Démonstration [Equation d'un cercle dans un repere orthonormal]

[invitef07c4cf3]

Bonjour,

Actuellemet je fait l'application du produit scalaire. Et nous venons de faire l'équation d'un cercle dans un repere orthonormal.

Notre prof nous demande de chercher la demonstration de cette propriété:

Le cercle de diametre [AB] est l'ensemble des points M tel que
Si A (a₁,a₂) et B (b₁, b₂), alors une équation de est x²+y²+ax+by+c, avec a=-a₁-b₁, b=-a₂-b₂ et c=a₁b₁ + a₂b₂

Pouvez vous m'aider car je n'ai aucune idée de comment trouver la démonstration de cette propriété

Merci d'avance
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[invite7ffe9b6a]

Bonjour,
Notons M(x,y) les coordonnées dans le repère orthonormal.
Dans ce repère quels sont les coordonnées de

?

?

Combien vaut

?

[invitef07c4cf3]

Il ne faut pas de mesure précise car c'est un cas général pour une démonstration non?

[Thorin]

il veut une mesure en fonction de x, de y, des coordonnées de A et de B, mais sans donner une valeur numérique, en leur donnant juste une lettre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[hhh86]

Bonjour,

Actuellemet je fait l'application du produit scalaire. Et nous venons de faire l'équation d'un cercle dans un repere orthonormal.

Notre prof nous demande de chercher la demonstration de cette propriété:



Pouvez vous m'aider car je n'ai aucune idée de comment trouver la démonstration de cette propriété

Merci d'avance

Rappel :
Soient u(x;y) et v(x';y') deux vecteurs du plan
u.v=xx'+yy'

[invitee6730404]

Bonjour. Je crois que je vais pouvoir t'aider. On a déjà fini depuis longtemps application du produit scalaire vous êtes un peu à la bourre on dirait . En effet, tu as raison, ne jamais faire de mesures précises, car nous sommes dans une démonstration. Réponse à ta question: "Soit un cercle C de diamètre [AB]. M(x;y) est un point du cercle <=> (vecteur)MA.(vecteur)MB=0. A(a(1);a(2)) et B(b(1);b(2)) (vecteur)MA(a(1)-x;a(2)-y) et (vecteur)MB(b(1)-x;b(2)-y). (vecteur)MA.(vecteur)MB=0 <=> (a(1)-x)(b(1)-x)+(a(2)-y)(b(2)-y)=0 <=> a(1)b(1)-a(1)x-b(1)x+x²+a(2)b(2)-a(2)y-b(2)y+y²=0 <=> x²+y²+x(-a(1)-b(1))+y(-a(2)-b(2))+a(1)b(1)+a(2)b(2). Soit -a(1)-b(1)=a; -a(2)-b(2)=b et a(1)b(1)+a(2)b(2)=c. Donc l'équation de C est: x²+y²+ax+by+c; avec a=-a(1)-b(1); b=-a(2)-b(2) et c=a(1)b(1)+a(2)b(2)". En gros tu utilises tes données, tu développes, tu remplaces, et hop, t'as le résultat. C'est pas de la magie c'est des maths . En espérant avoir répondu à tes questions.

[invitee6730404]

J'ai juste fait une petite erreur : x²+y²+x(-a(1)-b(1))+y(-a(2)-b(2))+a(1)b(1)+a(2)b(2)=0 et l'équation de C est: x²+y²+ax+by+c=0. Tu a donc du te tromper dans ta citation. De plus, il y a toujours un "égal" (=) dans une équation. Enfin voila. T'as compris :O ?