Prise en compte des frottements dans une formule de parabole

[Paidon]

Bonjour,
Notre prof d'algorithmique nous a donné un projet à réaliser pour la fin de l'année scolaire. Grossièrement, il consiste à réaliser la structure Python d'un jeu où deux joueurs s'affrontent pour détruire la tour de l'autre à l'aide d'une catapulte. Plus le joueur appuie longtemps sur la barre d'espace, plus le projectile va loin, et c'est donc au joueur de gérer le temps d'appui pour toucher la tour adverse.

Bref, nous avons calculé la formule permettant de lier le x (distance d'impact) en fonction de la vitesse (multiple du temps d'appui sur la barre d'espace) depuis Wikipédia : z(x) = (-1/2)*(g₀/V₀^2)*x^2*(1+tan^2(A))+x*tan(A) devenant x = tan(A)/((g/2V₀^2)*(1+tan^2(A)))

Des points bonus nous étant offerts si nous prenons en compte des facteurs tels que le vent sont proposés. C'est l'objet de mon message : je cherche à prendre en compte, dans ma formule, les frottements dus à la vitesse du vent.

Je précise qu'il s'agit d'un jeu en 2D. On ne prend donc en compte les frottements dus au vent que dans une dimension (horizontale).

Pourriez-vous me donner un début de piste ? Merci d'avance.
-----

[invitecaafce96]

Bonjour,

L'objet n'est plus seulement soumis à son poids , il s' ajoute une force de freinage proportionnelle à la vitesse .
Il faut repartir du bilan des forces, on obtient une équation différentielle .

[Paidon]

Oula...
Tout ça remonte à loin !
Pourriez-vous être plus précis ?

Merci d'avance.

[invited5639bc0]

Bonjour,

Comment avez-vous trouvé cette équation du mouvement? en faisant un bilan des forces non? Eh bien il faut le refaire mais en prenant en compte les frottements. La force de frottement est proportionnelle à la vitesse si l'écoulement est laminaire et est proportionnelle à la vitesse^2 si l'écoulement est turbulent. J'imagine qu'autour de votre projectile, l'écoulement est turbulent (calculez le nombre de Reynolds pour le savoir). Si tel est le cas, la force de frottement aura la forme suivante:



où est un vecteur unitaire dans le sens du mouvement.

Vous avez donc une jolie équation différentielle non linéaire... Si la résolution est trop complexe, vous pouvez toujours supposer un écoulement laminaire, mais ça sera moins exact! (Personnellement, je ne sais pas comment faire pour résoudre une telle équation...)

[A voir en vidéo sur Futura]

[calculair]

Bonjour,

Lors du tir , il y a une vitesse verticale freinée par g et la résistance de l'air

pour le tir horizontal la seule force qui freine est la résistance de l'air

Si Vz° est la composante vitesse verticale initiale du tir

m dVz/dt = -mg - ksVz*Vz

Cette équation différentielle à une solution que je vais rechercher.

Pour la composante horizontale m dVx/dt = - K S Vx Vx

[invited5639bc0]

Je crois que les équations sont plus compliquées que ça. Le carré de la vitesse intervient dans la force de frottement donc elle s'exprime directement dans le bilan de force de cette manière:

f = K*(Vx² + Vz²) (avec les vecteurs qui vont bien)

donc dans chaque équation (suivant x et suivant z), on aura Vx et Vz...

[calculair]

Bonjour,

Voila la solution de l'equation differentielle

[invited5639bc0]

Pour suivre dans la pensée de mon dernier message:

Dans la résolution proposée, on intègre par rapport à V. Or il me semble que dans l'exercice proposé par Paidon, nous devons intégrer une première fois par rapport à Vz et une deuxième fois par rapport à Vx non? Ce qui implique des projections sur les axes x et z, notamment pour la force de frottement.

On ne peut donc pas écrire la force de frottement comme K*V² mais plutôt comme K*V²*sin(alpha) (ou cosinus en fonction de la projection sur x ou z). Et ce sinus s'exprime ensuite grâce à Vx et Vz.

Je pense que la solution que vous proposez est dans le cas d'un avion en croisière où les frottements sont colinéaires à l'axe (Ox) et opposées à la poussée F, non?

[invited5639bc0]

voilà un schéma du problème:



Suivant Vz par exemple, voilà ce qu'on aurait comme équation:

soit




Ensuite on peut intégrer par rapport à Vz. Je ne sais pas comment, mais je pense que c'est cette équation à laquelle on doit aboutir...

[calculair]

Bonjour,

Ta remarque est tout à fait exact et tu as parfaitement raison.

