Seconde quantification, relations de fermetures

[Jeanthon]

Bonjour,

Dans le formalisme de la seconde quantification.
Soit |0> l'état du vide (pas de particules).

Il me semble que dans mon livre, l'opérateur |0><0| vaut l'identité. Je dis il me semble parce que ça n'apparaît pas directement, mais lorsque que prend effectivement |0><0|=1, je tombe sur les bons résultats.

Si c'est vrai, j'aimerais comprendre pourquoi, parce que en généralisant les relations de fermetures de la première quantification je pense plutôt que



PS : je ne trouve rien en cherchant "Completeness relations, occupation number representation"
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[st_vincent]

Bonjour,

Tu peux avoir |0><0| appliqué à |0> qui donne |0>, mais c'est un cas ultra particulier comme tu l'a compris.

Tu pourrais sans doute donner plus de détails quant au contexte:
- système à une particule
- système à N corps avec N connu
- système à N corps avec N "indéterminé"
- Statistique Bose/Fermi ? bon, j'ai l'impression que tu penses à des bosons...)

Essaie d'expliciter l'exemple que tu ne comprends pas de manière précise.

[Jeanthon]

Dans ce document, https://www.google.com/url?sa=t&rct=...,d.d2k&cad=rjt
équation 9.46

Le hamiltonien d'un electron d'une molécule de dihydrogène :



Les états |1> et |2> correspondent à l'electron situé au voisinage de l'atome 1 ou 2.
"t" Est l'intensité du couplage entre les deux états.

Dans le formalisme de la deuxième quantification, j'utilise maintenant la représentation du nombre d'occupation |n1,n2> avec n1 (ou n2) le nombre d'electron au voisinage de l'atome 1 (ou 2). Alors, |1> devient |1,0>, et |2> devient |0,1>.
|0>=|0,0> représente l'état du vide.

et sont les opérateurs de création d'un electron dans l'état 1 ou 2.

Alors en utilisant |1> = |0> et |2> = |0> dans l'expression du hamiltonien je suis devrais trouver



Je trouve la même chose, mais avec un facteur |0><0|.



Une tentative d'explication :

On se place dans un cadre général.
Si le nombre de fermion dans un système quelconque n'est pas fixé, alors les états possibles sont |0,0,...>, |1,0,...>, |1,1,...>, etc. Alors la relation de fermeture est :



En revanche, si le nombre de particule est fixé, disons 1 fermion, et que de plus il ne peut être que dans deux états différents, alors la relation de fermeture est :

|1,0><1,0| + |0,1><0,1| = 1 car ces deux états forment alors une base.

Et de plus |0,0><0,0| = 1 , puisque.......... je sais pas trop, disons |0,0> forme une base à lui tout seul puisque lorsque qu'on est dans cet état, on ne peux pas en sortir (nombre de particule constant).


Ca se tient?

[st_vincent]

OK, bon, alors j'ai l'impression que je commence à comprendre quand tu parlais de relation de fermeture...

J'ai l'impression donc que tu pensais à des trucs comme ça , Right ?

Si tel est le cas, non, il faut repenser à l'action des opérateurs création/annihilation sur les états sur lesquels tu veux l'appliquer in fine. Tu vois alors que tu n'as pas besoin d'insérer le vide. C'est d'ailleurs ça qui rend simple et puissant le formalisme de seconde quantification.

Je te conseille de regarder le cours de mécanique quantique avancée de J. Dalibard disponible ici. Le chapitre 2 traîte de la seconde quantification, et tu trouveras ce que tu désires à la section 2.2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[st_vincent]

Si tel est le cas, non, il faut repenser à l'action des opérateurs création/annihilation sur les états sur lesquels tu veux l'appliquer in fine. Tu vois alors que tu n'as pas besoin d'insérer le vide. C'est d'ailleurs ça qui rend simple et puissant le formalisme de seconde quantification.

Pour expliciter un peu mieux, ôte la particule i à l'état auquel il s'applique, et crée la particule j dans l'état auquel il s'applique, de telle manière que:





qui sont équivalents à, en utilisant

[Jeanthon]

J'ai l'impression donc que tu pensais à des trucs comme ça , Right ?

Oui

Mais alors comment faire? Comment transformer le Hamiltonien? Je vois comment faire lorsqu'il est exprimé en termes d'opérateurs, comme pour le cas classique


Mais la, il est exprimé en terme |1><2| .....

