Effet de peau avec conducteurs trop étroit

[invite0a0fc21b]

Bonjour à tous,

Il y a une question que je me pose depuis quelques jours maintenant. J'espère que vous pourrez m'aider

Dans un conducteur cylindrique (cas le plus simple), le courant alternatif a tendance à se mettre sur les bords. La densité de courant suit alors une loi en décroissance exponentielle ( exp(-x) ). L'épaisseur de peau représente la distance sous la surface qui regroupe 63% du courant.
C'est la définition, si je ne me trompe pas.

Du coup, que se passe t-il si le rayon d'un tel cylindre est égal à l'épasseur de peau : où passent les 37% restants ?

Bien à vous
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[invite6dffde4c]

Bonjour.
Le courant diminue exponentiellement vers l'intérieur du câble et arrive au centre avant de tomber à zéro.
Quel est le problème ?
Ce qui devient faux est l'affirmation que 63% du courant total passe dans le câble entre la surface et le centre.

C'est comme si vous arrêtiez la décharge d'un condensateur avant qu'elle n'arrive à 37% de la charge initiale.
Au revoir.

[invite0a0fc21b]

Merci,

Dans ce cas, cela voudrait dire qu'à fréquence très basse (voir en courant continu) le courant a une répartition exponentielle de la surface au centre ?
En effet, l'épaisseur de peau augmente à mesure que la fréquence diminue, tendant vers l'infini pour des fréquences très basses.

Bien à vous

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

L'effet de peau étant un phénomène que je ne connaissais pas, je suis allé me renseigner.

Dans ce cas, cela voudrait dire qu'à fréquence très basse (voir en courant continu) le courant a une répartition exponentielle de la surface au centre ?

=> La répartition du courant est homogène dans un courant continu (j'avais pensé de même le contraire, les charges identiques des électrons repoussant ces derniers les uns des autres, mais comme (par exemple) les électrons en périphérie repoussent aussi d'autres vers le centre, cela pourrait expliquer cette homogénéité, la même que celles des atomes ou molécules d'un gaz ou d'un liquide, confinés dans un espace clos, qui se repoussent sans arrêt).
Et pour les courants alternatifs de faible fréquence, l'effet de peau doit certainement être négligeable (puisqu'il est dit qu'il s'installe lors de grandes fréquences), donc la répartition du courant est presque homogène.

Sinon, et si j'ai bien compris :
Le courant génère un champ électromagnétique (propriété du courant). Si ce courant est continu et constant, le champ électromagnétique qui en résulte sera également constant.
Mais pour le courant alternatif, le courant varie et en va et vient. Le champ électro-magnétique fait alors de même. Cette variation du champs magnétique induit alors d'autres courants qui vont perturber le courant alternatif. Ce phénomène rend alors la répartition du courant hétérogène : le courant en périphérie sera augmenté (addition avec le courant induit) et celui à l'intérieur sera diminué (soustraction par le courant induit). D'où l'effet de peau dont les calculs ont montré que la répartition du courant était en décroissance exponentielle.

Ce qui devient faux est l'affirmation que 63% du courant total passe dans le câble entre la surface et le centre.

Ben, même avis : quelque soit le rayon du cylindre, il y aura toujours une zone où 63% du courant passe et 37% en dehors de la zone (ou sinon 63% = 100% )

Note : Tesla avait utilisé ce principe (en démonstration) pour allumer un tube de gaz, en faisant passer un courant alternatif à haute tension à travers son corps. C'est par cet effet que le courant passait principalement à sa périphérie et non (ou faiblement) à l'intérieur de lui.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6dffde4c]

Bonjour.
En continu, la constante de l'exponentielle (la profondeur de pénétration) est presque infinie. Alors on peut continuer à l'appeler "exponentielle", mais c'est un abus de langage.

Dans un conducteur, les électrons ne se repussent pas. Il n'y a pas de champ électrique (sauf à l'intérieur des atomes) car chaque charge électrique négative est compensée par la charge positive de l'atome qui a perdu la charge négative en question.

Même en base fréquence (à 50 Hz), l'effet de peau se fait sentir. Pour de l'aluminium, la profondeur est de 2 ou 3 cm (de tête). C'est important dans les lignes de transmission électrique.

Ben, même avis : quelque soit le rayon du cylindre, il y aura toujours une zone où 63% du courant passe et 37% en dehors de la zone (ou sinon 63% = 100% )

Oui. Mais, quand le rayon et plus petite que la profondeur de pénétration, la profondeur de cette zone de 63% n'aura rien à voir avec la profondeur de l’effet de peau. C'est cela que essayais de vous expliquer. Sans succès, de toute évidence.

