Flux d'un champ de vecteurs à travers tout un cône

[invitece32908d]

Bonjour, j'ai déjà vu le flux d'un champ de vecteurs à travers une surface mais ici c'est tout le cône. S'agit t-il de faire la somme de plusieurs flux à travers une surface ? (intégrale) et Quelle surface choisir ?

Voici le sujet : Soit un cône de sommet O de demi-anglet solide au sommet theta et de hauteur h. En tout point M de l'espace, on définit un vecteur A(vecteur)=r(vecteur)/r^3 (r(vecteur)=OM(vecteur))

1) Calculer le flux de A (vecteur) à travers tout le cône.

2) En déduire l'angle solide sous lequel on voit :

a) Un disque (E) à partir d'un point O de son axe

b) Un plan
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[invite75a796c1]

Bonjour,

je peux me tromper mais je tente cela :
seuls les A passant par le disque à la base du cône et à l'intérieur du cône le traversent.
Si on parle de "tout le cône", ca se limite aux vecteurs en provenance du prolongement du cône. Ca fait une intégrale de A sur le volume du prolongement du cône, surement en coordonnées polaires.

Mais peut être faut il tenir compte du cône opposé ( il n'est pas dit que le flux s'arrête en O ) , ça dépend de l'esprit de l'énoncé et du contexte. Dans ce cas, il faudra ajouter l'intégrale de A sur le volume du même cône de hauteur infinie.

[invite6dffde4c]

...Soit un cône de sommet O de demi-anglet solide au sommet theta et de hauteur h. ...

Est-ce vraiment un angle solide ou c'est le demi-angle ouverture du cône ?
Car "demi-anglet solide au sommet" n'est pas clair.

La suite est évidente. Il s'agit d'un champ radial qui diminue comme le carré de la distance. C'est à dire comme un champ électrique d'une charge ponctuelle ou un champ gravitationnel d'une masse ponctuelle.
Le flux à travers le disque de basse du cône ou n'importe quel autre disque similaire ou une calotte sphérique est le même et indépendant de la distance.
Donc, c'est bêtement la valeur du champ à une distance D multiplié par la surface de la calotte sphérique de ce rayon et qui a son bord sur le cône.
C'est ici où l'interprétation de l'angle (solide ou demi-ouverture) est fondamentale.
Au revoir.

[invite76543456789]

Je dois mal comprendre l'enoncé, pour moi ce flux est evidement nul, le champ est tout le temps tangent au cone en tout point du cone.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75a796c1]

Salut,

@MissPacMan

il y a "qui traverse tout le cône". Ca exclut son intérieur.

[invite6dffde4c]

Re.
Il est vrai que la rédaction de l'énoncé est une calamité.
Pourrait-on avoir l'énoncé originel (lien, scan, photo) ?
Et le nom de la poubelle où vous l'avez trouvé ?
A+

[coussin]

Je dois mal comprendre l'enoncé, pour moi ce flux est evidement nul, le champ est tout le temps tangent au cone en tout point du cone.

Le champ est radial et le cône a son sommet à l'origine. Le champ est effectivement tangent aux "côtés" du cône mais pas au disque de base. Y a que le flux à travers ce disque à calculer.

[albanxiii]

Bonjour,

Puisque personne ne l'a encore dit, je me dévoue : il faut faire un dessin !

@+

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

MissPacMan : Flux nul sur l'enveloppe, oui, et même avis que Coussin si on se réfère à la définition de cône.

LPFR : Je penche plutôt sur le demi-angle au sommet car quel intérêt de parler de la moitié d'un angle solide ? Dans ce cas (à moins que ce soit une faute de frappe) ça expliquerait le terme 'anglet' à la place de 'angle' (comme pour dire 'petit angle', celui habituellement utilisé en géométrie plane). Mais quel idée de l'auteur d'avoir rajouter 'solide' ...

Sinon, pour la question 2 et si j'ai vu juste (et dans l'esprit de l'auteur), il y a quelque-chose de simple qui devrait se dégager (à vue de nez, pas fait de calculs).

Mais bon, pfiou oui ... quel énoncé ...

Cordialement.

[invite76543456789]

Salut,

@MissPacMan

il y a "qui traverse tout le cône". Ca exclut son intérieur.

J'ai rien compris

Le champ est radial et le cône a son sommet à l'origine. Le champ est effectivement tangent aux "côtés" du cône mais pas au disque de base. Y a que le flux à travers ce disque à calculer.

Heu je comprends pas, les "côtés" du cônes sont le cone. Y a pas de "disque de base" dans un cône (du moins dans sa definition usuelle).
Un cone, normalement (enfin pour moi), c'est ça mink-st.gif

Et il me semble que c'est ce que considère l'enonce.
Dans ce cas le flux est nul, s'il faut rajouter un chapeau au cone alors la c'est autre chose et ca va depende de là où on met le dit chapeau, a priori.
Bref on est tous d'accord je pense mais à l'OP de preciser.

Bonjour,

Puisque personne ne l'a encore dit, je me dévoue : il faut faire un dessin !

@+

Indeed, ca mettra tout le monde d'accord.

Edit: Ok, chuis bete j'avais pas vu le "hauteur h", c'est donc bien un cone chapeauté. Oubliez ce que j'ai dit.

[coussin]

Nan, un cône a une base : http://en.wikipedia.org/wiki/Cone

[invitec9d3e4ec]

Re...

Oups ... Edit sur mon dernier message : LPFR : ... à moins que ce ne soit pas une faute de frappe... ===> à moins que ce soit une faute de frappe. (pardon)

MissPacMan => la base est un disque .

[invite6dffde4c]

Re.
@Gondebaud: modification faite.

Je pense qu'il faut attendre que lukam se manifeste...et nous donne le bon énoncé.
A+

[invite6dffde4c]

Re.
La définition de wikipedia est un peu inquiétante:
En géométrie, un cône est une figure de l'espace engendrée par des segments reliant un sommet aux points d'une figure plane.

Fini l'axe de symétrie.
Donc, les trois cônes d'Égypte: Kheops, Khephren et Mykérinos.
A+
Édit: Celle du Dictionnaire de l'Académie n'est pas triste non plus.

[coussin]

C'est correct : les pyramides sont des cônes
Par contre, la base n'est pas forcément plane.

[invitec9d3e4ec]

(merci pour la correction )

*surpris* Cette définition de cône me laisse perplexe pour ma part (en 4ème, on fait pourtant distinguer aux élèves le cône des pyramide même si les deux définitions partent du même principe ...)

MissPacMan : j'ai failli croire au départ à la représentation que tu as montré par ton image, mais comme celui-là a une hauteur je (et Coussin aussi) me suis rabattu sur le solide cône.

A+

[coussin]

Pyramides et cônes (au sens usuel, à base circulaire) sont tous les deux des "solides coniques". Attention, les "sections coniques" sont par definition construites avec un cône circulaire droit (n'allez pas trouver d'autres sections coniques en regardant l'intersection d'un plan et d'une pyramide )