Fréquences propres d'un pendule d'Euler

[bendesarts]

Bonjour,

J'ai quelques petites interrogations sur un pendule d'Euler.
Il s'agit d'un pendule avec 2 degrés de libertés : un degré de liberté x d'une masse M en translation et un degré de liberté theta d'une masse m en liaison pendule autour de la masse M.
Le PFD permet d'arriver à un système d'équations différentielles couplés en x et theta. Puis, pour pouvoir faire des résolutions simples, le système d'équations est linéarisé autour de sa position d'équilibre.

Voici les matrices M et K obtenues et un rappel des équations permettant d'aboutir à ces équations.

valeurs propres.gifScan0003.jpg

Question :

J'ai du mal à comprendre pourquoi si je prends une raideur infinie au niveau du degré de liberté en x (ce qui correspond physiquement à bloquer le degré de liberté suivant x), je ne retrouve pas une seule pulsation propre correspondant à la pulsation d'oscillation d'un pendule simple ? En effet, quand j'observe mes valeurs, il semble que si k est infini, alors mes valeurs propres (qui correspondent à mes pulsations propres) tendent vers l'infini ?

Merci pour votre aide.
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[invitea3eb043e]

Si tu écris l'équation aux fréquences propres, tu trouve 2 valeurs (l'inconnue est w²). Maintenant, dans cette équation tu fais tendre k vers l'infini. Mieux : tu divises par k et tu fais tendre 1/k vers 0. Tu verras 2 choses :1) Le degré de l'équation baisse, il passe de 2 à 1. Cela signifie que la racine w² tend vers l'infini, l'autre (solution de l'équation devenue du 1er degré) est w² = g/l. Normal.

[bendesarts]

OK.
Je comprends quelques élements.
J'ai calculé det(K-omega^2*M)=0.
J'obtiens l'équation omega^4*mm*m*l^2+(-k*m*l^2-m^2*l*g-mm*m*l*g)*omega^2+k*l*g*m=0.
En divisant cette équation par k et en faisant tendre k vers l'infini, j'obtiens bien la pulsation d'oscillation du pendule simple. Nickel.

Question : Par contre,là c'est moi qui doit bloquer sur un point mathématique, pourquoi çà ne marche de faire tendre k vers l'infini directement sur les deux pulsations que j'avais trouvé en diagonalisant M^(-1)*K (voir dans la pièce jointe l'expression analytique des valeurs propres) ?

[invitea3eb043e]

Un peu lourdes tes équations et cette façon d'écrire les masses m et mm, ça me trouble.
Regarde tes équations, tu verras que l'une est en racine(k²) + k, elle tendra vers l'infini, l'autre en racine(k²) - k et elle a une limite finie (fais un développement limité). Mais c'est tellement plus simple de raisonner sur l'équation plutôt que sur les racines.

[A voir en vidéo sur Futura]