Lez nom de Tesla n'est mentionné que dans wikipedia en Français. Pas dans la page en anglais. Tesla a (peut-être) fait une démonstration en public de l'effet de peau. Mais ce n'est pas lui qui l'a découvert ou calculé.
Au revoir.

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

Oui. Mais, quand le rayon et plus petite que la profondeur de pénétration, la profondeur de cette zone de 63% n'aura rien à voir avec la profondeur de l’effet de peau. C'est cela que essayais de vous expliquer. Sans succès, de toute évidence.

Hmm, oui et non (si la formule exp(-x) s'applique bien également dans la profondeur de pénétration). En effet, la dérivée en 0 de cette fonction est -exp(-0) soit -1, si bien que son développement limité en 0 est 1-x. Il y a donc une décroissance du courant à partir de la surface et le courant n'est alors pas répartie uniformément dans cette profondeur de pénétration. Et si le rayon du (petit) cylindre est inférieur à la profondeur d'un cylindre plus épais, cela implique que la profondeur pour le petit cylindre sera plus faible. Enfin, c'est ce que je pense ... (et en espérant n'avoir pas écrit une bêtise).

Sinon, pour les charges qui se repousseraient, merci pour ton éclaircissement. La répartition est donc bien homogène lorsque le courant est continu.

[invitec9d3e4ec]

Re... (et pardon pour le double-post)
Pour y voir plus clair sur les deux façons de mesurer ce phénomène (les 63% et la profondeur), je me suis mis à faire des graphiques. Je suppose que la profondeur est supposée fixe et ne dépend que du matériau.
Voilà la répartition du courant dans un cable de 8cm de diamètre (en 0 et en 8 : extrémités du diamètre (surface) et en 4 : le centre) :
cable 8mm.png
(En rouge sombre : les limites d'une profondeur de 2cm. En vert, la droite d'équation y=1-x (développement limitée en 0))

Puis la répartition du courant dans un cable de diamètre 2 fois plus petit :
cable 4mm.png
(Plus de rouge sombre car la profondeur de 2cm va jusqu'au centre - recouvrement total)

On voit que pour le petit cable, la décroissance est beaucoup plus accentuée au centre.
Après ... je ne sais pas quoi conclure sur la meilleure façon de mesurer cet effet de peau. La définition des 63% a l'avantage de déterminer la zone où passe majoritairement le courant (qui resterait aussi à calculer, mais un peu la flegme de le faire ). La profondeur fixe (ici, pour l'exemple : 2cm) permet d'estimer la zone où la répartition décroît beaucoup.
Sinon, j'ai dit dans mon précédent message que la profondeur était plus petite pour un cable plus petit, mais j'ai confondu entre les deux définitions (ou du moins j'ai essayé de trouver désespérément un intermédiaire).

[invite0a0fc21b]

Merci à tous pour vos réponses approfondies

Je pense avoir bien compris maintenant, il y a donc 2 cas de figure limite :

- Diamètre >> épaisseur de peau (à partir de 4 fois plus élevé) => la règle des 63% s'applique. Le courant au centre est approximé comme nul.

- Diamètre << épaisseur de peau (en dessous de 10 fois moins élevé (à mon avis)) => le courant est homogène, avec une approximation en d.l. on a : 1 - x = 1 - 1/10 = 0.95 => juste 5% de moins pour la densité de courant au centre par rapport à la surface


Bien à vous

[invitec9d3e4ec]

Merci adri169 mais attention :
- la formule exp(-x) est généraliste et, elle doit différer suivant le type de matériau, de l'intensité du courant et de la fréquence du courant.
- et de plus ... dans mes deux graphiques je viens de me rendre compte que me suis trompé en comptant x en cm et non pas en mètres (), l'unité SI. Et en prenant exp(-x/100) (car 1cm = 0,01 m), voilà ce que ça donne :
cable 8cm.png
cable 4cm.png

Resterait à trouver les vraies formules pour les différents matériaux utilisés pour vraiment conclure de façon sûr : cuivre, aluminium ...

Edit : 1er graphique : exp(-x/100) sur [0;4] et exp(x/100 - 0,04) sur [4;8]
2ème graphique : exp(-x/100) sur [0;2] et exp(x/100 - 0,02] sur [2;4] pour respecter la symétrie par rapport au centre.