Il faut effectivement décomposer la vitesse V sur les 2 axes X et Z et donc Vz = V sin ( alpha ) et Vx =V cos ( alpha)

Donc pour l'axe des Z on a

m dVz/dt = - m g - K S (V sin ( alpha ):^2

pour l'axe des X

m dVx /dt = - K S V cos (alpha) ^2

Comme alpha dépend du temps, cela complique le problème vu de cette manière.

Une façon de simplifier est de décomposer la force de résistance de l'air sur les 2 axes en écrivant qie dans le sens vertical cette force est

R(vert ) = K S Vz^2

et dans le sens horizontale cette résistance de l'air est

R(Hor) K S Vx^2

la résistance de l'air totale est donc R^2 =( K S)^2 ( Vz^2 + Vx^2) ou R = K S V^2

Je pense que pour un boulet cela doit être juste...si non l'approximation ne doit pas être horrible...!

[invited5639bc0]

Joli croisement...

[calculair]

Bonjour,

Les calculs sont faits en atmosphère calme, a la vitesse du mobile on peut ajouter une constante qui représente la vitesse du vent.

Maintenant, s'il s'agit de calculs algorithmiques, il n'est pas nécessaire d'avoir la solution des équations différentielles, un calcul pas à pas en prenant des intervalles de temps petits, on devrait obtenir un résultat approche d'autant meilleur que l'accroissement du temps pris pour le calcul est petit.

Le temps de calcul pourrait être pénalisant ( je ne sais pas) , mais j'ai déjà fait ce genre de calcul quand je ne savais pas résoudre directement l'équation du problème.

[invited5639bc0]

un calcul pas à pas en prenant des intervalles de temps petits

Tout à fait, une discrétization de l'équation devrait permettre de résoudre ce problème sans solution analytique.

Reste à voir ce qu'en pense Paidon!

[Paidon]

Merci à tous pour vos réponses J'ai été agréablement surpris de l'intérêt que vous avez porté à ma question.

Donc, si j'ai bien compris, pour prendre en compte les frottements, il faut que je les inclue dans le V₀ de ma formule.
Je dois avouer que les cours de physique remontent à longtemps

Je tiens à préciser que pour l'équation, j'ai simplement transformé la formule que j'ai trouvé sur Wikipédia, comme notre prof d'ASD nous l'a indiqué. Mes connaissances en physiques sont quelque peu limitées je dois l'avouer

[invited5639bc0]

il faut que je les inclue dans le V0 de ma formule

Il faudrait que calculair explique plus clairement ce qu'il voulait dire par là car faire cela revient simplement à modifier la vitesse initiale du mobile... Donc je ne vois pas comment les frottements peuvent être pris en compte comme ça.

Le plus simple serait à mon avis (en tout cas dans un premier temps) de reprendre les équations données par calculair en Vx² et Vz². ainsi vous avez deux équations différentielles indépendantes, une en Vx et l'autre en Vz. Vous les discrétisez et codez tout ça pour voir ce que ça donne.
Les équations que j'ai fournies sont plus compliquées car elles sont couplées. Dans celle en Vz, le Vx intervient et vice-versa... Un résolution doit probablement exister mais je n'ai aucune idée du niveau de qualification qu'elle demande!

[calculair]

Bonjour

La vitesse du mobile est celle qui est donnée par le tir initial et qui se modifie sous l'effet de g et de la résistance de l'air soit V ce vecteur vitesse

Le vent lui rajoute une vitesse , supposée horizontale Vv, qui va modifier la composante horizontale de la vitesse et de la résistance à l'air correspondante.

[invited5639bc0]

Bien d'accord.
Mais rajouter la vitesse du vent Vv dans Vo ne prend pas en compte les frottements, ça ne change que la condition initiale qui n'est plus Vo mais Vo-Vv.

[calculair]

bonlour,

Mais si..... puisque les frottement sont F = K Cx S V**2 et avec le vent F' = K Cx S (V + Vv)**2

Bien d'accord.
Mais rajouter la vitesse du vent Vv dans Vo ne prend pas en compte les frottements, ça ne change que la condition initiale qui n'est plus Vo mais Vo-Vv.

[invited5639bc0]

Mais si..... puisque les frottement sont F = K Cx S V**2 et avec le vent F' = K Cx S (V + Vv)**2

Ce n'est pas ce que Paidon disait. Il voulait rajouter Vv dans le Vo (vitesse initiale) de sa formule, cad dans l'équation du mouvement. Ce n'est pas ce que tu fais ici. Et dans ce cas là je suis d'accord avec toi, s'il y a une vitesse due au vent, il faut la rajouter dans cette formule.

Ceci dit, même si c'est juste, ça risque de compliquer la résolution de l'équation plus qu'autre chose... En tout cas en première approche, mieux vaut considérer Vv=0 m/s et quand vous aurez réussi à modélier ça, rajoutez un certains Vv si le coeur vous en dit!