Densité d'énergie magnétique

[Faame]

Bonsoir !
Dans le cadre de mon TIPE je m'intéresse à la densité d'énergie magnétique. Plus précisément je considère une bobine quelconque parcourue par un courant, on connait le champ magnétique issu de cette bobine (loi de Biot-Savart) en tout point de l'espace et l'énergie totale emmagasinée dans celle-ci (1/2*L*I^2). J'ai fait un petit programme sur maple qui renvoie l'inductance (calculée numériquement) de la bobine, et je peux donc connaitre pour une bobine quelconque et une intensité donnée l'énergie magnétique totale stockée.

Il est clair que le champ magnétique n'a pas la même norme en tout point de l'espace, et il me semble donc intuitif que l'énergie magnétique est elle aussi "répartie" de manière non uniforme dans l'espace. Pour une bobine de 1cm^3, j'imagine difficilement qu'il existe une énergie magnétique significative à 10km de la dite bobine, et je pense que grosso-modo, la majorité de cette énergie doit se trouver dans son noyau.
Prenons l'exemple du solénoide infini, le champ magnétique est uniforme au sein du solenoide et nul en dehors. L'intégralité de l'énergie magnétique est donc présente uniquement dans le noyau. En dehors du solenoide, la présence ou non de la bobine ne change strictement rien.

Mon petit raisonnement me semble relativement juste, et n'est pas contredit par la définition de la densité d'énergie magnétique : rho=B^2/(2*mu), qui "colle" d'ailleurs parfaitement pour le solénoide infini.

Je cherche donc à calculer numériquement la quantité d'énergie qui serait localisée dans le noyau d'une bobine et à la comparer à l'énergie totale stockée.

Mais là je bloque. Le formule serait W=int(int(int(rho*dV))) sur le volume, mais rho dépend du volume. Donc j'en suis arrivé à W=1/(2*mu)*int(int(int(r*B(r,theta ,z)^2*dr*dtheta*dz,r=0..R),the ta=0..2*Pi),z=0..L) en posant dV=r*dr*dtheta*dz pour un volume cylindrique de rayon R et de longueur L (l'intégrale selon theta peut être simplifier par invariance du problème selon l'axe de révolution de la bobine). Et là c'est la cata, l'intégrale diverge quand le volume tend vers R^3, là ou je devrais trouver quelque chose qui tend vers 1/2*L*I^2...

Alors, est-ce qu'il y a une erreur flagrante que je n'ai pas vu? Dois-je chercher une erreur dans mon code maple?...
J'attends vos lumières et vos pistes de réflexion, merci
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[pephy]

bonjour

et comment calculez-vous B(r,theta,z) en un point quelconque?

[Faame]

Re,
Pour calculer B, j'applique la loi de Biot Savart pour une spire, puis intègre selon la longueur de la bobine. Si la bobine est plus épaisse qu'une simple spire je somme le champ produit par chacune des couches (je ne sais pas si ce modèle est correct, mais je penses qu'il l'est par la linéarité des équations de l'électromag). De toute manière pour l'instant je fait les tests uniquement sur des bobines assez simples et courtes pour éviter des calculs trop longs.
Je pourrais recopier la formule mais elle est assez longue et pas franchement lisible sans introduire pas mal de notations...

Le problème ne vient pas de la de toute manière. Le programme renvoie des valeurs exactes avec 3chiffres significatifs sans aucun problème pour le flux et le champ en un point. J'ai déjà comparé les résultats avec les formules du champ magnétique d'une bobine sur son axe, et pour le cas du solénoide infini (champ uniforme, valeur du flux en tout affixe) : ca fonctionne très bien. Même le calcul d'inductance est assez précis, en tout cas les résultats sont très proches des formules de Nagaoka, mais il faudrait que je vérifie avec des bobines réelles.

J'observe aussi des comportements erratiques de maple sur le calcul d'énergie... La fonction à intégrer est positive, donc l'intégrale devrait croitre quand j'augmente le domaine d'intégration : ce n'est pas le cas, sa varie "bizarrement" mais semble osciller autour d'une valeur (qui reste bien au dela de l'ordre de grandeur attendu).

Je reprends les cours demain, j'espère avoir des pistes par mon professeur de physique et celui de maple...