[invitec9d3e4ec]

Re...
Je crois que j'en ai trouvé une ici, ainsi que sa démonstration : http://www.cpge-brizeux.fr/casiers/j...tisme/che5.pdf (page 60).

(par contre, j'ai un doute pour savoir si j'ai le droit de l'importer ici (droits d'auteurs, etc.)... , je suis tombé sur ce document après avoir cherché ici ou là par le moteur de recherche)

[maxwellien]

La répartition du courant est homogène dans un courant continu

Je crois que les charges se déplaçent aussi en surface pour un régime continu mais pas à cause de l'effet de peaui.

[invitec9d3e4ec]

Bonsoir Maxwellien,

Je crois que les charges se déplaçent aussi en surface pour un régime continu mais pas à cause de l'effet de peaui.

Là, elles doivent le faire pour nous embêter à les comprendre

Plus sérieusement :
Sur wikipedia, j'avais lu ceci : "Tout courant se déplaçant dans un conducteur génère un champ magnétique autour de ce dernier. Quand un courant continu traverse un conducteur, la différence de potentiel est uniforme et les charges se déplacent dans le conducteur de manière isotrope ce qui donne un champ magnétique constant (H)" (et donc : champ magnétique constant => pas de courant induit => pas d'effet de peau)
A propos du courant continu, LPFR a écrit : "En continu, la constante de l'exponentielle (la profondeur de pénétration) est presque infinie. Alors on peut continuer à l'appeler "exponentielle", mais c'est un abus de langage."

Je serais bien intéressé de comprendre ce phénomène que tu décris : pourquoi les (ou plus de) charges se déplacent en surface en régime continu? Quelle est son ampleur ?

(Sinon, je reprendrais demain la formule pour le régime alternatif, en citant la référence de la formule. J'aimerais bien voir la répartition réelle avec l'effet de peau sur quelques bons exemples. Sur ce, bonne nuit à tou(te)s.)

[invitea3c675f3]

Si ça peut aider quelqu’un à comprendre, ça doit ressembler à ça, la répartition d'un même courant dans une même conducteur à différentes fréquences :



J’ai aussi ajouté le cas d’un conducteur creux.

Naturellement, l’intégrale de la répartition du courant sur la surface donne 1 dans tous les cas.

[invite6dffde4c]

...
A propos du courant continu, LPFR a écrit : "En continu, la constante de l'exponentielle (la profondeur de pénétration) est presque infinie. Alors on peut continuer à l'appeler "exponentielle", mais c'est un abus de langage."

Je serais bien intéressé de comprendre ce phénomène que tu décris : pourquoi les (ou plus de) charges se déplacent en surface en régime continu? Quelle est son ampleur ?
...

Bonjour.
Si vous relisez ma phrase, vous verrez que vous l'avez comprise à l'inverse.

Regardez les illustrations de Louloute. Elles valent mieux qu'un long discours.
Au revoir.

[maxwellien]

Bonjour, le champs magnétique constant créé par le courant lui-même engendre une force magnétique (qv^B) qui tend à emmener les charges en périphérie du conducteur.

[albanxiii]

Bonjour,

Je crois que les charges se déplaçent aussi en surface pour un régime continu mais pas à cause de l'effet de peaui.

En continu , donc si on applique le champ électrique dans tout le volume, les charges suivront.

Vous confondez peut-être avec l'électrostatique où là, oui, les charges dans un conducteur sont localisées sur la surface.

@+

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

Merci pour ces images en 3D Louloute/Qc, on voit bien l'évolution de la répartition selon la fréquence du courant
Par contre, connaîtrais-tu le rayon du conducteur et le type de matériau ?

Sinon, voilà la formule que j'avais trouvé (essayé de comprendre sa preuve, mais ça dépasse mes connaissances...) :

(*)

Sauf erreur pour l'interprétation des différents symboles :
- x : la profondeur à travers le cylindre, de la surface au centre (en m).
- t : le temps (en s)
- : le champ électrique (en fonction de la profondeur x).
- : l'unité vectorielle.
- : la pulsation (en radian par seconde)
- : l'épaisseur de la peau (en m) et se calcule par la formule : (y a une erreur dans le document source, la fraction est inversée - j'espère que la formule principale, elle, est juste ...)
Avec :
- : la perméabilité magnétique dans le vide ( )
- : la conductivité électrique du matériau (en )

(*) Référence : Cours PC Brizeux Chapitre E5 Phénomènes d'induction électromagnétique (http://www.cpge-brizeux.fr/casiers/j...tisme/che5.pdf - page 60)