Je résonne comme ça : |1> est l'état à une particule, centrée sur l'atome 1, et dans la représentation du nombre d'occupation il correspond à |1,0> , qui veut dire : 1 particule dans l'état 1 (centré sur 1), et 0 particules dans l'état 2.
J'applique tout bêtement
Mais non.

Mon problème dois venir du fait |1> = |1,0> est une erreur.

J'ai lu pas mal de cours sur l'introduction à la seconde quantification, mais ce cas particulier ne se présente que dans le document cité dans mon poste précédant.

[st_vincent]

Oui
Mais alors comment faire? Comment transformer le Hamiltonien? Je vois comment faire lorsqu'il est exprimé en termes d'opérateurs, comme pour le cas classique

Mais la, il est exprimé en terme |1><2| .....

Mon message supposait donc que ce n'est pas la bonne manière de résonner.
De ce que j'ai compris de la "2nde quantification" depuis 2005 que je l'utilise, c'est que c'est une notation particulièrement simple et puissante qui évite pas mal de sueur, de lignes d'écriture et d'erreurs potentielles. Il y a même certaines choses que je ne vois pas comment formuler sans ce formalisme dans la physique à N corps.
Mais ça reste [pour ce type d'utilisation en tous cas] un formalisme... Pour ne pas avoir à se traîner des "bra"s et des "ket"s dans tous les sens quand les choses se complexifient. Donc: il faut un peu oublier les bra/kets dans les opérateurs.

Je résonne comme ça : |1> est l'état à une particule, centrée sur l'atome 1, et dans la représentation du nombre d'occupation il correspond à |1,0> , qui veut dire : 1 particule dans l'état 1 (centré sur 1), et 0 particules dans l'état 2.
J'applique tout bêtement
Mais non.

Bah si, ce n'est pas faux.

Mon problème dois venir du fait |1> = |1,0> est une erreur.

A priori, non, c'est correct dans le contexte que tu l'as introduit, bien que la notation soit _vraiment_ mal choisie.

J'ai lu pas mal de cours sur l'introduction à la seconde quantification, mais ce cas particulier ne se présente que dans le document cité dans mon poste précédant.

Celui que j'ai indiqué un de mes posts précédents est ce que j'ai trouvé de mieux depuis 2005 (trouvé en 2005 par ailleurs) dans toutes les documentations [fr]/[en] que j'ai lues sur le sujet.

Pour revenir sur le sujet donc, il faut bien comprendre l'équivalence:

Une fois compris (et bon, mon poste de 9h38 montre quand même que les effets de l'un ou de l'autre sur les kets sont identiques !), il ne reste plus qu'à ne pas chercher de réintroduire les kets dans : c'est superflu.
Il faut plutôt voir ces opérateurs vraiment comme des créateurs / annihilateurs.
La partie va "sonder" l'existence / le nombre de particules dans l'état i.
La partie du Hamiltonien va avoir tendance à déplacer une particule sur l'état j vers l'état i. C'est le couplage entre les états du fait que la base {i,j} n'est pas propre au système.

Vraiment, regarde le cours que je t'ai indiqué, page 24, Eqns (2.38) à (2.43). C'est il me semble ce sur quoi tu bloques.
Le problème est formulé de manière plus complexe avec un fort esprit many-body sous-jacent. Tu verras d'ailleurs qu'une fois la notations 2nde utilisée, tu ne voudras plus utiliser qque chose d'autre pour du many-body. (Et c'est ce sur quoi tu travailles apparemment, vu la réf de matière condensée que tu as donnée...)

[Jeanthon]

D'abord, merci pour ton aide. De plus, je ne doute pas que ce formalisme et très pratique, je ne remets rien en cause.
J'ai bien regardé la partie que tu indiques.

Je ne vois pas pourquoi tu parles de bonnes manière ou de mauvaises manière de procéder. Je n'ai pas choisi l'énoncé du problème. J'ai un Hamiltonien, je dois le traduire dans le formalisme de la seconde quantification, point.

Il faut bien comprendre l'équivalence:

Une fois compris (et bon, mon poste de 9h38 montre quand même que les effets de l'un ou de l'autre sur les kets sont identiques !), il ne reste plus qu'à ne pas chercher de réintroduire les kets dans : c'est superflu.

