]

Merci beaucoup pour ta réponse KerLannais.
Tu as raison, j'ai supposé r >= 0. Merci pour la redondance, c'est vrai qu'elle est inutile.

Ta solution est correcte, mais il me semble que par le choix de G(r,z) que tu proposes, H(r,z) une fois calculée s'identifie à la fonction nulle.
(calcul effectué pour des gaussiennes)

J'avais oublié de réciser que F(r,z) et G(r,z) ne doivent pas être des fonctions partout nulles...

Je vais chercher si je ne trouve pas autre chose.
Merci encore. a+

[invitef616531d]

Re bonjour à tous,

Voilà, j'ai trouvé des fonctions G(r,z) et H(r,z), "plutôt simples" qui vont bien. Elles vérifient l'EDP et toutes les conditions désirées.

Mais je me suis posé alors la question de savoir si je pouvais trouver un potentiel "simple" dont la force dérivrait. Et je n'en trouve pas... Peut-on toujours trouver un potentiel dont dérive une force donnée ?

Je m'explique : les solutions que j'ai trouvées pour G et H ne doivent certainement pas être uniques (déjà par le fait que j'ai supposé qu'elles étaient séparables en r et z) et du coup le fait je ne parvienne pas à trouver un potentiel pour ces solutions me fait penser que peut-être ces solutions ne sont pas physiques ...

Je ne sais pas si je suis très clair.
Bonne après-midi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef616531d]

Je vais être plus clair :

Le but de mon étude est d'étudier la force subie par une particule dans un nuage de N particules, où chacune exerce une force répulsive en 1/|r-r'|^2 (un peu comme un champ EM) sur les autres.

Pour une particule donnée, on doit donc sommer toutes les forces exercées par les N-1 autres particules du nuage. Si on suppose qu'il y a une densité importante de particules dans le nuage, la somme peut se transformer en intégrale et on obtient :

F_totale exercée en r= int(sur le volume) [ 1/|r-r'|^2]*f(r')*u_M'M

où f est la densité de répartition des particules dans le nuage.

En prenant la divergence des deux membres de cette équation, on arrive à l'EDP dont j'ai parlé dans les messages précédents dans le cas particulier d'une densité à symétrie cylindrique.

Mon interrogation est la suivante : chaque force élémentaire d'un élément de volume dr' est conservative, est-ce qu'on peut en conclure que la force totale l'est aussi ?

Ce qui ramène alors à dire que si j'ai trouvé une solution qui convient pour la force, alors le potentiel dont dérive cette force existe, même si je ne parviens pas à l'exprimer facilement...

[KerLannais]

Salut,

Un champs de force dérive d'un potentiel que si son rotationnel est nul (s'il est à circulation conservative). Mettons que soit une force telle que à fixé

(le rotationnel est calculé par rapport à la variable r)
Il faut à priori que le champ soit différentiable pour pouvoir calculer un rotationnel (sauf si tu dérive au sens des distibutions ...). On intègre ce champ par rapport à sur un certain volume , cela suppose que soit mesurable (mais c'est toujours le cas, sauf si le volume est vraiment tordu), que de dans soit intégrable, on pose alors:

si pour tout et pour tout il existe une fonction intégrable sur telle que:

alors

et dérive d'un potentiel.