Spheres chargées

[invite21348749873]

Bonjour
J'aurais besoin de votre aide pour le probleme suivant qui comporte deux questions.
Au départ on a deux spheres de rayon R1 et R2 portant les charges +Q1 et +Q2 et leur potentiel sont V1 et V2
Elles ne sont pas infiniment loin l'une de l'autre, les coefficients d'influence ne sont donc pas nuls.
On les relie par un fil conducteur et leur potentiel devient V et leurs charges deviennent Q'1 et Q'2.
1/ Dans ces conditions , on les rapproche l'une de l'autre d'une distance d
Comment calculer l'énergie necessaire?
2/ Dans les conditions du départ (+Q1, +Q2, V1, V2), mais non reliées par un fil, on les rapproche de d
Comment calculer l'énergie necessaire?
Je n'arrive pas à analyser correctement le problème.
Merci de votre aide.
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[erff]

Bonjour,

Est-ce qu'on a une hypothèse du genre les sphères sont très loin l'une de l'autre (a-t-on un rayon très petit devant la distance sphère/sphère) ?
Si oui, on trouve une solution en utilisant la méthode des images. On remplace le système par sphère + charge puis la méthode des images permet de calculer les énergies dont tu as besoin.

[invite21348749873]

Bonjour,

Est-ce qu'on a une hypothèse du genre les sphères sont très loin l'une de l'autre (a-t-on un rayon très petit devant la distance sphère/sphère) ?
Si oui, on trouve une solution en utilisant la méthode des images. On remplace le système par sphère + charge puis la méthode des images permet de calculer les énergies dont tu as besoin.

Non, pas d'hypothèse de ce genre..

[erff]

Bonjour,

OK
Juste une piste alors, aucune garantie que ça marche:
En s'inspirant de la méthode des images charge/sphère. Je pense qu'il devrait (à vérifier) être possible de trouver un placement de 6 charges ponctuelles qui modélise ton pb. Le calcul d'énergie est ensuite aisé.
Le principe
* D'abord on cherche la distance entre 2 charges et les valeurs de q1, q2 telle qu'on ait 2 iso-V sphériques telle qu'on le voudrait... peu importe la valeur des charges pour le moment... on résout cela, on trouve q1, q2 et la distance entre les charges en fonction des paramètres du pb.
* l'ennui c'est que la sphère 1 contient une charge Q1, donc on lui ajoute une charge au centre de valeur q'1 que l'on calculera + tard ...
* mais, en faisant cela, on modifie les lignes de potentiel de la sphère S2, donc on rajoute la charge image de q'1 dans la sphère S2, on l'appelle q''2 = f(q'1).
* ensuite, pour garantir que la sphère S2 contient une charge Q2, on lui met en son centre une charge q'2 que l'on calculera + tard.
* en faisant cela, on modifie les lignes de la sphère S1. donc on ajoute la charge image de q'2 dans la sphère S1, on la note q''1=f(q'2).

Bref, on a un système de 6 charges, (4 charges indépendantes en fait, car les charges images sont liées au charge qui les engendrent).
Maintenant il faut résoudre un système qui satisfait:
q1+q'1+q''1 = Q1
q2+q'2+q''2 = Q2
q''2 = f(q'1) (charge image)
q''1 = f(q'2) charge image)
PS: on connait q1, q2 et la distance entre q1 et q2. On trouve les autres charges en résolvant ces équations

A priori, le procédé n'a pas modifié l'allure des iso-V, et garantit que chaque sphère contient la bonne charge grâce à l'ajout des charges aux centres (et des charges images).
Du coup, la réponse à la question 2 est immédiate, on calcule la différence de potentiel entre les 2 situations...