[pephy]

Re:
Biot et Savart d'accord, mais vous parvenez à calculer B en un point situé hors de l'axe, même pour une spire circulaire?
Je demande à voir votre programme Maple...

[A voir en vidéo sur Futura]

[LPFR]

Bonjour.
Et encore ! En dehors de l'axe ça ne donne qu'une intégrale elliptique (je crois). C'est encore intégrable numériquement. Mais il faut utiliser des spires de diamètre non nul car si les spires sont infiniment minces, le champ diverge au niveau du fil.
Au revoir.

[Faame]

Re,
En effet cest tout a fait faisable numériquement par ordinateur. Il suffit de remplacer dans Biot et Savart le produit vectoriel par son expression en coordonnées cartésiennes (idem pour la distance au cube du dénominateur). On arrive alors au vecteur du champ magnetique en un point quelconque sous forme de 3 integrales (une selon Ux, Uy et Uz). Ce sont des intégrales elliptiques (si je ne me trompes pas) qu'on ne sait pas résoudre de manière littérale, mais maple est tout à fait capable de calculer ces intégrales avec quelques chiffres significatifs.
Je posterai la formule exacte dans la journee.

En effet je pose des spires de fil de diametre fixe pour éviter la divergence des intégrales.

[Faame]

Donc, désolé pour le double poste, voila mon travail actuellement.
Je fixe un rayon intérieur r pour toutes les bobines (c'est une donnée que je fixe pour mon TIPE, totalement aribtraire) et un diamètre d du fil de bobinage (idem, arbitraire). Dans mon cas je m'intéresse à des bobines de 1cm de diamètre et du fil de 1mm de diamètre.

Je représente un point de l'espace par un tableau de 3 valeurs (x,y,z). Je n'ai pas profité de la notion de matrice de maple car en réalité j'avais déjà codé le programme sous caml (problème de précision, la méthode des trapèzes pour le calcul numérique n'était pas très satisfaisante), je me suis contenté de le recopier en modifiant la syntaxe. On représente donc un point de l'espace par un tableau M.

On note B(M) le champ magnétique en un point quelconque. On a:




Lorsqu'on pose Mx=My=0, on retrouve bien la formule du champ sur l'axe d'une bobine quelconque.
A partir de ca on peut tout calculer numériquement sans trop de problèmes... Si d'autres formules vous intriguent, dites le moi (mais évitez moi celle de l'inductance, qui est une immondice sans nom avec des 2 sommes et beaucoup trop d'intégrales... )...

[LPFR]

Re.
Je ne vois pas apparaître le diamètre du fil.
Il doit donner lieu à une double intégration supplémentaire (sur la section du conducteur).
Ce que je vois semble le champ produit par un fil de diamètre nul sur lequel circule un courant I.
A+

[Faame]

Re,
Je ne me sers pas du diamètre du fil pour le calcul de B en un point quelconque (pour peu qu'il n'appartienne pas au fil justement), je ne vois pas bien de quelle double intégration vous pouvez parler...
Le diamètre du fil intervient par exemple dans le cas du calcul du flux. Pour un z donné, j’intègre Bz sur la section de la bobine, dans ce cas la je fait bien attention à ne pas "rentrer dans le fil"... Idem pour l'énergie, j'intégre sur la section (de la bobine moins le fil) la norme de B au carré puis en longueur pour arriver à l'énergie dans le noyau. Mais si je "sors du noyau" (avec un longueur très grande) l'integrale renvoie un résultat 100 fois trop grand (et semble diverger)... Ceci-dit si je me limite à l'énergie dans le noyau je trouve un résultat proche de 1/2*L*I^2...
J'avoue être un peu perdu.

Voulez-vous dire que je dois séparer le calcul de B en 2 intégrales? Une partie sur le noyau, et une partie sur le conducteur? Pourquoi pas, mais je ne suis pas sur que cette deuxieme partie du calcul ait un ordre de grandeur comparable à la première partie du calcul... Et on aurait toujours le dénominateur qui tend vers 0...

[LPFR]

Re.
Vous êtes en train de faire le calcul avec un fil infiniment fin et en vous limitant à une distance (d/2) du centre du fil.
Ce n'est pas ma même chose que les champs produits par un tas de petites sections dS d'un fil épais et qui faut intégrer.

