[TPE] Trajectoire de ballons : formule avec frottements

[invite897e70b1]

Bonjour, je bosse actuellement sur un sujet de TPE traîtant des trajectoires des ballons. Je dois rechercher une formule permettant d'exprimer la courbe obtenue par modélisation après un lancer, jusque là rien de très compliqué ...
J'ai trouvé une première formule ou les forces de frottments n'étaient pas pris en compte je trouve ceci :

z (ou y) = -(g/2v²cos²(theta))x²+tan(theta)x+ c
où : - g est la pesanteur (9.81)
- v la vitesse initiale
- theta l'angle de départ

J'obtiens donc une parabole car la fonction est tout simplement du second degré ...

Maintenant je dois chercher une formule où les les frottements sont pris en compte ...
Cela fait plusieurs semaines que je tente de trouver une équation collant au modèle expérimental. Mais je ne trouve pas de fonctions qui collent.
J'ai trouvé une formule impliquant le logarithme népérien, la masse de l'objet, la vitesse, l'angle de départ et un certain "k". Or je ne sais pas comment obtenir "k", je connais le coefficient de viscosité de l'air. Mais je ne trouve pas de formule exacte impliquant toutes ces variables.

J'ai trouvé une équation de frottement pour une sphère :
6*"pi"*r*µ*V
où : - r est le rayon de la sphère
- µ le coefficient de viscosité (de l'air ?)
- V le volume de la sphère

J'aimerais savoir comment inclure toutes ces données dans une seule et unique fonction. Si quelqu'un en connaît une merci de m'aider (ce serait vraiment sympa).

Que pensez vous de 18.5e-6 Pa*s pour le coefficient de viscosité de l'air?

MERCI D'AVANCE
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[invitef51527eb]

Bonjour, je bosse actuellement sur un sujet de TPE traîtant des trajectoires des ballons. Je dois rechercher une formule permettant d'exprimer la courbe obtenue par modélisation après un lancer, jusque là rien de très compliqué ...
J'ai trouvé une première formule ou les forces de frottments n'étaient pas pris en compte je trouve ceci :

z (ou y) = -(g/2v²cos²(theta))x²+tan(theta)x+ c
où : - g est la pesanteur (9.81)
- v la vitesse initiale
- theta l'angle de départ

J'obtiens donc une parabole car la fonction est tout simplement du second degré ...

Maintenant je dois chercher une formule où les les frottements sont pris en compte ...
Cela fait plusieurs semaines que je tente de trouver une équation collant au modèle expérimental. Mais je ne trouve pas de fonctions qui collent.
J'ai trouvé une formule impliquant le logarithme népérien, la masse de l'objet, la vitesse, l'angle de départ et un certain "k". Or je ne sais pas comment obtenir "k", je connais le coefficient de viscosité de l'air. Mais je ne trouve pas de formule exacte impliquant toutes ces variables.

J'ai trouvé une équation de frottement pour une sphère :
6*"pi"*r*µ*V
où : - r est le rayon de la sphère
- µ le coefficient de viscosité (de l'air ?)
- V le volume de la sphère

J'aimerais savoir comment inclure toutes ces données dans une seule et unique fonction. Si quelqu'un en connaît une merci de m'aider (ce serait vraiment sympa).

Que pensez vous de 18.5e-6 Pa*s pour le coefficient de viscosité de l'air?

MERCI D'AVANCE

Bonjour,

La formule pour la sphère : c'est plutot ça (formule de Stokes) :
avec la viscosité dynamique de ton fluide (donc de l'air si ton ballon est dans l'air)

Tu as un peu plus de détail ici à la 3e page.

J'aimerais savoir comment inclure toutes ces données dans une seule et unique fonction. Si quelqu'un en connaît une merci de m'aider (ce serait vraiment sympa).

Tu dois repartir du début, de la deuxième loi de Newton, et rajouter cette force, en plus du poids.
Puis tu retrouves donc l'équation de z.

Par contre, la formule de Stokes, c'est pour un fluide arrivant sur une sphère au repos. Toi c'est l'inverse, je ne crois pas que ça change grand chose, mais vérifie quand même...

[inviteabd566ec]

Par contre, la formule de Stokes, c'est pour un fluide arrivant sur une sphère au repos. Toi c'est l'inverse, je ne crois pas que ça change grand chose, mais vérifie quand même...

Ca ne change rien puisque dans le référentiel de la sphère, elle est fixe et c'est bien le fluide qui est en mouvement. Il suffit donc de changer la vitesse v de la sphère dans un fluide fixe à une vitesse -v du fluide s'écoulant autour d'une sphère fixe.

6*"pi"*r*µ*V
où : - r est le rayon de la sphère
- µ le coefficient de viscosité (de l'air ?)
- V le volume de la sphère

v est la vitesse et non le volume.

Tu dois repartir du début, de la deuxième loi de Newton, et rajouter cette force, en plus du poids.
Puis tu retrouves donc l'équation de z.

Le problème c'est que pour avoir quelque chose de plus réaliste pour les vitesses élevées, il faut utiliser une force de frottement de la forme C*µ*S v^2 (S=Pi * R^2, µ coefficient de viscosité, C un coefficient de proportionnalité compris entre 0,1 et 1 selon la texture de la sphère, v la vitesse). On se retrouve alors avec une équation différentielle non linéaire, qu'on ne peut pas résoudre simplement. Cela dit elle doit être modélisable sur ordinateur.

[invite897e70b1]

Tu dois repartir du début, de la deuxième loi de Newton, et rajouter cette force, en plus du poids.
Puis tu retrouves donc l'équation de z.

Je ne comprends pas trop comment définir une formule en partant de la 2e loi de Newton. Ce que je sais c'est que la 2e loi de Newton implique le fait que l'accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit. Voilà c'est tout. On a vu ça avec le vecteur (delta)v_g.

Merci de me préciser en quoi cela consiste car je ne suis qu'en première et que l'on insiste pas tellement sur les lois de Newton (en tout cas jusque là).

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteabd566ec]

La seconde loi de Newton s'écrit comme ça : ma=F (les vecteurs sont en gras). a est l'accélération de ton solide, F la résultante des forces, m la masse de l'objet. L'accélération est la dérivée première de la vitesse, et dérivée seconde de la position. La résultante des forces est données (en vectoriel) par la somme du poids et de la trainée. Tu obtiens donc : m v' = -mguz + 6 Pi R µ v . C'est une équation différentielle en v (v' est le vecteur dérivé première de v, uz est un vecteur unitaire selon la verticale) qui se résout au niveau terminale. (j'espère ne pas avoir fait d'erreur dans ce que j'écris).