Pour la question 1) un raisonnement analogue devrait pouvoir marcher (on trouve un système de 6 charges équivalent). Cette fois la contrainte c'est d'imposer que les potentiels sont égaux sur les 2 sphères donc on devrait obtenir une équation en +, mais en contre-partie on a les 2 équations:
q1+q'1+q''1 = Q1
q2+q'2+q''2 = Q2
qui deviennent
q1+q'1+q''1+q2+q'2+q''2 = Q1+Q2 soit une seule équation
Donc je pense qu'on a assez de paramètres. Le calcul de l'énergie se fait tout aussi simplement que pour 2)

J'insiste sur le fait que ce n'est qu'une piste, je n'ai pas essayé, mais ça m'a l'air pas trop idiot.
Si tu te lances dans le calcul je suis très intéressé par les résultats

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Une question peut-être pas tout à fait inutile, Arcole, à quel niveau est posé cet exercice ?

@+

[invite21348749873]

Bonjour,

Une question peut-être pas tout à fait inutile, Arcole, à quel niveau est posé cet exercice ?

@+

Bonjour albanxiii
En fait, ce n'est pas un exercice.
c'est une question qui m'est venue à l'esprit parce que on m'a demandé ce qui se passait quand on relie deux sphères chargées très éloignées, ce qui est un problème classique et facile à résoudre.
Mais quand elle ne sont pas très éloignées?
D'ou mes questions.
s

[invite21348749873]

Merci de vous interesser à la question et pour vos suggestions.
J'y reflechis , mais cela ne m'a pas l'air évident..
@+

[albanxiii]

Re,

En effet, ça n'a pas l'air très évident.
Avez-vous regardé ce qu'on trouve dans le Landau d'électrodynamique des milieux continus ? (il y traite de l'électrostatique des conducteurs, et on le trouve en libre accès sur archive.org).

@+

[invite21348749873]

Re,

En effet, ça n'a pas l'air très évident.
Avez-vous regardé ce qu'on trouve dans le Landau d'électrodynamique des milieux continus ? (il y traite de l'électrostatique des conducteurs, et on le trouve en libre accès sur archive.org).

@+

J'ai vu; c'est du lourd, et en anglais en plus...
A priori, je n'ai pas vu de quoi résoudre le problème, mais je ne suis pas rentré à fond dand le sujet.
Le probleme est que les coefficients Cij varient avec d.
Si les spheres ne sont pas reliées paru fil conducteur, la proposition de reff par la méthode des images peut être une solution.
Mais si elles sont reliées, je ne vois pas comment écrire mathématiquement le probleme.
Dans le cas ou elles ne sont pas reliées leurs charges ne varient pas mais leurs potentiels respectifs varient.
Si elles sont reliées, leurs charges varient et leur potentiel commun V0 aussi.
C'est assez complexe.

[erff]

Bonjour,

Je reviens sur ma 1ère analyse: dans les 2 cas, le pb se modélise avec 2 charges seulement !

Si on se centre sur la première sphère S1 de rayon R1, et que l'on note d la distance entre les 2 centres des sphères:
- Plaçons Q1 en x=a, et Q2 en x=b (a et b sont inconnues) alors on montre que l'on modélise le système initial lorsque:

b=R1^2/a
d-a = R2^2/(d-b)

--->d'où les valeurs de a et b

On répond immédiatement à la question 2) car il suffit de calculer le delta_énergie pour les deux valeurs extremes de d.

Pour la question 1), il suffit de se laisser libre les paramètres Q1 et Q2, de rajouter les relations Q1+Q2=Q1_0+Q2_0 (charge initiale du système) ainsi que la relation V(x=R1)=V(x=d+R2) (même potentiel) et on trouve les valeurs de Q1,Q2 en fonction des paramètres.

Puis même principe pour le calcul.

[erff]

Bon ... je viens d'écrire une ânerie ... ne pas considérer le message ci-dessus.
On ne peut que garantir des potentiels nuls de cette façon et q1,q2 sont imposés ... il faut donc ajouter plus de charges

[invite21348749873]

Bon ... je viens d'écrire une ânerie ... ne pas considérer le message ci-dessus.
On ne peut que garantir des potentiels nuls de cette façon et q1,q2 sont imposés ... il faut donc ajouter plus de charges

En utilisant la méthode des images, pourrait-on calculer le coefficient d'influence entre deux sphéres en fontion de R1, R2 et d( distance de leurs centres)