La présence du cosinus traduit le fait que le courant est alternatif. Comme on ne représentera que le champ maximal, on peut l'enlever. On enlève aussi le sens et la direction du champ électrique et on choisit E0 = 1 pour simplifier.
Sachant aussi que la pulsation est proportionnelle à la fréquence par la relation , on a :

avec

Soit plus simplement :

Conductivité électrique de plusieurs matériaux conducteurs () en :
Cuivre : Aluminium : Fer :

Champs maximal de ces mêmes matériaux en fonction de x et de f (après calcul de ):

Cuivre : Aluminium : Fer :

Plus qu'à représenter ces fonctions sur quelques exemples. Pour comparer l'effet entre les conducteurs épais et les conducteurs étroits (le but de ce post), je vais choisir (par exemple) un gros câble de 2cm de rayon et un petit de 0,2cm de rayon (au pif).
Pour les fréquences, je vais prendre 100Hz ; 1kHz et 1MHz. Choix du matériau : le cuivre.
Voilà ce que ça donne :

Câble de 2cm de rayon :
Avec une fréquence de 100 Hz => 2cm 100Hz.png
Avec une fréquence de 1 kHz => 2cm 1kHz.png
Avec une fréquence de 1 MHz => 2cm 1MHz.png

Câble de 2mm de rayon :
Avec une fréquence de 100 Hz => 2mm 100Hz.png
Avec une fréquence de 1 kHz => 2mm 1kHz.png
Avec une fréquence de 1 MHz => Impossible (limitation de 5 images par message ) La forme est grosso-modo la même que celle de de 1kH pour le câble de 2cm mais en plus accentuée.

En espérant que je ne me sois pas trompé quelque part ...

Edit : le temps que j'écrive ce message, j'ai pris du retard dans la discussion... Je vais lire vos commentaires. A +

[Pio2001]

Dans un conducteur cylindrique (cas le plus simple), le courant alternatif a tendance à se mettre sur les bords. La densité de courant suit alors une loi en décroissance exponentielle ( exp(-x) ). L'épaisseur de peau représente la distance sous la surface qui regroupe 63% du courant.
C'est la définition, si je ne me trompe pas.

Du coup, que se passe t-il si le rayon d'un tel cylindre est égal à l'épasseur de peau : où passent les 37% restants ?

Bonjour,
La densité de courant ne décroit de façon exponentielle que dans un conducteur semi-infini. Dans un conducteur cylindrique, c'est faux. La loi de décroissance est nettement plus compliquée et fait intervenir des fonctions de Bessel.

Si le rayon du cylindre est grand devant la profondeur de pénétration, on peut faire l'approximation et considérer que c'est une exponentielle. Mais dans le cas que tu cites, où le rayon est égal à la profondeur de pénétration, il te faut la formule exacte.

[invitec9d3e4ec]

Bonjour Pio2001,
Voilà qui complique les choses en effet ... (mais là, ça me dépasse, je vais laisser parler les experts )

LPFR : J'ai toujours admis que le courant avait une distribution homogène en courant continu. Dans le cas d'un malentendu, la question s'adressait à maxwellien (pour en savoir un peu plus sur un autre phénomène, autre que l'effet de peau, dont il mentionnait en courant continu). Pour ta phrase, je reconnais que j'ai eu du mal à l'interpréter, et possible en effet que je l'ai comprise à l'envers (perso, j'avais compris que l'exponentielle ne "gênait" pas beaucoup et que l'on pouvait considérer que l'influence de l'effet de peau en courant continu était nul). Voilà ...

[invitecf9d2513]

L’effet de peau ou effet pelliculaire (ou plus rarement effet Kelvin) est un phénomène électromagnétique qui fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs. Ce phénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Il provoque la décroissance de la densité de courant à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie du conducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.

[maxwellien]

Bonjour, un exemple les sous marin utilisent des ondes basses fréquence pour communiquer car l'eau conducteur dissiperait les grandes fréquences.

[f6bes]

L’effet de peau ou effet pelliculaire (ou plus rarement effet Kelvin) est un phénomène électromagnétique qui fait que, à fréquence élevée, le courant a tendance à ne circuler qu'en surface des conducteurs. Ce phénomène d'origine électromagnétique existe pour tous les conducteurs parcourus par des courants alternatifs. Il provoque la décroissance de la densité de courant à mesure que l'on s'éloigne de la périphérie du conducteur. Il en résulte une augmentation de la résistance du conducteur.

Bjr à toi,
C'est bien de donner une définition pour une demande de...2013.
Bonne journée