Seconde quantification, energie cinétique

[Jeanthon]

Bonjour,

Dans le cadre de la seconde quantification, je n'arrive à exprimer l'énergie cinétique d'un electron libre dans une boite. A un moment j'obtient un laplacien d'une fonction de Dirac, et la mes faibles connaissances en distributions me font sécher.

K l'énergie cinétique
les sont les opérateurs de création/annihilation d'une particule de moment p
Opérateur de champs, de création/annihilation d'une particule à la position r



Voila je suis bien embêté par cette dernière ligne, qui n'est pas détaillée dans mon bouquin.

Merci pour votre aide.
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[ThM55]

Bonjour. Le laplacien, c'est la divergence du gradient. Il suffit alors d'intégrer "par parties" en utilisant le théorème de la divergence et de négliger le terme de surface: on intègre sur tout l'espace et on suppose que les champs décroissent suffisamment vite à l'infini. Après la première intégration, on obtient une expression avec le gradient de la distribution de Dirac. On doit alors intégrer par parties une deuxième fois, cette fois avec le théorème de Gauss. Finalement, l'expression obtenue ne contient plus que delta(x-x') et l'intégrale devient triviale.

Il est bon de remarquer que ces manipulations sont assez formelles et peu rigoureuses, car les opérateurs Psi sont eux-mêmes des distributions à valeur opératorielle et, comme on le sait, le produit de distributions est mal défini.

[Jeanthon]

Comment ai je pu oublier l'intégration par partie!!

Parfait, merci beaucoup.

D’ailleurs ça me fait pensé à un truc que j'ai jamais bien compris, c'est ce terme qui s'annule dans l'intégration par partie, auquel tu fais référence je crois en citant le terme de surface. Dans un cours sur le principe de moindre action, j'avais la même situation et je comprenais pourquoi il était nul, mais dans ce cas la.... Tu pourrais me donner une piste?

[albanxiii]

Bonjour,

En mécanique analytique le terme intégré est nul parce qu'on choisit des conditions aux limites telles qu'il est nul à chaque point de l'intervalle d'intégration. Les extrémités du chemin sont fixes.
Dans le cas d'un champ (même situation, théorème de gauss, etc) le terme de surface est nul seulement si le champ décroit assez vite vers zéro à l'infini. Posez le calcul, c'est encore ce qu'il y a de plus simple pour s'en convaincre.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jeanthon]

Ok.

J'aimerais détailler mon raisonnement parce que j'ai du mal avec les objets que je manipule.
Prenons un electron dans une boite de volume V.

et les opérateurs de création/annihilation d'un électron de moment k
et les opérateurs de champs, qui créent un électron au point r.



Je reprends l'intégrale :



Pour que s'annule il faut que soit nul aux extrémités de la boite.
A par dire que il ne peut pas y avoir d'électron aux extrémités donc est nécessairement nul aux extrémités... Peut être faut il commencer par définir l'opérateur de champ comme plus haut pour r appartenant à la boite, 0 sinon.