C'est justement ça que je ne comprend pas.

Mon problème dois venir du fait |1> = |1,0> est une erreur.

A priori, non, c'est correct dans le contexte que tu l'as introduit, bien que la notation soit _vraiment_ mal choisie.

Alors si tu es d'accord avec ca, ...

J'applique tout bêtement
Mais non.

Bah si, ce n'est pas faux.

... et ça, alors je ne comprend pas pourquoi cette égalité est fausse :

[Jeanthon]

Je ne suis pas sur qu'on se comprenne bien.

Mon problème vient du fait que je cherche à exprimer le hamiltonien du post #3 dans le formalisme de la seconde quantification. Lorsque j'applique les outils, je me retrouve avec des |0><0|

Deux possibilités : soit |0><0| vaut l'identité dans cet exemple de la molécule d'H2, comme suggéré au post #3, soit l'apparition de ce terme vient d'une erreur que j'ai commise, et ce serait formidable que tu puisse la pointer.

[st_vincent]

J'ai bien compris ton problème. Mais je n'arrive visiblement pas à t'expliquer ce qui te gêne. Je rééssaie une dernière fois.

Prenons l'opérateur
Il est vrai que .
Après, un opérateur est défini par son action sur quelque chose.

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L'action sur un état de la formulation avec les créateurs/annihilateurs se déduit par la définition de ces opérateurs.
L'action sur un état de la formulation en bra/ket se déduit par les recouvrements et .

Avec cela en tête, tu peux te convaincre très facilement que agit sur n'importe quel ket de ton système de la même manière que .

Les deux opérateurs sont équivalents.
Tu pourrais écrire aussi , vu que c'est la même chose que .
Mais alors, tu perds complètement le bénéfice de l'utilisation de la seconde quantification, qui a pour avantage de ne pas porter de bra/ket dans ses notations.

Ce dernier point (ne pas porter de bra/ket pour la notation des opérateurs) est très important pour certaines applications. C'est tout ce que j'ai voulu dire quand je t'ai dit que c'etait super la seconde quantification. Mais ce n'était pas un argument de démonstration bien sûr !

L'exemple étant donné sur , c'est pareil pour avec (i,j)= (1,2) ou (1,1) ou (2,1) ou (2,2), donc pour la forme de ton Hamiltonien.

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[Jeanthon]

.

Avec cela en tête, tu peux te convaincre très facilement que agit sur n'importe quel ket de ton système de la même manière que .

Les deux opérateurs sont équivalents

J'en déduis que et alors
Par 1 j'entend identité.

C'est la toute ma question.

[st_vincent]

Deux possibilités : soit |0><0| vaut l'identité dans cet exemple de la molécule d'H2, comme suggéré au post #3, soit l'apparition de ce terme vient d'une erreur que j'ai commise, et ce serait formidable que tu puisse la pointer.

Ce n'est pas l'identité. C'est juste inutile de le mettre. Inutile et préférable. Cf mon message précédent.

[Jeanthon]

C'est juste inutile de le mettre. Inutile et préférable.

Ok mais tu comprends bien qu'avant de l'enlever je veuille m'assurer que ça vaut bien l'identité. En appliquant les outils de bases, sans faire aucun raccourcis car je débute, ce terme apparaît.

Ce n'est pas l'identité.

Si on peut l'enlever, c'est bien qu'il s'agit de l'identité.

[st_vincent]

Ne cherche pas à insérer une relation de fermeture. C'est la bonne méthode à appliquer dans 75% des problèmes de méca Q, mais pas tous -pas celui-ci-.
Les définitions des opérateurs de création et d'annihilation sont suffisantes pour reconstruire le Hamiltonien. Pas besoin de relation de fermeture.

Et non, |0><0| n'est pas l'identité pour ton système.



Donc non ce n'est pas l'identité. Mais tu peux l'enlever de la notation sans changer l'action de l'opérateur sur tes états.

Pour faire court, c'est l'écriture du Hamiltonien avec les qui est assez pernicieuse.

Bon, il faut que quelqu'un d'autre y mette son grain de sel, je n'arrive pas à te le faire comprendre.

[Jeanthon]

Je ne cherche pas à introduire une relation de fermeture, je cherche à appliquer la definition

Sachant que est définie par , Peux tu me montrer pourquoi ?
Pour reprendre mon message #8, c'est justement ca que je ne comprends pas.