Potentiel circulaire MQ

[DorioF]

Salut

je revoyais mon cours de mécanique quantique I donc on parle seulement d'état stationnaire et je suis tombé sur l'étude d'une particule dans un potentiel circulaire c-a-d potentiel infini sauf dans le cercle.

on a trouvé les valeur et vecteur propre de l'énergie et la fonction d'onde. maintenant il y a quelques idée que je ne comprends pas.

on trouve que les vecteur propre sont





pour les vecteur propre de l'énergie je comprends mais pour la fonction d'onde je m'attendais a une constante parce qu'étant donné la symétrie en la fonction ne peut être qu'une constante.
et ça m'étonne un peut de voir que le facteur de phase (j'entends par la ) ai autant d'importance parce que je me rappelle avoir lue que le facteur de phase importe peu parce que les prévisions physiques obtenue a partir de deux fonction égale à un facteur de phase près étaient les mêmes.

Merci d'avance
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[bobdémaths]

Bonjour,

Je n'ai pas très bien compris comment est défini ton potentiel, donc je ne réponds pas sur les aspects qui dépendent de cela.

Mais pour ta remarque finale, ce n'est pas parce que le facteur de phase disparait lors des prévisions physiques qu'il n'a pas d'importance. La logique générale de la mécanique quantique, c'est qu'il faut sommer les amplitudes (complexes, avec phase) correspondant à ce que tu veux observer, puis prendre le module carré. Comme on prend le module après avoir sommé des nombres complexes, la phase est capitale, c'est elle qui peut donner lieu à des interférences par exemple.

[albanxiii]

Bonjour,

Vos ne dépendent pas de .... typo ?

Quand on dit que la fonction d'onde est déterminée à une phase près, il s'agit d'une phase globale. Ici, la votre dépend des coordonnées, puisque j'imagine que vous êtes en coordonnées cylindriques.

@+

[DorioF]

Re bonjour

je me réexplique vue que hier j'étais fatigué et j'ai mal posé le problème.

soit une particule dans un champ de potentiel tell que

le potentiel est partout infini sauf dans un cercle de rayon R ou il est nul, on cherche les état stationnaire de la particule et les vecteur et valeur propre de l'énergie on trouve que :

les vecteur propre sont



avec une valeur propre



ici v=0 .

et la fonction d'onde de la particule est aussi :


le problème est que étant donné la symétrie par rapport à et le fait que la fonction ne dépend que de la fonction d'onde doit être constante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bobdémaths]

Merci d'avoir clarifié ! Je vais donc répondre plus précisément à ta question : comme l'a dit albanxiii, si tu multiplies la fonction d'onde par une phase globale, la physique est inchangée (et pour être plus précis, il faut multiplier toutes les fonctions d'onde par la même phase globale si tu veux faire des interférences par exemple).

Mais si tu observes bien la tête de ta fonction d'onde, ceci est parfaitement équivalent à l'invariance globale par rotation ! Si tu ajoutes un angle constant à ta variable theta, cela revient à multiplier la fonction d'onde par une phase globale.

Enfin pour ta dernière observation, ce qui doit être invariant par rotation est l'observable physique, donc le module carré de la fonction d'onde. Cela ne signifie pas que la fonction d'onde ne dépend pas de théta ! Cela signifie que la dépendance en théta doit être entièrement contenue dans la phase, et pas dans le module, ce qui est bien le cas ici. Note qu'une autre observable est l'énergie, qui ne dépend évidemment pas de théta (même si ici on aurait bien du mal à voir comment il pourrait y avoir une dépendance...)

Tout ceci est donc bien cohérent.

[DorioF]

merci très bien expliqué je comprends mieux ça me parait légèrement flou mais dans l'ensemble j'ai bien compris donc merci beaucoup à vous tous et spécialement bobdémaths.

[bobdémaths]

Je suis content que tu comprennes mieux ! S'il reste des points troubles, n'hésite pas à nous faire part de tes interrogations !

[albanxiii]

Bonjour,

Désolé de revenir à la charge, mais je pense qu'il faut éclaircir un point : l'invariance par rotation.

Le système est invariant par rotation, cela veut dire que si on fait tourner les axes du système de coordonnées d'une quantité alors on se retrouve avec un système identique à celui de départ.
Cela implique que les fonctions d'onde "tournées", c'est à dire qui ont subit cette rotation, sont toujours solutions de l'équation de Schrödinger (qui elle, dans le cas présent, ne change pas de forme).

L'hamiltonien est un scalaire, donc invariant par rotation. De plus, un théorème du à Wigner dit qu'à une rotation du système correspond un opérateur unitaire qui agit dans l'espace des états. Autrement dit, si on a avant rotation, le ket qui correspond après rotation est .

Comme la valeur moyenne de l'énergie est la même avant et après rotation, on a c'est à dire pour tout état, donc , c'est à redire (puisque unitaire !).

Ici, vous avez tout, vous pouvez calculer tous les opérateurs dont j'ai parlé, le mieux étant de le faire pour une rotation infinitésimale. Vous trouverez que le générateur infinitésimal des rotations est le moment cinétique suivant l'axe , ce qui implque, puisqu'il commute avec l'hamiltonien, que ce moment cinétique est conservé... .Mais le principe est exactement le même pour des systèmes pour lesquels vous n'avez pas de fonction d'onde aussi concrète, comme un spin par exemple. Ce principe c'est, redit autrement : à une symétrie du système on peut associer une grandeur physique conservée.

Si vous voulez, on peut discuter de tout cela et détailler un peu dans votre exemple. En tout cas, j'espère que je n'ai pas été trop assomant

@+

[DorioF]

Salut

je viens de lire ce que vous venez d'écrire et je suis surpris de comprendre ce que vous disiez (juste un peu) je ne souhaite pas avoir plus de détailles pour le moment parce que j'ai mes examens dans 13 jours donc je préfère me concentrer sur ces derniers.j'ai déjà entendue parler de ce que vous tentez d’expliquer mais je pensais qu'il s'agissait du théorème de noether.

merci beaucoup

[albanxiii]

Re,

C'est bien le théorème de Noether, mais sans le dire et sans sortir toute la quincaillerie pour le démontrer !

Bon courage pour vos examens.

@+

[DorioF]

Merci beaucoup surtout que j'en ai besoin.