périmetre d'un cercle dans un espace courbe

[Floris]

Bonjour, cette question relève plutôt des mathématique mais bon. Es ce que le périmètre d'un cercle est toujours égale a 2piR dans un espace très courbé? La constante pi est t'elle toujours valide dans ce cas ?

Merci
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[invite03481543]

Bonjour,

dans un espace courbe le rapport n'est plus identique à celui obtenu dans un espace euclidien.

[Floris]

Bonjour,

dans un espace courbe le rapport n'est plus identique à celui obtenu dans un espace euclidien.

D'accord, donc ppour ce faire, j'imagine que je dois utiliser l'algèbre tensoriel non? Quoi qu'il en soit es ce que PI reste valable ou là aussi sa change ?

Merci

[0bjective]

oui tu dois intégrer l'élément de longueur ds de la courbe, l'invariant dépendant de la courbure de ton espace, typiquement ds=sqrt(dx_nu dx^nu), le long de la trajectoire de la courbe.
Ta courbe ne sera plus un cercle dans un espace courbe, bien entendu. C'est le rayon qui ne sera pas bien défini, et le périmètre, pas celui d'un cercle euclidien. Pi est conservé quant à lui, je pense

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

La notion de cercle reste bien définie comme l'ensemble des points joignables au centre par un segment de géodésique de longueur donnée.

Et on retrouve toutes les propriétés de symétrie quand la variété est homogène et isotrope, et il est tout à fait valide d'utiliser le mot cercle. Le cas le plus simple après l'euclidien est la sphère S2. Un cercle a beaucoup des propriétés courantes, mais son périmètre est plus petit que 2pi fois son rayon, et le rapport est variable: pour la distance max, le périmètre peut être nul.

L'autre surface homogène et isotrope (H2) est plus difficile à conceptualiser, et le périmètre d'un cercle de rayon non nul est strictement supérieur à 2pi fois le rayon ; là encore le rapport est variable.