Mais ce n'est pas le fait d'avoir négligé une partie du champ qui est responsable de la divergence des résultats.

Calculez analytiquement le champ sur l'axe d'un solénoïde de longueur finie et comparez-le au champ obtenu avec votre algorithme. Ce n'est possible que sur l'axe, mais cela donnera déjà une idée.
A+

[Faame]

Re,
OK, j'ai compris le point du fil. En effet cela complique largement la formule... qui serait de ce genre la si je ne m'abuse:

où est le champ produit par un spire infiniment fine de rayon situé à .

Pour ce qui est du champ de la bobine finie, en gardant la simplification que j'ai faite sans le vouloir (fil infiniment fin dont on ignore la partie gènante), l'algorithme renvoie précisément les mêmes valeur que la formule analytique (et ceci pour une bobine de rayon r).

Je ne comprends vraiment pas ou est l'erreur, j'ai meme réussi à obtenir une énergie négative! Pour l'intégrale d'un terme positif c'est quand même particulièrement faux...

[LPFR]

Re.
Quand vous testez un algorithme, il ne suffit pas de dire "la formule est la même donc c'est bon".
Il faut intégrer à la main et calculer la valeur pour différentes positions et les comparer à votre algorithme.
Si on part de "ça ne vient pas de là", on ne trouve jamais.
A+

[Faame]

Re,
Je crois qu'on s'est mal compris sur ce dernier point, car c'est précisément ce que j'ai fait... La formule analytique sur l'axe est un calcul classique de prépa, j'ai tracé cette fonction dans maple, et à coté la courbe trouvée par mon algorithme. Elles sont strictement identiques. En effectuant la différence des 2 fonctions, je trouve une erreur relative qui oscille entre 0 et 0.8%, ce qui correspond exactement aux trois chiffres significatifs que j'ai demandé à maple...

Mon algorithme donc, même s'il ne renvoie pas une valeur réelle (puisque j'ai négligé l'épaisseur du fil comme vous me l'avez fait remarqué ci-dessus), renvoie tout de même un résultat exact dans le cadre du fil infiniment fin et du champ sur l'axe de révolution d'une bobine.

J'ai également testé la bobine infiniment longue (une bobine dont la longueur vaut 25 fois le diamètre est une bonne approximation), et l'algorithme renvoie là encore des valeurs particulièrement proche de celles de la formule analytique (erreur relative de l'ordre de 1%, ce qui est la somme de l'approximation de la bobine pas tout a fait infinie et l'approximation du calcul intégrale de maple). Idem pour le flux dans ce cas précis, erreur relative de 1% entre mon algorithme et la valeur trouvée par la valeur analytique (I*N*mu*section) (par contre ici à condition de choisir la section délimitée par l'intérieur du fil, sinon l'erreur grimpe à 6-7%).

J'ai beaucoup testé mon algorithme avant de m'attaquer à cette question d'énergie... je l'ai comparé à toutes les formules analytiques que je connais. Si vous souhaitez que je poste les graph je le ferait, mais il n'y a rien de plus à en déduire que ce que j'ai écrit.

Merci pour toute vos réponses jusqu'à maintenant ! Je vais tenter une autre méthode de calcul sous maple et voir ce que j'arrive à en tirer.

[LPFR]

Re.
Si le champ que vous trouvez est bon et que l'énergie diverge, alors c'est dans le calcul de l'énergie que se trouve l'erreur. Car il se trouve bien quelque part.
A+

[Faame]

Re,
On arrive donc à la même conclusion...
D'après vous, la formule

est-elle exacte pour l'énergie contenue dans le volume cylindrique de rayon R et de longueur l ?

Si oui, je l'ai simplifiée en

Par invariance du problème par rotation on trouve que la norme de B est la même pour tout angle .
Voyez-vous une erreur?

[LPFR]

Re.
Il peut avoir erreur dans les limites de l'intégrale. Par exemple si R touche ou dépasse le bobinage.
Avec-vous essayé un volume non centré. Entre z1 et z2, les deux au delà de l'extrémité du solénoïde ?
A+