demonstration du périmètre d'un cercle

[inviteb1549227]

Bonjour,

Tous est dans le titre , j'aimerais démontrer la formule du périmètre d'un cercle : 2r Pi avec les intégrales et les primitives
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[Jon83]

Bonjour!

[inviteb1549227]

tu peux m'expliquer comment tu as fais stp^^ je ne comprends pas pourquoi c'est de 0 a pi/2 et pas de 0 a r et je comprend pas pourquoi il faut utiliser les intégrales ma prof m'a dit de le faire mais les intégrales c'est pour des aires non?

[Jon83]

C'est ici une intégrale curviligne.
représente la longeur de la circonférence interceptée par l'angle .
Quand tu intègres de 0 à \frac{\pi}{2}, tu obtiens la longueur d'un quart de la circonférence.
Pour avoir la totalité, il faut multiplier par 4

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Cela dit, il me semble que le radian est défini par la relation : ...

[invitec17b0872]

Bonsoir,

Ce qui est ennuyeux, c'est que Pi apparait dans les bornes de l'intégrale.
A mon sens (mais c'est à vérifier bien sur), la première définition de Pi, c'est le rapport entre le périmètre et le diamètre d'un cercle. Ceci étant dit, le périmètre d'un cercle P=2.pi.r devient une définition de Pi et n'admet donc pas de démonstration.
Corrigez moi si je me trompe.

Bonne soirée.

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

Je suis d'accord avec Rhodes. On peut démontrer que le périmètre du cercle est proportionnel au diamètre de ce dernier et on nomme pi la constante de proportionnalité.
Le calcul avec l'intégral est un artifice, vous utilisez déjà en amont le fait que pi est bien la constante de proportionnalité entre le rayon et le périmètre pour définir les radians.

[invite0a963149]

Bonjour!

Pourquoi ne prends tu pas directement de 0 a y a t-il un problème conceptuel a faire varier l'angle au centre jusqu’à avoir fait un tour ?

[Jon83]

Pourquoi ne prends tu pas directement de 0 a y a t-il un problème conceptuel a faire varier l'angle au centre jusqu’à avoir fait un tour ?

Non, aucun! C'est simplement l'habitude d'utiliser au maximum les symétries!!! C'est vrai que dans ce cas, ça ne simplifie pas grand chose...

[Jon83]

Bonjour,

Je suis d'accord avec Rhodes. On peut démontrer que le périmètre du cercle est proportionnel au diamètre de ce dernier et on nomme pi la constante de proportionnalité.
Le calcul avec l'intégral est un artifice, vous utilisez déjà en amont le fait que pi est bien la constante de proportionnalité entre le rayon et le périmètre pour définir les radians.

Vos remarques sont pertinentes! J'ai simplement répondu à la question initiale.... Mais vous avez raison, j'aurais dû dès le départ prendre la précaution de préciser la définition du radian...

[inviteb1549227]

mais j'ai toujours pas compris comment on peut calculer un périmètre avec des intégrales^^si on fait la somme des périmètres de tous les triangles qui forment le quart de cercle on aura pas le périmètre du quart du cercle, avec les aires sa marche mais périmètre non

[Jon83]

mais j'ai toujours pas compris comment on peut calculer un périmètre avec des intégrales^^si on fait la somme des périmètres de tous les triangles qui forment le quart de cercle on aura pas le périmètre du quart du cercle, avec les aires sa marche mais périmètre non

Non, on ne calcule pas la somme des périmètres de triangles, mais la somme de longueurs d'arcs infiniment petits

[Seirios]

Si l"on veut vraiment passer par les intégrales, il faut utiliser les courbes paramétrées. Le cercle peut être décomposé en deux arcs paramétrés par et , avec . Dès lors, le périmètre vaut . Il suffit ensuite de faire un petit changement de variables pour se ramener à l'arcsin. On trouve alors un périmètre de , et n'est intervenu que comme unique solution de l'équation avec .